Джон Р. Столлингс

Джон Р. Столлингс
Фотография Столлингса 2006 года
Рожденный	( 1935-07-22 )22 июля 1935 г. Моррилтон, Арканзас , США
Умер	24 ноября 2008 г. (2008-11-24)(73 года) Беркли, Калифорния , США
Альма-матер	Университет Арканзаса Принстонский университет
Известный	Доказательство гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести ; Теорема Столлингса о концах групп ; Графы Столлингса и автоматы
Награды	Премия Фрэнка Нельсона Коула по алгебре (1971)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Калифорнийский университет в Беркли
научный руководитель	Ральф Фокс
Докторанты	Марк Каллер Стивен М. Герстен Дж. Хайам Рубинштейн

Джон Роберт Столлингс-младший (22 июля 1935 г. — 24 ноября 2008 г.) — математик, известный своим основополагающим вкладом в геометрическую теорию групп и топологию 3-многообразий . Столлингс был почетным профессором кафедры математики Калифорнийского университета в Беркли ^[1] , где он был преподавателем с 1967 г. ^[1] Он опубликовал более 50 статей, преимущественно в области геометрической теории групп и топологии 3-многообразий . Наиболее важными вкладами Столлингса являются доказательство гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести в статье 1960 г. и доказательство теоремы Столлингса о концах групп в статье 1971 г.

Джон Столлингс родился 22 июля 1935 года в Моррилтоне, штат Арканзас . ^[1]

Столлингс получил степень бакалавра наук в Университете Арканзаса в 1956 году (где он был одним из первых двух выпускников по программе университета с отличием) ^[2] и степень доктора философии по математике в Принстонском университете в 1959 году под руководством Ральфа Фокса . ^[1]

После получения степени доктора философии Столлингс занимал ряд постдокторских и преподавательских должностей, в том числе был постдокторантом NSF в Оксфордском университете , а также преподавателем и преподавательским назначением в Принстоне. Столлингс присоединился к Калифорнийскому университету в Беркли в качестве преподавателя в 1967 году, где он оставался до своей пенсии в 1994 году. ^[1] Даже после выхода на пенсию Столлингс продолжал руководить аспирантами Калифорнийского университета в Беркли до 2005 года. ^[3] Столлингс был научным сотрудником Альфреда П. Слоуна с 1962 по 1965 год и научным сотрудником Института Миллера с 1972 по 1973 год. ^[1] За время своей карьеры Столлингс имел 22 докторских студента, включая Марка Каллера , Стивена М. Герстена и Дж. Хайама Рубинштейна , а также 100 докторских потомков. Он опубликовал более 50 работ, преимущественно в области геометрической теории групп и топологии 3-многообразий .

Столлингс выступил с приглашенной речью на Международном конгрессе математиков в Ницце в 1970 году ^[4] и с лекцией Джеймса К. Уиттемора в Йельском университете в 1969 году. ^[5]

В 1970 году Столлингс получил премию Фрэнка Нельсона Коула по алгебре от Американского математического общества. ^[6]

Конференция «Геометрические и топологические аспекты теории групп», состоявшаяся в Исследовательском институте математических наук в Беркли в мае 2000 года, была посвящена 65-летию Столлингса. ^[7] В 2002 году специальный выпуск журнала Geometriae Dedicata был посвящен Столлингсу по случаю его 65-летия. ^[8] Столлингс умер от рака простаты 24 ноября 2008 года. ^{[3] [9]}

Большая часть математических трудов Столлингса относится к областям геометрической теории групп и низкомерной топологии (в частности, топологии 3-многообразий ), а также к взаимодействию между этими двумя областями.

Ранним значимым результатом Столлингса является его доказательство 1960 года ^[10] гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести . (Доказательство Столлингса было получено независимо и вскоре после другого доказательства Стивена Смейла , который установил тот же результат в размерностях больше четырех ^[11] ).

Используя методы «поглощения», аналогичные тем, что использовались в его доказательстве гипотезы Пуанкаре для n > 6, Столлингс доказал, что обычное евклидово n -мерное пространство имеет уникальную кусочно-линейную, а значит, и гладкую структуру, если n не равно 4. Это приобрело дополнительное значение, когда в результате работы Майкла Фридмана и Саймона Дональдсона в 1982 году было показано, что 4-мерное пространство имеет экзотические гладкие структуры , фактически несчетное количество неэквивалентных структур.

В статье 1963 года ^[12] Столлингс построил пример конечно представленной группы с бесконечно порожденной 3-мерной целочисленной группой гомологий и, более того, не типа , то есть не допускающей классифицирующего пространства с конечным 3-скелетом. Этот пример стал называться группой Столлингса и является ключевым примером в изучении свойств гомологической конечности групп. Позднее Роберт Биери показал ^[13] , что группа Столлингса является в точности ядром гомоморфизма из прямого произведения трех копий свободной группы в аддитивную группу целых чисел, которая отправляется в шесть элементов, вытекающих из выбора свободных базисов для трех копий . Биери также показал, что группа Столлингса вписывается в последовательность примеров групп типа , но не типа . Группа Столлингса является ключевым объектом в версии дискретной теории Морса для кубических комплексов, разработанной Младеном Бествиной и Ноэлем Брэди ^[14], и в изучении подгрупп прямых произведений предельных групп. ^{[15] [16] [17]}${\displaystyle F_{3}}$ ${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n+1}}$

Самая известная теорема Столлингса в теории групп — это алгебраическая характеристика групп с более чем одним концом (то есть с более чем одной «связной компонентой на бесконечности»), которая теперь известна как теорема Столлингса о концах групп . Столлингс доказал, что конечно порождённая группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда эта группа допускает нетривиальное расщепление как амальгамированное свободное произведение или как расширение HNN над конечной группой (то есть, в терминах теории Басса–Серра , тогда и только тогда, когда группа допускает нетривиальное действие на дереве с конечными стабилизаторами рёбер). Точнее, теорема утверждает, что конечно порождённая группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда либо G допускает расщепление как амальгамированное свободное произведение , где группа C конечна и , , либо G допускает расщепление как расширение HNN , где — конечные подгруппы группы H .${\displaystyle G=A\ast _{C}B}$${\displaystyle C\neq A}$${\displaystyle C\neq B}$${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}Kt=L\rangle }$${\displaystyle K,L\leq H}$

Столлингс доказал этот результат в серии работ, сначала рассматривая случай без кручения (то есть группу без нетривиальных элементов конечного порядка ) ^[18] , а затем общий случай. ^{[5] [19]} Теорема Столлингса дала положительное решение давней открытой проблемы о характеристике конечно порожденных групп когомологической размерности один как именно свободных групп . ^[20] Теорема Столлингса о концах групп считается одним из первых результатов в собственно геометрической теории групп, поскольку она связывает геометрическое свойство группы (наличие более одного конца) с ее алгебраической структурой (допускающей расщепление над конечной подгруппой). Теорема Столлингса породила множество последующих альтернативных доказательств другими математиками (например, ^{[21] [22]} ), а также множество приложений (например, ^[23] ). Теорема также мотивировала несколько обобщений и относительных версий результата Столлингса в других контекстах, таких как изучение понятия относительных концов группы по отношению к подгруппе, ^{[24] [25] [26]} включая связь с кубическими комплексами CAT(0) . ^[27] Всесторонний обзор, в котором обсуждаются, в частности, многочисленные приложения и обобщения теоремы Столлингса, дан в статье CTC Wall 2003 года . ^[28]

Другой влиятельной работой Столлингса является его статья 1983 года «Топология конечных графов». ^[29] Традиционно алгебраическая структура подгрупп свободных групп изучалась в комбинаторной теории групп с использованием комбинаторных методов, таких как метод переписывания Шрайера и преобразования Нильсена . ^[30] В работе Столлингса был предложен топологический подход, основанный на методах теории покрывающих пространств , которые также использовали простую теоретико-графовую структуру. В статье было введено понятие того, что сейчас обычно называют графом подгрупп Столлингса для описания подгрупп свободных групп, а также была введена техника сворачиваний (используемая для аппроксимации и алгоритмического получения графов подгрупп) и понятие того, что сейчас известно как сворачивание Столлингса . Большинство классических результатов относительно подгрупп свободных групп получили простые и прямые доказательства в этой постановке, и метод Столлингса стал стандартным инструментом в теории для изучения структуры подгрупп свободных групп, включая как алгебраические, так и алгоритмические вопросы (см. ^[31] ). В частности, графы подгрупп Столлингса и свертки Столлингса использовались в качестве ключевых инструментов во многих попытках приблизиться к гипотезе Ханны Нейман . ^{[32] [33] [34] [35]}

Графы подгрупп Столлингса также можно рассматривать как конечные автоматы ^[31] , и они также нашли применение в теории полугрупп и в информатике . ^{[36] [37] [38] [39]}

Метод сворачивания Столлингса был обобщен и применен к другим контекстам, в частности, в теории Басса–Серра для аппроксимации групповых действий на деревьях и изучения структуры подгрупп фундаментальных групп графов групп . Первая статья в этом направлении была написана самим Столлингсом, ^[40] с несколькими последующими обобщениями методов сворачивания Столлингса в контексте теории Басса–Серра другими математиками. ^{[41] [42] [43] [44]}

В статье Столлингса 1991 года «Неположительно искривленные треугольники групп» ^[45] было введено и изучено понятие треугольника групп . Это понятие стало отправной точкой для теории комплексов групп (многомерный аналог теории Басса–Серра ), разработанной Андре Хефлигером ^[46] и другими. ^{[47] [48]} Работа Столлингса указала на важность наложения некоторого рода условий «неположительной кривизны» на комплексы групп для того, чтобы теория работала хорошо; такие ограничения не являются необходимыми в одномерном случае теории Басса–Серра.

Среди вкладов Столлингса в топологию 3-многообразий наиболее известна теорема Столлингса о расслоении . ^[49] Теорема утверждает, что если M — компактное неприводимое 3-многообразие , фундаментальная группа которого содержит нормальную подгруппу , такую, что эта подгруппа конечно порождена и такая, что фактор-группа по этой подгруппе является бесконечной циклической , то M расслаивается над окружностью. Это важный структурный результат в теории многообразий Хакена , который породил множество альтернативных доказательств, обобщений и приложений (например, ^{[50] [51] [52] [53]} ), включая многомерный аналог. ^[54]

Статья Столлингса 1965 года «Как не доказать гипотезу Пуанкаре» ^[55] дала теоретико-групповую переформулировку знаменитой гипотезы Пуанкаре . Статья начиналась с юмористического признания: «Я совершил грех ложного доказательства гипотезы Пуанкаре. Но это было в другой стране; и, кроме того, до сих пор об этом никто не знал». ^{[1] [55]} Несмотря на ироничное название, статья Столлингса во многом повлияла на последующие исследования по изучению алгебраических аспектов гипотезы Пуанкаре (см., например, ^{[56] [57] [58] [59]} ).

Столлингс также интересовался языками и написал одну из немногих математических исследовательских работ на искусственном языке Интерлингва . ^{[60] [61]}

• Столлингс, Джон Р. (1960), «Многогранные гомотопические сферы», Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 485– 488, doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10511-3 , MR  0124905
• Столлингс, Джон Р.; Зееман, EC (1962), «Кусочно-линейная структура евклидова пространства», Труды Кембриджского философского общества , 58 (3): 481– 488, Bibcode : 1962PCPS...58..481S, doi : 10.1017/S0305004100036756, MR  0149457, S2CID  120418488
• Столлингс, Джон Р. (1962), «О расслоении некоторых 3-многообразий», Топология 3-многообразий и смежные темы (Труды Института Университета Джорджии, 1961) , Prentice Hall , стр.  95–100 , MR  0158375
• Столлингс, Джон Р. (1965), «Гомологии и центральные ряды групп», Журнал алгебры , 2 (2): 170– 181, doi :10.1016/0021-8693(65)90017-7, MR  0175956
• Столлингс, Джон (1963), «Конечно представленная группа, 3-мерные интегральные гомологии которой не являются конечно порожденными», American Journal of Mathematics , 85 (4), The Johns Hopkins University Press: 541– 543, doi : 10.2307/2373106, JSTOR  2373106, MR  0158917
• Столлингс, Джон Р. (1968), «О группах без кручения с бесконечным числом концов», Annals of Mathematics , вторая серия, 88 (2), Annals of Mathematics: 312– 334, doi : 10.2307/1970577, JSTOR  1970577, MR  0228573
• Столлингс, Джон Р. (1971), Теория групп и трехмерные многообразия , Издательство Йельского университета , ISBN 978-0-300-01397-9, МР  0415622
• Столлингс, Джон Р. (1978), «Конструкции волокнистых узлов и связей», Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Часть 2 , Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Providence, RI: American Mathematical Society , стр.  55–60 , MR  0520522
• Столлингс, Джон Р. (1983), «Топология конечных графов», Inventiones Mathematicae , 71 (3): 551– 565, Bibcode : 1983InMat..71..551S, doi : 10.1007/BF02095993, MR  0695906, S2CID  16643207, с более чем 100 недавними цитатами
• Столлингс, Джон Р. (1991), «Складывающиеся G -деревья», Arboreal group theory (Беркли, Калифорния, 1988) , Mathematical Sciences Research Institute Publications, т. 19, Нью-Йорк: Springer, стр.  355–368 , doi :10.1007/978-1-4612-3142-4_14, ISBN 978-0-387-97518-4, МР  1105341
• Столлингс, Джон Р. (1991), «Неположительно изогнутые треугольники групп», Теория групп с геометрической точки зрения (Триест, 1990) , River Edge, NJ: World Scientific, стр.  491–903 , ISBN 978-981-02-0442-6, МР  1170374

• Джон Р. Столлингс в проекте «Генеалогия математики»
• домашняя страница Джона Столлингса.
• Вспоминая Джона Столлингса, Notices of the American Mathematical Society , т. 56 (2009), № 11, стр. 1410 1417