Каранападдхати

Каранападдхати
Автор	Путхумана Сомаяджи
Язык	санскрит
Предмет	Астрономия / Математика
Дата публикации	1733 г. н.э. (?)
Место публикации	Индия

Книга Путхумана Сомаяджи

Karanapaddhati — астрономический трактат на санскрите, приписываемый Путхумане Сомаяджи , астроному - математику керальской школы астрономии и математики . Период написания работы неизвестен. CM Whish , государственный служащий Ост-Индской компании , впервые представил эту работу вниманию европейских учёных в статье, опубликованной в 1834 году. ^[1] Книга разделена на десять глав и написана в форме стихов на санскрите . Шестая глава содержит разложения в ряды для значения математической константы π и разложения для тригонометрических функций синуса , косинуса и арктангенса . ^[2]

Автор и дата Каранападдхати

Ничего определенного не известно об авторе Karanapaddhati. Последний стих десятой главы Karanapaddhati описывает автора как брахмана, проживающего в деревне под названием Sivapura. Sivapura — это область, окружающая современный Триссур в Керале , Индия .

Период, в котором жил Сомаяджи, также неизвестен. Существует несколько теорий на этот счет. ^[3]

CM Whish , первый западный человек, написавший о Karanapaddhati, основываясь на своей интерпретации того, что некоторые слова, появляющиеся в последнем стихе Karanapaddhati, обозначают в системе катапайади количество дней в Кали-юге , пришел к выводу, что книга была завершена в 1733 году н. э. Whish также утверждал, что внук автора Karanapaddhati был жив и на момент написания своей статьи ему было семьдесят лет. ^[1]
Основываясь на ссылке на Путхумана Сомаяджи в стихе Говиндабхатты «Ганита Сучика Грантха», Раджа Раджа Варма поместил автора «Каранападдхати» между 1375 и 1475 годами нашей эры. ^[3]^[4]
Внутреннее исследование «Каранападдхати» предполагает, что эта работа современна или даже предшествует « Тантрасанграхе» Нилакантхи Сомаяджи (1465–1545 гг. н. э.) ^{[3] .}

Аннотация книги

Ниже представлен краткий обзор содержания различных глав книги. ^[5]

Глава 1 : Вращение и обращение планет в одну махаюгу ; количество гражданских дней в махаюгу ; солнечные месяцы , лунные месяцы, вставные месяцы ; кальпа и четыре юги и их продолжительность, подробности Кали-юги , расчет эры Кали по эре Малаялам , расчет дней Кали ; истинное и среднее положение планет; простые методы численных расчетов; вычисление истинных и средних положений планет; подробности орбит планет; константы, которые следует использовать для расчета различных параметров разных планет.

Глава 2 : Параметры, связанные с эрой Кали, положения планет, их угловые движения, различные параметры, связанные с Луной .

Глава 3 : Средний центр Луны и различные параметры Луны, основанные на ее широте и долготе , константы, связанные с Луной .

Глава 4 : Перигей и апогей Марса , поправки, которые следует давать в различных случаях для Марса , константы для Марса , Меркурия , Юпитера , Венеры , Сатурна в соответствующем порядке, перигей и апогей всех этих планет, их соединение , возможности их соединений.

Глава 5 : Деление кальпы на основе обращения планет, количество оборотов в течение этой кальпы, количество гражданских и солнечных дней Земли с начала этой кальпы, количество и другие подробности манвантар для этой кальпы, дополнительные подробности о четырех югах.

Глава 6 : Вычисление длины окружности с использованием различных методов; деление окружности и диаметров; вычисление различных параметров окружности и их отношений; окружность, дуга, хорда , стрелка, углы , их отношения между различными параметрами; методы запоминания всех этих факторов с использованием системы катапаяди .

Глава 7 : Эпициклы Луны и Солнца, апогей и перигей планет; расчет знаков на основе зодиакального знака, в котором находятся планеты; хорда, связанная с восходом, заходом, апогеем и перигеем; метод определения времени окончания месяца; хорды эпициклов и апогеев для всех планет, их гипотенуза .

Глава 8 : Методы определения широты и долготы различных мест на Земле; R-синус и R-косинус широты и долготы, их дуга, хорда и различные константы.

Глава 9 : Подробности знака Альфа Овна; расчет положений планет в правильных угловых значениях; расчет положений звезд, параллакс, связанный с широтой и долготой для различных планет, Солнца, Луны и других звезд.

Глава 10 : Тени планет и расчет различных параметров, связанных с тенями; расчет точности положений планет.

Бесконечные ряды выражений

Шестая глава Karanapaddhati математически очень интересна. Она содержит выражения бесконечных рядов для константы π и разложения бесконечных рядов для тригонометрических функций . Эти ряды также появляются в Tantrasangraha , а их доказательства можно найти в Yuktibhāṣā .

Выражения ряда для π

Серия 1

Первая серия указана в стихе

     вйасаккатургхнад бахушах пртхакстхат трипанчасаптадьяюгахр тани
     вйасе чатургне крамашаствр̥нам свам курджат тада сьят паридхих сусуксмах,

который переводится в формулу

     π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Серия 2

Вторая серия указана в стихе

     вьясад ванасамгунитат пртхагаптам триадьяюг-вимулаганаих
     тригунавйасе свамринам крамасах критвапи паридхиранеах

, и ее можно выразить в форме

     π = 3 + 4 { 1 / ( 3 ³ - 3 ) + 1 / ( 5 ³ - 5 ) + 1 / ( 7 ³ - 7 ) + ... }

Серия 3

Третья серия числа π содержится в

     vargairyujām vā dviguṇairnirekairvargīkrtair-varjitayugmavargaiḥ
     vyasam ca ṣaḍghanaṃ vibhajet phalam svaṃ vyāse trinīghne paridhistadā syāt,

что соответствует

     π = 3 + 6 { 1 / ( (2 × 2 ² - 1 ) ² - 2 ² ) + 1 / ( ( 2 × 4 ² - 1 ) ² - 4 ² ) + 1 / ( (2 × 6 ² - 1 ) ² - 6 ² ) + ... }

Разложения тригонометрических функций в ряд

Следующий стих описывает разложение в бесконечные ряды функций синуса и косинуса .

     капакча таттат пхалато'пи тадват капахатаддваядихатат тримаурвйа
     лабдхани югмани фаланьядходхах кападаюгмани ча вистарардхат
     виньясйа копарюпари тйаджет тат шешау бхуджакотигунау bhavetāṃ

Эти выражения

     грех x = x - x ^3/3 ! + х ^5/5 ! - ...
     потому что х = 1 - х ^2/2 ! + х ^4/4 ! - ...

Наконец, в следующем стихе дается разложение функции обратного тангенса .

     вйасардхена хатадабхиштагунатах котьяптамаадйам пхалам
     джьяваргена винигнамадимапхалам таттатпхалам чахарет критйа котигунасйа
     татра ту phalesvekatripañcādibhir-
     bhakteṣvojayutaistajet samajutiṃ jīvādhanuśiśaṣate

Указанное расширение равно

     tan ⁻¹ x = x - x ^3/3 + x ^5/5 - ...

Ссылки

^ Чарльз Уиш (1834), «Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантре Сахграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамала», Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии , 3 (3), Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 509–523 , doi :10.1017/S0950473700001221, JSTOR 25581775
^ Датта, Бибхутибхушан ; А. Н. Сингх (1993). «Использование серий в Индии». Индийский журнал истории науки . 28 (3): 103–129 .
^ abc Bag, Amulya Kumar (1966). «Тригонометрические ряды в Karanapaddhati и вероятная дата текста» (PDF) . Indian Journal of History of Science . 1 (2). Indian National Science Academy: 98–106 .^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
^ Раджараджа Варма Вадаккумкуур. История санскритской литературы в Керале (1–6 тома) . Том. 1. п. 529.
^ Н. Гопалакришнан (2004). Бахаратия Виджняна / Саастра Дхаара (Справочник древних индийских научных книг) (PDF) . Серия публикаций «Наследие». Том. 78. Тируванантхапурам, Индия: Индийский институт научного наследия. стр . 18–20 . Проверено 12 января 2010 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}

Венкетешвара Пай Р., К. Рамасубраманиан, М. С. Шрирам и М. Д. Шринивас, Каранападдхати Путумана Сомаяджи, перевод с подробными математическими примечаниями, совместно опубликовано HBA (2017) и Springer (2018).

Дополнительные ссылки

Ссылка на «Карана-паддхати» в Открытой библиотеке с двумя комментариями.[1]
Баг, Амуля Кумар (1976). "Ряды синусов и косинусов Мадхавы" (PDF) . Индийский журнал истории науки . 11 (1). Индийская национальная академия наук: 54–57 . Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2010 г. . Получено 17 декабря 2009 г. .
Баг, Амуля Кумар (1975). «Метод интегральных решений неопределенных уравнений типа BY=AX ± C в древней и средневековой Индии» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 12 (1). Индийская национальная академия наук: 1– 16 . Получено 12 января 2010 г. .^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
ПК Кору, изд. (1953). Каранападхати Путхумана Сомаяджи . Черпу , Керала , Индия : Astro Printing and Publishing Company.
В 2007–2008 годах Индийская национальная академия наук начала проект под названием «Критическое исследование Карана-паддхати Путумана Сомаяджи и подготовка перевода на английский язык с математическими примечаниями» под руководством доктора К. Рамасубраманьяна, доцента кафедры истории Индийского технологического института, Повай, Мумбаи 400076.[2] (Получено 13 января 2010 г.)

[Whish-1] Чарльз Уиш (1834), «Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантре Сахграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамала», Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии , 3 (3), Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 509–523 , doi :10.1017/S0950473700001221, JSTOR 25581775

[http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005b5c_103.pdf-2] Датта, Бибхутибхушан ; А. Н. Сингх (1993). «Использование серий в Индии». Индийский журнал истории науки . 28 (3): 103–129 .

[Bag-3] Bag, Amulya Kumar (1966). «Тригонометрические ряды в Karanapaddhati и вероятная дата текста» (PDF) . Indian Journal of History of Science . 1 (2). Indian National Science Academy: 98–106 .^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}

[4] Раджараджа Варма Вадаккумкуур. История санскритской литературы в Керале (1–6 тома) . Том. 1. п. 529.

[5] Н. Гопалакришнан (2004). Бахаратия Виджняна / Саастра Дхаара (Справочник древних индийских научных книг) (PDF) . Серия публикаций «Наследие». Том. 78. Тируванантхапурам, Индия: Индийский институт научного наследия. стр . 18–20 . Проверено 12 января 2010 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}