Система Катапаяди

Древнеиндийская алфавитно-слоговая система счисления

Эта статья содержит индийский текст . Без надлежащей поддержки рендеринга вы можете увидеть вопросительные знаки или квадраты , неуместные гласные или пропущенные союзы вместо индийского текста.

Система катапайади (деванагари: कटपयादि, также известная как Paralppēru, малаялам: പരല്‍പ്പേര്) числовой нотации — это древняя индийская алфавитно-слоговая система счисления, которая использовалась для изображения букв в цифрах для легкого запоминания чисел в виде слов или стихов. Присваивая одной цифре более одной буквы и аннулируя некоторые другие буквы как бесполезные, эта система обеспечивает гибкость в формировании значимых слов из чисел, которые можно легко запомнить.

История

Самое старое доступное свидетельство использования системы Катапаяди (санскрит : कटपयादि) взято из Грахачаранибандханы Харидатты в 683 году нашей эры . ^[1] Оно использовалось в «Лагхубхаскария-виваране», написанном Шанкара-нараяной в 869 году нашей эры . ^[2]

В некоторых популярных в Керале астрономических текстах положения планет были закодированы в системе Катапаяди. Первой такой работой считается Чандра-вакьяни Вараручи , который традиционно датируется четвертым веком н. э . Поэтому разумной оценкой происхождения системы Катапаяди является начало первого тысячелетия . ^[3]

Арьябхата , в своем трактате Ārya·bhaṭīya , как известно, использовал похожую, более сложную систему для представления астрономических чисел . Нет никаких окончательных доказательств того, произошла ли система Ka-ṭa-pa-yā-di от нумерации Āryabhaṭa . ^[4]

География использования

Почти все свидетельства использования системы Ka-ṭa-pa-yā-di получены из Южной Индии , особенно из Кералы . О ее использовании в Северной Индии известно немного. Однако на санскритской астролябии , обнаруженной в Северной Индии , градусы высоты отмечены в системе Kaṭapayadi . Она хранится в библиотеке Сарасвати Бхаван Университета санскрита Сампурнананда в Варанаси . ^[5]

Система Ka-ṭa-pa-yā-di не ограничивается Индией. Некоторые палийские хронограммы , основанные на системе Ka-ṭa-pa-yā-di, были обнаружены в Бирме . ^[6]

Правила и практики

Следующий стих из «Садратнамалы» Шанкаравармана объясняет механизм работы системы. ^[7]^[8]

Нэнси Сэнсэй Синг: कटपयादय:।
Мимо Нэнси Сэнсэн и Нэнси. Ответ:॥

Транслитерация:

наньявачащча шуньяни санкхйах катапаядаях
мишре тупантьяхал санкхья на ча чинтйо халасварах

Перевод: na (न), ña (ञ) и a (अ)-s, т.е. гласные представляют ноль . Девять целых чисел представлены группой согласных, начинающейся с ka , ṭa , pa , ya . В конъюнктной согласной учитывается только последняя согласная. Согласная без гласной игнорируется.

Пояснение: Соответствие букв цифрам осуществляется в следующем порядке (в системах письма деванагари, каннада, телугу и малаялам соответственно)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ка ка ка ка ка ка	кха х х х х х	га ग ಗ గ ഗ	гха घ ಘ ఘ ഘ	нга ङ ಙ ఙ ങ	ca च ಚ చ ച	ча छ ಛ ఛ ഛ	ja ज ಜ జ ജ	джха झ ಝ ఝ ഝ	ня ञ ಞ ఞ ഞ
та т ट ಟ ట ട	ṭha ठ ಠ ఠ ഠ	да да да да	дха ढ ಢ ఢ ഢ	ṇa ण ಣ ణ ണ	та т н н н н	tha थ ಥ థ ഥ	да да да да	дха ध ಧ ధ ധ	на н н н н
pa प ಪ ప പ	фа फ ಫ ఫ ഫ	ба б б б	бха भ ಭ భ ഭ	ма м м м м м	–	–	–	–	–
да य ಯ య യ	ра र ರ ర ര	ла ल ల ల ല	ва व ವ వ വ	sha श ಶ శ ശ	๣a ष ಷ ష ഷ	sa स ಸ స സ	ха х х х х х	–	–

Согласные имеют числительные, назначенные в соответствии с таблицей выше. Например, ba (ब) всегда 3, тогда как 5 может быть представлено либо nga (ङ), либо ṇa (ण), либо ma (म), либо śha (श).
Всем отдельным гласным, таким как a (अ) и ṛ (ऋ), присваивается значение ноль.
В случае конъюнкта согласные, присоединенные к негласной, не будут иметь значения. Например, kya (क्य) образуется как k (क्) + y (य्) + a (अ). Единственная согласная, стоящая с гласной, — это ya (य). Поэтому соответствующая цифра для kya (क्य) будет 1.
В системе нет способа представления десятичного разделителя .
Индийцы использовали индо-арабскую систему счисления, традиционно записываемую в порядке возрастания разрядов слева направо. Это соответствует правилу "अङ्कानां वामतो गतिः", что означает, что числа идут справа налево.

Вариации

Согласный ḷ (малаялам: ള, деванагари: ळ, каннада: ಳ) используется в произведениях, использующих систему Катапаяди, например, в таблице синусов Мадхавы .
Поздние средневековые практики не сопоставляют отдельные гласные с нулем. Но иногда это считается бесполезным.

Использование

Математика и астрономия

Таблица синусов Мадхавы, составленная математиком и астрономом из Кералы XIV века Мадхавой из Сангамаграмы, использует систему Катапаяди для перечисления тригонометрических синусов углов.
Карана·паддхати , написанная в 15 веке, содержит следующую шлоку для значения числа пи (π):

അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-
Новости
Ответ на вопрос -
വ്യാസസ്തദര്‍ദ്ധം ത്രിഭമൗര്‍വിക സ്യാത്‌

Транслитерация

анунануннананнанануннанитьяи
ссмахаташчакра калавибхактох
Чандамшучандрадхамакумбхипалаир
вьясастадарддхам трибхамаурвика сйат

Длина окружности диаметра, анунануннануннанитьяи (10 000 000 000), равна чандамшукандрадхамакумбхипалаир (31415926536).

Садратнамала Шанкаравармана использует систему Катапаяди. Первый стих Главы 4 Садратнамалы заканчивается строкой: ^[9]

(Санкт-Петербург) Сейл Дэйв:

Транслитерация

(сйад) бхадрамбудхисиддхаджанмаганиташраддха сма йад бхупагих

Разделение согласных в соответствующей фразе дает:

भ бха	д d	Ра Ра	м м	бу бу	д d	धि дхи	да, да	д d	ध дха	ज ja	нет н	म ма	га	нет	та	श् s	ra	д d	धा дха	с	म ма	да	д d	भू бху	प pa	गी ги
4	–	2	–	3	–	9	7	–	9	8	–	5	3	5	6	–	2	–	9	–	5	1	–	4	1	3

Переставив цифры в соответствии с современным порядком убывания десятичных знаков, мы получим 314159265358979324 , что является значением числа Пи (π) с точностью до 17 десятичных знаков, за исключением того, что последняя цифра может быть округлена до 4.

В этом стихе зашифровано значение числа Пи (π) с точностью до 31 знака после запятой.

Нью-Йорк-Сент-Луис खलजीवितखाताव Hilton

ಗೋಪೀಭಾಗ್ಯಮಧುವ್ರಾತ-ಶೃಂಗಿಶೋದಧಿಸಂಧಿಗ || ಖಲಜೀವಿತಖಾತಾವ ಗಲಹಾಲಾರಸಂಧರ ||

Этот стих напрямую дает десятичный эквивалент числа Пи, деленного на 10: Пи/10 = 0,31415926535897932384626433832792

గోపీభాగ్యమధువ్రాత-శృంగిశోదధిసంధిగ | ఖలజీవితఖాతావ గలహాలారసంధర ||

Традиционно порядок цифр обратный для формирования числа в системе катапайади. Это правило нарушается в этой шлоке.

Карнатическая музыка

Раги мелакарта музыки Карната названы так, что первые два слога названия дают ее номер. Эту систему иногда называют Ka-ta-pa-ya-di sankhya. Свары « Sa» и «Pa» фиксированы, и вот как получить другие свары из номера мелакарта.

Мелакарты с 1 по 36 имеют Ma1, а с 37 по 72 — Ma2.
Остальные примечания выводятся путем запоминания (целой части) частного и остатка от деления числа, на единицу меньшего, чем число мелакарта, на 6. Если число мелакарта больше 36, вычтите 36 из числа мелакарта перед выполнением этого шага.
Позиции «Ри» и «Га»: рага будет иметь:
- Ri1 и Ga1, если частное равно 0
- Ri1 и Ga2, если частное равно 1
- Ri1 и Ga3, если частное равно 2
- Ri2 и Ga2, если частное равно 3
- Ri2 и Ga3, если частное равно 4
- Ri3 и Ga3, если частное равно 5
Позиции «Да» и «Ни»: рага будет иметь:
- Da1 и Ni1, если остаток равен 0
- Da1 и Ni2, если остаток равен 1
- Da1 и Ni3, если остаток равен 2
- Da2 и Ni2, если остаток равен 3
- Da2 и Ni3, если остаток равен 4
- Da3 и Ni3, если остаток равен 5

Подробнее об обозначениях см. в разделе «Свары» в музыке Карнатака .

РагаДхерасанкарабхаранам

Схема катапайади связывает дха 9 и ра 2, поэтому число мелакарты раги равно 29 (92 наоборот). 29 меньше 36, поэтому Дхирасанкарабхаранам имеет Ma1. Разделите 28 (1 меньше 29) на 6, частное равно 4, а остаток 4. Следовательно, эта рага имеет Ri2, Ga3 (частное равно 4) и Da2, Ni3 (остаток равен 4). Следовательно, шкала этой раги равна Sa Ri2 Ga3 Ma1 Pa Da2 Ni3 SA . $\leftrightarrow$ $\leftrightarrow$

РагаМехаКальяни

Из схемы кодирования Ma 5, Cha 6. Следовательно, номер мелакарты раги равен 65 (56 наоборот). 65 больше 36. Поэтому у MechaKalyani есть Ma2. Поскольку номер раги больше 36, вычтите из него 36. 65–36=29. 28 (на 1 меньше 29) делим на 6: частное = 4, остаток = 4. Встречается Ri2 Ga3. Встречается Da2 Ni3. Поэтому у MechaKalyani есть ноты Sa Ri2 Ga3 Ma2 Pa Da2 Ni3 SA . $\leftrightarrow$ $\leftrightarrow$

Исключение дляСимхендрамадхьямам

Согласно приведенному выше расчету, мы должны получить Sa 7, Ha 8, что дает число 87 вместо 57 для Simhendramadhyamam. В идеале это должно быть Sa 7, Ma 5, что дает число 57. Поэтому считается, что имя должно быть написано как Sihmendramadhyamam (как в случае с Bra hm ana на санскрите). $\leftrightarrow$ $\leftrightarrow$ $\leftrightarrow$ $\leftrightarrow$

Представление дат

Важные даты запоминались путем преобразования их с помощью системы Катапаяди . Эти даты обычно представляются как количество дней с начала Кали-юги . Иногда это называется калидина санкхья .

Календарь малаялам, известный как коллаваршам (малаялам: കൊല്ലവര്‍ഷം), был принят в Керале начиная с 825 года нашей эры, в результате чего некоторые календари были обновлены. Эта дата запомнилась как ачарья вагбхада , преобразованная с помощью катапаяди в 1434160 дней с начала Кали-юги . ^[10]
«Нараяниям» , написанный Мельпатуром Нараяной Бхаттатири , заканчивается строкой āyurārogyasaukhyam (ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം), что означает долгую жизнь, здоровье и счастье. ^[11]

На языке малаялам	Новости
В деванагари	आयुरारोग्यसौख्यम्
В ИАСТ	айурарогьясаукхьям
Значение по Катапаяди	1712210

Это число — время завершения работы, представленное в виде количества дней с начала Кали-юги по малаяламскому календарю .

Другие

Некоторые люди используют систему Катапаяди для наречения имен новорожденным. ^[12]^[13]
Следующий стих, составленный на языке малаялам Кодуналлуром Кунниккуттаном Тампураном с использованием Катапаяди, представляет собой количество дней в месяцах григорианского календаря .

പലഹാരേ പാലു നല്ലൂ, പുലര്‍ന്നാലോ
ഇല്ലാ പാലെന്നു ഗോപാലന്‍ – ആംഗ്ലമാസദിനം ക്രമാല്‍

Транслитерация

палахаре палу наллу, пуларннало калаккилам
илла паленну гопалан – ангхамасадинам крамал

Перевод: Молоко лучше всего подходит для завтрака, когда утро, его следует размешать. Но Гопалан говорит, что молока нет – количество дней английских месяцев по порядку.

Преобразование пар букв с использованием катапаяди дает результат: пала (പല) — 31, харе (ഹാരേ) — 28, палу പാലു = 31, наллу (നല്ലൂ) — 30, пулар (പുലര്‍) — 31, ннало (ന്നാലോ) — 30, кала (കല) — 31, ккилан (ക്കിലാം) — 31, илла (ഇല്ലാ) 30 лет, бледный (പാലെ) — 31, нну го (ന്നു ഗോ) — 30, палан (പാലന്‍) — 31.

Смотрите также

Ссылки

^ Шрирамамула Раджешвара Сарма, СИСТЕМА ЧИСЛОВЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ КАТАПАЯДИ И ЕЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗА ПРЕДЕЛАМИ КЕРАЛЫ, Rev. d'Histoire de Mathmatique 18 (2012) [1]
^ JJ O'Connor; EF Robertson (ноябрь 2000 г.). "Sankara Narayana". Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 1 января 2010 г.
^ Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Princeton University Press . стр. 384. ISBN 978-0-691-12067-6.
^ JF Fleet (апрель 1912 г.). «Нотация Ka-ta-pa-ya- di Второй Арья-Сиддханты». Журнал Королевского Азиатского Общества Великобритании и Ирландии . 44. Королевское Азиатское Общество Великобритании и Ирландии : 459– 462. doi :10.1017/S0035869X00043197. JSTOR 25190035. S2CID 163907655.
^ Шрирамамула Раджешвара Сарма (1999), Обозначения Катапаяди на санскритской астролябии. Индийский Дж. Хист. Ск.34(4) (1999)[2]
^ JF Fleet (июль 1911 г.). «Система выражения чисел Катапаяди». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . 43 (3). Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 788– 794. doi :10.1017/S0035869X00041952. JSTOR 25189917. S2CID 163597699.
^ Sarma, KV (2001). «Sadratnamala of Sankara Varman». Indian Journal of History of Science (Indian National Academy of Science, New Delhi) 36 (3–4 (Supplement)): 1–58. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 года . Получено 17 декабря 2009 года .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Ананд Раман. "Древняя формула Катапаяди и современный метод хеширования" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2011 г. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ Сарма (2001), стр. 26
^ Фрэнсис Циммерман, 1989, Лилавати, любезная леди арифметики – Индия – Математический таинственный тур "Лилавати, любезная леди арифметики - Индия - Математический таинственный тур | Курьер ЮНЕСКО | Найти статьи на BNET". Архивировано из оригинала 6 сентября 2009 года . Получено 3 января 2010 года .
^ Доктор К. Кришнан Намбудири, Чекракал Иллам, Каликут, Namboothiti.com Доктор К. Кришнан Намбудири. «Катапаяади» или «Паральпперу»». Доверие веб-сайтов Намбутири . Проверено 1 января 2010 г.
^ Висти Ларсен, Выбор благоприятного имени ^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
^ «Принципы именования».

Внешние ссылки

Катапаяди Санкхья, система кодирования-декодирования Катапаяди.

Дальнейшее чтение

AA Хаттангади, Исследования в области математики, Universities Press (India) Pvt. Ltd., Хайдарабад (2001) ISBN 81-7371-387-1 [3]

[astro-1] Шрирамамула Раджешвара Сарма, СИСТЕМА ЧИСЛОВЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ КАТАПАЯДИ И ЕЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗА ПРЕДЕЛАМИ КЕРАЛЫ, Rev. d'Histoire de Mathmatique 18 (2012) [1]

[2] JJ O'Connor; EF Robertson (ноябрь 2000 г.). "Sankara Narayana". Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 1 января 2010 г.

[3] Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Princeton University Press . стр. 384. ISBN 978-0-691-12067-6.

[4] ^ JF Fleet (апрель 1912 г.). «Нотация Ka-ta-pa-ya- di Второй Арья-Сиддханты». Журнал Королевского Азиатского Общества Великобритании и Ирландии . 44. Королевское Азиатское Общество Великобритании и Ирландии : 459– 462. doi :10.1017/S0035869X00043197. JSTOR 25190035. S2CID 163907655.

[5] Шрирамамула Раджешвара Сарма (1999), Обозначения Катапаяди на санскритской астролябии. Индийский Дж. Хист. Ск.34(4) (1999)[2]

[6] JF Fleet (июль 1911 г.). «Система выражения чисел Катапаяди». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . 43 (3). Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 788– 794. doi :10.1017/S0035869X00041952. JSTOR 25189917. S2CID 163597699.

[7] Sarma, KV (2001). «Sadratnamala of Sankara Varman». Indian Journal of History of Science (Indian National Academy of Science, New Delhi) 36 (3–4 (Supplement)): 1–58. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 года . Получено 17 декабря 2009 года .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

[8] Ананд Раман. "Древняя формула Катапаяди и современный метод хеширования" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2011 г. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[9] Сарма (2001), стр. 26

[10] Фрэнсис Циммерман, 1989, Лилавати, любезная леди арифметики – Индия – Математический таинственный тур "Лилавати, любезная леди арифметики - Индия - Математический таинственный тур | Курьер ЮНЕСКО | Найти статьи на BNET". Архивировано из оригинала 6 сентября 2009 года . Получено 3 января 2010 года .

[11] Доктор К. Кришнан Намбудири, Чекракал Иллам, Каликут, Namboothiti.com Доктор К. Кришнан Намбудири. «Катапаяади» или «Паральпперу»». Доверие веб-сайтов Намбутири . Проверено 1 января 2010 г.

[12] Висти Ларсен, Выбор благоприятного имени ^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}

[13] «Принципы именования».