Формула Абеля–Плана

В математике формула Абеля–Плана — это формула суммирования , открытая независимо Нильсом Хенриком Абелем  (1823) и Джованни Антонио Амедео Плана  (1820). Она утверждает, что ^[1]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f\left(a+n\right)=\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)dx+{\frac {f\left(a\right)}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {f\left(a-ix\right)-f\left(a+ix\right)}{i\left(e^{2\pi x}-1\right)}}dx}$

Для случая, который мы имеем${\displaystyle а=0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$

Она справедлива для функций ƒ , которые голоморфны в области Re( z ) ≥ 0 и удовлетворяют подходящему условию роста в этой области; например, достаточно предположить, что | ƒ | ограничена величиной C /| z | ^{1+ ε} в этой области для некоторых констант C , ε  > 0, хотя формула справедлива и при гораздо более слабых ограничениях. (Olver 1997, стр. 290).

Примером может служить дзета-функция Гурвица ,

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dt}{e^{2\pi t}-1}},}$

которое справедливо для всех , s ≠ 1. Другой яркий пример — применение формулы к функции : мы получаем ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle e^{-n}n^{x}}$

${\displaystyle \Gamma (x+1)=\operatorname {Li} _{-x}\left(e^{-1}\right)+\theta (x)}$где — гамма-функция , — полилогарифм и .${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}\left(z\right)}$${\displaystyle \theta (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2t^{x}}{e^{2\pi t}-1}}\sin \left({\frac {\pi x}{2}}-t\right)dt}$

Абель также дал следующую вариацию для чередующихся сумм:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\sinh(\pi t)}}\,dt,}$

что связано с формулой суммирования Линделёфа ^[2]

${\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }(-1)^{k}f(k)=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{\infty }f(m-1/2+ix){\frac {dx}{2\cosh(\pi x)}}.}$

Пусть голоморфно на , так что , и для , . Взяв с теоремой о вычетах${\displaystyle f}$${\displaystyle \Re (z)\geq 0}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(z)=O(|z|^{k})}$${\displaystyle \operatorname {arg} (z)\in (-\beta ,\beta )}$${\displaystyle f(z)=O(|z|^{-1-\delta })}$${\displaystyle a=e^{i\beta /2}}$ $${\displaystyle \int _{a^{-1}\infty }^{0}+\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz=-2i\pi \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Res} \left({\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n).}$$

Затем$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a^{-1}\infty }^{0}{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz&=-\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz\\&=\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{e^{2i\pi z}-1}}\,dz+\int _{0}^{a^{-1}\infty }f(z)\,dz\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a^{-1}t)}{e^{2i\pi a^{-1}t}-1}}\,d(a^{-1}t)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt.\end{aligned}}}$$

Используя интегральную теорему Коши для последнего, получаем таким образом$${\displaystyle \int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(at)}{e^{-2i\pi at}-1}}\,d(at),}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {a\,f(at)}{e^{-2i\pi at}-1}}+{\frac {a^{-1}f(a^{-1}t)}{e^{2i\pi a^{-1}t}-1}}\right)\,dt.}$$

Это тождество остается верным при аналитическом продолжении всюду, где интеграл сходится, что позволяет нам получить формулу Абеля–Плана${\displaystyle a\to i}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {i\,f(it)-i\,f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\right)\,dt.}$$

Случай ƒ (0) ≠ 0 получается аналогично, с заменой двумя интегралами, следующими по тем же кривым с небольшим отступом слева и справа от 0.${\textstyle \int _{a^{-1}\infty }^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz}$

• Формула суммирования Эйлера–Маклорена
• Суммирование Эйлера–Буля
• Рамануджана суммирование

• Абель, Нью-Хэмпшир (1823), Решение некоторых проблем в помощь интегральным определениям
• Бутцер, ПЛ; Феррейра, П. Дж. С. Г.; Шмайссер, Г.; Стенс, Р. Л. (2011), «Формулы суммирования Эйлера–Маклорена, Абеля–Плана, Пуассона и их взаимосвязи с приближенной формулой выборки анализа сигналов», Результаты по математике , 59 (3): 359– 400, doi :10.1007/s00025-010-0083-8, ISSN  1422-6383, MR  2793463, S2CID  54634413
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1997) [1974], Асимптотика и специальные функции , AKP Classics, Уэллсли, Массачусетс: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0, г-н  1429619
• Плана, GAA (1820), «Новое аналитическое выражение имен Бернуллиев, propre à exprimer en termesfinis la formule générale pour la sommation des suite», Mem. Аккад. наук. Турин , 25 : 403–418 .

• Андерсон, Дэвид. "Формула Абеля-Плана". MathWorld .