Орбитальные элементы

Параметры, однозначно определяющие конкретную орбиту

Орбитальные элементы — это параметры, необходимые для однозначной идентификации конкретной орбиты . В небесной механике эти элементы рассматриваются в двухчастичных системах с использованием орбиты Кеплера . Существует много различных способов математического описания одной и той же орбиты, но в астрономии и орбитальной механике обычно используются определенные схемы, каждая из которых состоит из набора из шести параметров .

Реальная орбита и ее элементы изменяются со временем из-за гравитационных возмущений со стороны других объектов и эффектов общей теории относительности . Орбита Кеплера — это идеализированное математическое приближение орбиты в определенное время.

Кеплеровские элементы

На этой диаграмме плоскость орбиты (желтая) пересекает плоскость отсчета (серую). Для спутников, вращающихся вокруг Земли, плоскостью отсчета обычно является экваториальная плоскость Земли, а для спутников на солнечных орбитах — плоскость эклиптики . Пересечение называется линией узлов , поскольку оно соединяет тело отсчета (первичное) с восходящим и нисходящим узлами. Тело отсчета и точка весеннего равноденствия ( ♈︎ ) устанавливают направление отсчета и вместе с плоскостью отсчета устанавливают систему отсчета.

Традиционными орбитальными элементами являются шесть кеплеровских элементов , названных в честь Иоганна Кеплера и его законов движения планет .

При наблюдении из инерциальной системы отсчета два вращающихся тела вычерчивают различные траектории. Каждая из этих траекторий имеет свой фокус в общем центре масс . При наблюдении из неинерциальной системы отсчета, центрированной на одном из тел, видна только траектория противоположного тела; элементы Кеплера описывают эти неинерциальные траектории. Орбита имеет два набора элементов Кеплера в зависимости от того, какое тело используется в качестве точки отсчета. Тело отсчета (обычно самое массивное) называется первичным , другое тело называется вторичным . Первичное тело не обязательно обладает большей массой, чем вторичное, и даже когда тела имеют одинаковую массу, элементы орбиты зависят от выбора первичного тела.

Форму и размер эллипса определяют два элемента:

Эксцентриситет ( $e$ ) — форма эллипса, описывающая, насколько он вытянут по сравнению с окружностью (на схеме не обозначено).
Большая полуось ( $a$ ) — половина расстояния между апоцентром и перицентром . Часть большой полуоси, простирающаяся от первичной звезды в одном фокусе до перицентра, показана на схеме фиолетовой линией; остальная часть (от первичной звезды/фокуса до центра эллипса орбиты) находится ниже плоскости отсчета и не показана.

Ориентацию орбитальной плоскости , в которую вписан эллипс, определяют два элемента:

Наклон ( $i$ ) — вертикальный наклон эллипса относительно плоскости отсчета, измеренный в восходящем узле (где орбита проходит вверх через плоскость отсчета, зеленый угол $i$ на схеме). Угол наклона измеряется перпендикулярно линии пересечения между плоскостью орбиты и плоскостью отсчета. Любые три различные точки на эллипсе будут определять плоскость орбиты эллипса. Плоскость и эллипс являются двумерными объектами, определенными в трехмерном пространстве.
Долгота восходящего узла ( $Ω$ ) — горизонтально ориентирует восходящий узел эллипса (где орбита проходит с юга на север через плоскость отсчета, обозначенную $☊$ ) относительно точки весеннего равноденствия системы отсчета (обозначенной ♈︎). Она измеряется в плоскости отсчета и показана на диаграмме как зеленый угол $Ω .$

Оставшиеся два элемента следующие:

Аргумент перицентра ( $ω$ ) определяет ориентацию эллипса в плоскости орбиты как угол, измеряемый от восходящего узла до перицентра (ближайшей точки, в которой тело спутника подходит к основному телу, вокруг которого оно вращается), фиолетовый угол $ω$ на диаграмме.
Истинная аномалия ( $ν$ , $θ$ или $f$ ) в эпоху ( $t0$ ) определяет положение вращающегося тела вдоль эллипса в определенное время («эпоху»), выраженное как угол от перицентра $.$

Средняя аномалия $M$ — это математически удобный фиктивный «угол», который не соответствует реальному геометрическому углу, а скорее линейно меняется со временем, причем один полный орбитальный период представлен «углом» в 2 $π$ радиан . Его можно преобразовать в истинную аномалию $ν$ , которая представляет собой реальный геометрический угол в плоскости эллипса между перицентром (ближайшим сближением с центральным телом) и положением вращающегося тела в любой момент времени. Таким образом, истинная аномалия показана как красный угол $ν$ на диаграмме, а средняя аномалия не показана.

Углы наклона, долготу восходящего узла и аргумент перицентра также можно описать как углы Эйлера, определяющие ориентацию орбиты относительно опорной системы координат.

Обратите внимание, что неэллиптические траектории также существуют, но они не замкнуты и, таким образом, не являются орбитами. Если эксцентриситет больше единицы, траектория является гиперболой . Если эксцентриситет равен единице, траектория является параболой . Независимо от эксцентриситета орбита вырождается в радиальную траекторию , если угловой момент равен нулю.

Требуемые параметры

При наличии инерциальной системы отсчета и произвольной эпохи (определенного момента времени) для однозначного определения произвольной и невозмущенной орбиты необходимо ровно шесть параметров.

Это связано с тем, что задача содержит шесть степеней свободы . Они соответствуют трем пространственным измерениям , которые определяют положение ( $x$ , $y$ , $z$ в декартовой системе координат ), плюс скорость в каждом из этих измерений. Их можно описать как векторы орбитального состояния , но это часто неудобный способ представления орбиты, поэтому вместо них обычно используются элементы Кеплера.

Иногда эпоху считают «седьмым» орбитальным параметром, а не частью системы отсчета.

Если эпоха определяется как момент, когда один из элементов равен нулю, количество неуказанных элементов сокращается до пяти. (Шестой параметр по-прежнему необходим для определения орбиты; он просто численно устанавливается равным нулю по соглашению или «перемещается» в определение эпохи относительно реального времени часов.)

Альтернативные параметризации

Кеплеровские элементы могут быть получены из векторов орбитального состояния (трехмерный вектор для положения и другой для скорости) путем ручных преобразований или с помощью компьютерного программного обеспечения. ^[1]

Другие орбитальные параметры могут быть вычислены из кеплеровских элементов, таких как период , апоцентр и перицентр . (При движении по орбите вокруг Земли последние два члена известны как апогей и перигей.) Обычно в наборах кеплеровских элементов вместо большой полуоси a указывается период, поскольку каждый из них может быть вычислен из другого при условии, что для центрального тела задан стандартный гравитационный параметр $GM$ .

Вместо средней аномалии в эпоху может использоваться средняя аномалия $M$ , средняя долгота , истинная аномалия $ν 0$ или (реже) эксцентрическая аномалия .

Использование, например, "средней аномалии" вместо "средней аномалии в эпоху" означает, что время $t$ должно быть указано как седьмой орбитальный элемент. Иногда предполагается, что средняя аномалия равна нулю в эпоху (путем выбора соответствующего определения эпохи), оставляя только пять других орбитальных элементов для указания.

Для различных астрономических тел используются различные наборы элементов. Эксцентриситет $e$ и либо большая полуось $a$ , либо расстояние перицентра $q$ используются для указания формы и размера орбиты. Долгота восходящего узла $Ω$ , наклонение $i$ и аргумент перицентра $ω$ или долгота перицентра $ϖ$ определяют ориентацию орбиты в ее плоскости. Для указания известной точки на орбите используются либо долгота в эпоху $L 0$ , либо средняя аномалия в эпоху $M 0$ , либо время прохождения перигелия $T 0$ . Выбор зависит от того, используется ли в качестве первичной точки отсчета весеннее равноденствие или узел. Большая полуось известна, если известны среднее движение и гравитационная масса . ^[2]^[3]

Также довольно часто можно увидеть либо среднюю аномалию ( $M$ ), либо среднюю долготу ( $L$ ), выраженную напрямую, без $M 0$ или $L 0$ в качестве промежуточных шагов, как полиномиальную функцию по времени. Этот метод выражения объединит среднее движение ( $n$ ) в полином как один из коэффициентов. Будет казаться, что $L$ или $M$ выражены более сложным образом, но нам, по-видимому, понадобится на один орбитальный элемент меньше.

Среднее движение также может быть скрыто за цитатами орбитального периода $P.$ ^{[ необходимо разъяснение ]}

Наборы орбитальных элементов
Объект	Использованные элементы
Большая планета	$е, а, я, Ω, ϖ, L0 $
комета	$е, q, я, Ω, ω, T0$
Астероид	$е, а, я, Ω, ω, М 0$
Двухстрочные элементы	$е, я, Ω, ω, n, M0$

Преобразования углов Эйлера

Углы $Ω$ , $i$ , $ω$ являются углами Эйлера (соответствующими $α$ , $β$ , $γ$ в обозначениях, используемых в этой статье), характеризующими ориентацию системы координат

$x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ из инерциальной системы координат $Î$ , $Ĵ$ , $K̂$

где:

$Î$ , $Ĵ$ находится в экваториальной плоскости центрального тела. $Î$ находится в направлении весеннего равноденствия. $Ĵ$ перпендикулярен $Î$ и вместе с $Î$ определяет плоскость отсчета. $K̂$ перпендикулярен плоскости отсчета. Орбитальные элементы тел (планет, комет, астероидов, ...) в Солнечной системе обычно принимаютза плоскость эклиптики .
$x̂$ , $ŷ$ находятся в плоскости орбиты, причем $x̂$ направлена к перицентру ( периапсису ). $ẑ$ перпендикулярна плоскости орбиты. $ŷ$ взаимно перпендикулярна $x̂$ и $ẑ$ .

Тогда преобразование из системы координат $Î$ , $Ĵ$ , $K̂ в систему$ $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ с углами Эйлера $Ω$ , $i$ , $ω$ имеет вид: где ${\begin{aligned}x_{1}&=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{2}&=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{3}&=\sin i\cdot \sin \omega ;\\\,\\y_{1}&=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{2}&=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{3}&=\sin i\cdot \cos \omega \ ;\\\,\\z_{1}&=\sin i\cdot \sin \Omega \ ;\\z_{2}&=-\sin i\cdot \cos \Omega \ ;\\z_{3}&=\cos i\ ;\\\end{align}}$ ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,;$ ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\end{aligned}}$

Обратное преобразование, вычисляющее 3 координаты в системе IJK по 3 (или 2) координатам в системе xyz, представлено обратной матрицей. Согласно правилам матричной алгебры , обратная матрица произведения 3 матриц вращения получается путем инвертирования порядка трех матриц и переключения знаков трех углов Эйлера.

То есть,

${\begin{bmatrix}i_{1}&i_{2}&i_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\k_{1}&k_{2}&k_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega &-\sin \Omega &0\\\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos i&-\sin i\\0&\sin i&\cos i\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\cos \omega &-\sin \omega &0\\\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,;$ где ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {I}} &=i_{1}\mathbf {\hat {x}} +i_{2}\mathbf {\hat {y}} +i_{3}\mathbf {\hat {z}} ~;\\\mathbf {\hat {J}} &=j_{1}\mathbf {\hat {x}} +j_{2}\mathbf {\hat {y}} +j_{3}\mathbf {\hat {z}} ~;\\\mathbf {\hat {K}} &=k_{1}\mathbf {\hat {x}} +k_{2}\mathbf {\hat {y}} +k_{3}\mathbf {\hat {z}} ~.\\\end{aligned}}$

Преобразование из $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ в углы Эйлера $Ω$ , $i$ , $ω$ выглядит следующим образом: где $arg($ $x$ $,$ $y$ $)$ обозначает полярный аргумент, который можно вычислить с помощью стандартной функции atan2(y,x) , доступной во многих языках программирования. ${\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\end{aligned}}$

Прогнозирование орбиты

При идеальных условиях идеально сферического центрального тела, нулевых возмущений и пренебрежимо малых релятивистских эффектов все орбитальные элементы, за исключением средней аномалии, являются константами. Средняя аномалия изменяется линейно со временем, масштабируемым средним движением , ^[2] где $μ$ — стандартный гравитационный параметр . Следовательно, если в любой момент $t$ $0$ орбитальные параметры равны $($ $e$ $0$ $,$ $a$ $0$ $,$ $i$ $0$ $, Ω$ $0$ $,$ $ω$ $0$ $,$ $M$ $0$ $)$ , то элементы в момент времени $t$ $=$ $t$ $0$ $+$ $δt$ задаются как $($ $e$ $0$ $,$ $a$ $0$ $,$ $i$ $0$ $, Ω$ $0$ $,$ $ω$ $0$ $,$ $M$ $0$ $+$ $n$ $δt$ $)$ . $n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.$

Возмущения и элементарные дисперсии

Невозмущенные, двухчастичные , ньютоновские орбиты всегда являются коническими сечениями , поэтому элементы Кеплера определяют эллипс , параболу или гиперболу . Реальные орбиты имеют возмущения, поэтому заданный набор элементов Кеплера точно описывает орбиту только в эпоху. Эволюция элементов орбиты происходит из-за гравитационного притяжения тел, отличных от первичного, несферичности первичного, атмосферного сопротивления , релятивистских эффектов , давления излучения , электромагнитных сил и так далее.

Кеплеровские элементы часто могут использоваться для получения полезных предсказаний в моменты, близкие к эпохе. В качестве альтернативы реальные траектории могут быть смоделированы как последовательность кеплеровских орбит, которые соприкасаются («целуются» или касаются) с реальной траекторией. Их также можно описать так называемыми планетарными уравнениями, дифференциальными уравнениями, которые существуют в различных формах, разработанных Лагранжем , Гауссом , Делоне , Пуанкаре или Хиллом .

Двухстрочные элементы

Параметры элементов Кеплера могут быть закодированы в виде текста в ряде форматов. Наиболее распространенным из них является формат NASA / NORAD «двухстрочные элементы» (TLE), ^[4] изначально разработанный для использования с 80-колоночными перфокартами, но до сих пор используемый, поскольку это наиболее распространенный формат, а 80-символьные записи ASCII могут эффективно обрабатываться современными базами данных.

В зависимости от приложения и орбиты объекта данные, полученные из TLE старше 30 дней, могут стать ненадежными. Орбитальные позиции могут быть рассчитаны из TLE с помощью упрощенных моделей возмущений ( SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8). ^[5]

Пример двухстрочного элемента: ^[6]

1 27651U 03004A 07083.49636287 .00000119 00000-0 30706-4 0 26922 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

переменные Делоне

Орбитальные элементы Делоне были введены Шарлем-Эженом Делоне во время его изучения движения Луны . [ ^7] Обычно называемые переменными Делоне , они представляют собой набор канонических переменных , которые являются координатами действие-угол . Углы являются простыми суммами некоторых из углов Кеплера:

средняя долгота : , $\ell =M+\omega +\Omega$
долгота перицентра : , и $g=\omega +\Omega$
долгота восходящего узла : $h=\Omega$

вместе с их соответствующими сопряженными импульсами L $,$ G $и$ H. $[$ ^8] Импульсы $L$ , $G$ и $H$ являются переменными действия и представляют собой более сложные комбинации кеплеровских элементов $a$ , $e$ и $i$ .

Переменные Делоне используются для упрощения пертурбативных вычислений в небесной механике, например, при исследовании колебаний Козаи–Лидова в иерархических тройных системах. ^[8] Преимущество переменных Делоне заключается в том, что они остаются хорошо определенными и несингулярными (за исключением $h$ , что может быть допустимо), когда $e$ и/или $i$ очень малы: когда орбита пробной частицы очень близка к круговой ( ), или очень близка к «плоской» ( ). $e\approx 0$ $i\approx 0$

Смотрите также

Видимая долгота
Семейство астероидов , астероиды, которые имеют схожие элементы собственной орбиты.
Угол бета
Эфемериды
Модель геопотенциала
Наклонение орбиты
Векторы орбитального состояния
Правильные орбитальные элементы
Оскулирующая орбита

Ссылки

^ Например, с "VEC2TLE". amsat.org . Архивировано из оригинала 20 мая 2016 . Получено 19 июня 2013 .
^ ab Green, Robin M. (1985). Сферическая астрономия . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.
^ Дэнби, JMA (1962). Основы небесной механики . Вильманн-Белл. ISBN 978-0-943396-20-0.
^ Kelso, TS "FAQs: Two-line element set format". celestrak.com . CelesTrak. Архивировано из оригинала 26 марта 2016 г. Получено 15 июня 2016 г.
^ Seidelmann, KP, ред. (1992). Пояснительное приложение к Астрономическому альманаху (1-е изд.). Mill Valley, CA: University Science Books.
^ "SORCE". Heavens-Above.com . данные об орбите. Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 г.
^ Обен, Дэвид (2014). «Делоне, Шарль-Эжен». Биографическая энциклопедия астрономов . Нью-Йорк: Springer New York. С. 548–549. doi :10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0.
^ ab Шевченко, Иван (2017). Эффект Лидова–Козаи: применение в исследовании экзопланет и динамической астрономии . Cham: Springer. ISBN 978-3-319-43522-0.

Внешние ссылки

Гурфил, Пини (2005). «Параметры Эйлера как несингулярные орбитальные элементы в околоэкваториальных орбитах». Журнал руководства, управления и динамики . 28 (5): 1079–1084. Bibcode : 2005JGCD...28.1079G. doi : 10.2514/1.14760.

"Учебник". AMSAT . Элементы Кеплера. Архивировано из оригинала 14 октября 2002 г.

"Orbits Tutorial". marine.rutgers.edu . Архивировано из оригинала 19 апреля 2021 г. . Получено 30 июля 2019 г. .

«Визуализатор орбитальных элементов». orbitalmechanics.info .

Отчет № 3 (PDF) . celestrak (Отчет). Spacetrack. Североамериканское командование воздушно-космической обороны (NORAD). Архивировано (PDF) из оригинала 3 сентября 2000 г.– серьезная обработка орбитальных элементов

"FAQ". Celestrak . Двухстрочные элементы. Архивировано из оригинала 26 марта 2016 г.

«Онлайн-эфемериды JPL HORIZONS».– также поставляет орбитальные элементы для большого количества объектов солнечной системы

"Средние параметры орбиты". ssd.jpl.nasa.gov . Спутники планет. JPL / NASA.

«Введение в экспорт». ssd.jpl.nasa.gov . Планетарные и лунные эфемериды JPL. JPL / NASA.

"Векторы состояния: VEC2TLE". MindSpring (программное обеспечение). Архивировано из оригинала 3 марта 2016 года.– доступ к программному обеспечению VEC2TLE

"Функция 'iauPlan94'" ( исходный код программного обеспечения на языке C ). Библиотека IAU SOFA C.– элементы орбит больших планет

[1] Например, с "VEC2TLE". amsat.org . Архивировано из оригинала 20 мая 2016 . Получено 19 июня 2013 .

[Green-2] Green, Robin M. (1985). Сферическая астрономия . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.

[Danby-3] Дэнби, JMA (1962). Основы небесной механики . Вильманн-Белл. ISBN 978-0-943396-20-0.

[Kelso_FAQ-4] Kelso, TS "FAQs: Two-line element set format". celestrak.com . CelesTrak. Архивировано из оригинала 26 марта 2016 г. Получено 15 июня 2016 г.

[5] Seidelmann, KP, ред. (1992). Пояснительное приложение к Астрономическому альманаху (1-е изд.). Mill Valley, CA: University Science Books.

[6] "SORCE". Heavens-Above.com . данные об орбите. Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 г.

[Aubin-2014-7] Обен, Дэвид (2014). «Делоне, Шарль-Эжен». Биографическая энциклопедия астрономов . Нью-Йорк: Springer New York. С. 548–549. doi :10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0.

[Shevchenko-2017-8] Шевченко, Иван (2017). Эффект Лидова–Козаи: применение в исследовании экзопланет и динамической астрономии . Cham: Springer. ISBN 978-3-319-43522-0.