Серийное ускорение

В математике метод ускорения ряда — это любой из набора преобразований последовательностей для улучшения скорости сходимости ряда . Методы ускорения ряда часто применяются в численном анализе , где они используются для улучшения скорости численного интегрирования . Методы ускорения ряда также могут использоваться, например, для получения различных тождеств на специальных функциях . Таким образом, преобразование Эйлера , примененное к гипергеометрическому ряду, дает некоторые из классических, хорошо известных тождеств гипергеометрического ряда.

Дан бесконечный ряд с последовательностью частичных сумм

${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

имеющий предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S,}$

ускоренный ряд — это бесконечный ряд со второй последовательностью частичных сумм

${\displaystyle (S'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

которая асимптотически сходится быстрее , чем исходная последовательность частичных сумм:${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S'_{n}-S}{S_{n}-S}}=0.}$

Метод ускорения ряда — это преобразование последовательности , которое преобразует сходящиеся последовательности частичных сумм ряда в более быстро сходящиеся последовательности частичных сумм ускоренного ряда с тем же пределом. Если метод ускорения ряда применяется к расходящемуся ряду, то надлежащий предел ряда не определен, но преобразование последовательности все еще может действовать полезно как метод экстраполяции к антипределу ряда.

Отображения из исходной в преобразованную серию могут быть линейными преобразованиями последовательностей или нелинейными преобразованиями последовательностей. В общем случае нелинейные преобразования последовательностей, как правило, более мощные.

Два классических метода ускорения рядов — это преобразование рядов Эйлера ^[1] и преобразование рядов Куммера ^[2] . В 20 веке было разработано множество гораздо более быстро сходящихся и специальных инструментов, включая экстраполяцию Ричардсона , введенную Льюисом Фраем Ричардсоном в начале 20 века, но также известную и использовавшуюся Катахиро Такебе в 1722 году; дельта-квадратный процесс Эйткена , введенный Александром Эйткеном в 1926 году, но также известную и использовавшуюся Такакадзу Секи в 18 веке; метод эпсилон, предложенный Питером Уинном в 1956 году; u-преобразование Левина; и метод Вильф-Зейльбергера-Эхада или метод WZ .

Для чередующихся рядов несколько мощных методов, предлагающих скорости сходимости от всего пути до для суммирования членов, описаны Коэном и др . ^[3]${\displaystyle 5.828^{-n}}$${\displaystyle 17.93^{-n}}$${\displaystyle n}$

Базовым примером преобразования линейной последовательности , предлагающим улучшенную сходимость, является преобразование Эйлера. Оно предназначено для применения к чередующемуся ряду; оно задается как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$

где — оператор прямой разности , для которого имеется формула${\displaystyle \Дельта}$

${\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{nk}.}$

Если исходный ряд в левой части сходится медленно, то разности вперед будут стремиться к небольшому уменьшению довольно быстро; дополнительная степень двойки еще больше увеличивает скорость сходимости правой части.

Особенно эффективной численной реализацией преобразования Эйлера является преобразование Ван Вейнгаардена . ^[4]

Серия

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

можно записать как , где функция f определяется как${\displaystyle f(1)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Функция может иметь сингулярности в комплексной плоскости ( сингулярности точек ветвления , полюсы или существенные сингулярности ), которые ограничивают радиус сходимости ряда. Если точка находится близко к или на границе круга сходимости, ряд для будет сходиться очень медленно. Тогда можно улучшить сходимость ряда с помощью конформного отображения , которое перемещает сингулярности таким образом, что точка, в которую выполняется отображение, оказывается глубже в новом круге сходимости.${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle z=1}$

Конформное преобразование должно быть выбрано таким образом, чтобы , и обычно выбирается функция, которая имеет конечную производную при w = 0. Можно предположить, что без потери общности, поскольку всегда можно перемасштабировать w, чтобы переопределить . Затем мы рассмотрим функцию${\displaystyle z=\Фи (w)}$${\displaystyle \Фи (0)=0}$${\displaystyle \Фи (1)=1}$${\displaystyle \Фи}$

${\ displaystyle g (w) = f (\ Phi (w)).}$

Так как , то имеем . Мы можем получить разложение ряда, подставив разложение ряда , так как ; первые члены разложения ряда для дадут первые члены разложения ряда для , если . Подстановка этого разложения ряда даст ряд, такой что если он сходится, то он будет сходиться к тому же значению, что и исходный ряд.${\displaystyle \Фи (1)=1}$${\displaystyle f(1)=g(1)}$${\displaystyle g(w)}$${\displaystyle z=\Фи (w)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \Фи (0)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g(w)}$${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$${\displaystyle w=1}$

Примерами таких нелинейных преобразований последовательностей являются аппроксимации Паде , преобразование Шенкса и преобразования последовательностей типа Левина.

В частности, нелинейные преобразования последовательностей часто предоставляют мощные численные методы для суммирования расходящихся рядов или асимптотических рядов , которые возникают, например, в теории возмущений , и поэтому могут использоваться в качестве эффективных методов экстраполяции .

Простое нелинейное преобразование последовательности — это экстраполяция Эйткена или метод дельта-квадрата,

${\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$

определяется

${\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

Это преобразование обычно используется для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности; эвристически оно устраняет большую часть абсолютной погрешности .

• Трансформация Шэнкса
• Минимальная полиномиальная экстраполяция
• Трансформация Ван Вейнгаардена

• C. Brezinski и M. Redivo Zaglia , Методы экстраполяции. Теория и практика , North-Holland, 1991.
• GA Baker Jr. и P. Graves-Morris, Padé Approximants , Cambridge UP, 1996.
• Вайсштейн, Эрик В. «Улучшение конвергенции». Математический мир .
• Herbert HH Homeier: Скалярные преобразования последовательностей типа Левина , Журнал вычислительной и прикладной математики, т. 122, № 1–2, стр. 81 (2000). Homeier, HHH (2000). "Скалярные преобразования последовательностей типа Левина". Журнал вычислительной и прикладной математики . 122 ( 1– 2): 81– 147. arXiv : math/0005209 . Bibcode :2000JCoAM.122...81H. doi :10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv :math/0005209.
• Брезинский Клод и Редиво-Залья Микела: «Происхождение и ранние разработки процесса Эйткена, преобразования Шенкса, -алгоритма и связанных с ним методов с фиксированной точкой», Численные алгоритмы, т. 80, № 1, (2019), стр. 11–133.${\displaystyle \epsilon}$
• Делахай Дж. П.: «Преобразования последовательностей», Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3540152835 (1988).
• Сиди Аврам: «Методы векторной экстраполяции и их применение», SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
• Брезинский Клод, Редиво-Залья Микела и Саад Юсеф: «Преобразования последовательности Шэнкса и ускорение Андерсона», SIAM Review, том 60, № 3 (2018), стр. 646–669. doi:10.1137/17M1120725 .
• Брезинский Клод: «Воспоминания о Питере Уинне », Численные алгоритмы, т. 80 (2019), стр. 5-10.
• Брезинский Клод и Редиво-Залья Микела: «Экстраполяция и рациональная аппроксимация», Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

• Ускорение сходимости рядов
• Научная библиотека GNU, ускорение серий
• Электронная библиотека математических функций