Тест чередующихся серий

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Направленная производная Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Дивергенция обобщенный Стокса Разложение Гельмгольца
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Экстерьер Геометрический Определения Частичная производная Множественный интеграл Интеграл линии Поверхностный интеграл Интеграл объема якобианский Гессенский
Передовой Исчисление в евклидовом пространстве Обобщенные функции Лимит распределений
Специализированный Дробный Маллиавен Стохастический Вариации
Разное Предварительное исчисление История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Математический анализ Нестандартный анализ
в т е

В математическом анализе тест на знакопеременный ряд — это метод, используемый для того, чтобы показать, что знакопеременный ряд сходится , когда его члены (1) убывают по абсолютной величине и (2) стремятся к нулю в пределе. Тест был использован Готфридом Лейбницем и иногда известен как тест Лейбница , правило Лейбница или критерий Лейбница . Тест является только достаточным, а не необходимым, поэтому некоторые сходящиеся знакопеременные ряды могут не пройти первую часть теста.

Для обобщения см. тест Дирихле .

Серия формы

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$$

где либо все a _n положительны, либо все a _n отрицательны, называется знакопеременным рядом .

Тест знакопеременного ряда гарантирует, что знакопеременный ряд сходится, если выполняются следующие два условия:

1. ${\displaystyle |a_{n}|}$монотонно уменьшается ^[a] , т.е. , и${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

Более того, пусть L обозначает сумму ряда, тогда частичная сумма приближает L с погрешностью, ограниченной следующим пропущенным членом:${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

$${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$$

Предположим, что нам дан ряд вида , где и для всех натуральных чисел n . (Случай следует, если взять отрицательное число.) ^[2]${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

Мы докажем, что как частичные суммы с нечетным числом членов, так и с четным числом членов сходятся к одному и тому же числу L. Таким образом , обычная частичная сумма также сходится к L.${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$

Нечетные частичные суммы монотонно убывают:

$${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$$

в то время как четные частичные суммы монотонно возрастают:

$${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$$

оба, потому что _n монотонно убывает с n .

Более того, поскольку a _n положительны, . Таким образом, мы можем собрать эти факты, чтобы сформировать следующее предполагаемое неравенство:${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$

$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$$

Теперь заметим, что a ₁ − a ₂ является нижней границей монотонно убывающей последовательности S _2m+1 , тогда теорема о монотонной сходимости подразумевает, что эта последовательность сходится, когда m стремится к бесконечности. Аналогично, последовательность четных частичных сумм также сходится.

Наконец, они должны сходиться к одному и тому же числу, потому что .${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0}$

Назовем предел L , тогда теорема о монотонной сходимости также сообщает нам дополнительную информацию о том, что

$${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$$

для любого m . Это означает, что частичные суммы знакопеременного ряда также «чередуются» выше и ниже конечного предела. Точнее, когда есть нечетное (четное) число членов, т. е. последний член является плюсовым (минусовым) членом, то частичная сумма выше (ниже) конечного предела.

Такое понимание немедленно приводит к границе погрешности частичных сумм, показанной ниже.

Мы хотели бы показать это , разделив на два случая.${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$

Когда k = 2m +1, т.е. нечетно, то

$${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.}$$

Когда k = 2 m , т.е. четное, то

$${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$$

по желанию.

Оба случая по существу опираются на последнее неравенство, выведенное в предыдущем доказательстве.

Знакопеременный гармонический ряд

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

удовлетворяет обоим условиям теста знакопеременного ряда и сходится.

Все условия теста, а именно сходимость к нулю и монотонность, должны быть выполнены, чтобы вывод был верным. Например, возьмем ряд

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .}$$

Знаки чередуются, а члены стремятся к нулю. Однако монотонность отсутствует, и мы не можем применить тест. На самом деле ряд расходящийся. Действительно, для частичной суммы мы имеем , которая в два раза больше частичной суммы гармонического ряда, который расходящийся. Следовательно, исходный ряд расходящийся.${\textstyle S_{2n}}$${\textstyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$

Монотонность теста Лейбница не является необходимым условием, поэтому сам тест является лишь достаточным, но не необходимым. (Вторая часть теста является общеизвестным необходимым условием сходимости всех рядов.)

Примерами немонотонных рядов, которые сходятся, являются:

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .}$$

На самом деле, для каждого монотонного ряда можно получить бесконечное число немонотонных рядов, которые сходятся к той же сумме, переставляя его члены с перестановками, удовлетворяющими условию теоремы Агню . ^[3]

• Переменный ряд
• Тест Дирихле

• Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Лейбница». Математический мир .
• Джефф Крузан. «Переменный сериал»