Трансформация Ван Вейнгаардена

В математике и численном анализе преобразование Ван Вейнгаардена является вариантом преобразования Эйлера, используемым для ускорения сходимости знакопеременного ряда .

Один из алгоритмов вычисления преобразования Эйлера работает следующим образом:

Вычислить строку частичных сумм и сформировать строки средних значений между соседями. Затем первый столбец содержит частичные суммы преобразования Эйлера.$${\displaystyle s_{0,k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}}$$$${\displaystyle s_{j+1,k}={\frac {s_{j,k}+s_{j,k+1}}{2}}}$$${\displaystyle s_{j,0}}$

Вклад Адриана ван Вейнгаардена состоял в том, что он указал на то, что лучше не доводить эту процедуру до самого конца, а остановиться на двух третях пути. ^[1] Если доступны, то почти всегда является лучшим приближением к сумме, чем . Во многих случаях диагональные члены не сходятся в одном цикле, поэтому процесс усреднения должен быть повторен с диагональными членами, сводя их в ряд. (Например, это понадобится в геометрической прогрессии с отношением .) Этот процесс последовательного усреднения среднего значения частичной суммы можно заменить, используя формулу для вычисления диагонального члена. ${\displaystyle а_{0},а_{1},\ldots ,а_{12}}$${\displaystyle s_{8,4}}$${\displaystyle s_{12,0}}$${\displaystyle -4}$

Для простого, но конкретного примера вспомним формулу Лейбница для числа Пи.

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}=0,7853981\ldots }$

1

Описанный выше алгоритм создает следующую таблицу:

Они соответствуют следующим алгоритмическим выводам:

Точность конечных результатов

Алгоритм	Термин используемый	Значение для${\displaystyle \пи /4}$	Относительная погрешность
Наивные частичные суммы	${\displaystyle s_{0,12}}$	0,8046006...	+2,4%
преобразование Эйлера	${\displaystyle s_{12,0}}$	0,7854002...	+2,6 × 10 −6
результат ван Вейнгаардена	${\displaystyle s_{8,4}}$	0,7853982...	+4,7 × 10 −8

• суммирование Эйлера