Бесплатный продукт

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n ) Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 Е 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли О(∞) СУ(∞) Сп(∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редукционная группа Абелево многообразие Эллиптическая кривая
в т е

В математике , в частности в теории групп , свободное произведение — это операция, которая берет две группы G и H и создает новую группу G ∗ H. Результат содержит как G , так и H в качестве подгрупп , порождается элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K однозначно пропускаются через гомоморфизм из G ∗ H в K. Если только одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу похоже на построение свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).

Свободное произведение является копроизведением в категории групп . То есть, свободное произведение играет ту же роль в теории групп, которую несвязное объединение играет в теории множеств , или которую прямая сумма играет в теории модулей . Даже если группы коммутативны, их свободное произведение не является таковым, если только одна из двух групп не является тривиальной группой . Следовательно, свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп .

Свободное произведение важно в алгебраической топологии из-за теоремы ван Кампена , которая утверждает, что фундаментальная группа объединения двух линейно связных топологических пространств , пересечение которых также линейно связно, всегда является объединенным свободным произведением фундаментальных групп пространств. В частности, фундаментальная группа клиновой суммы двух пространств (т. е. пространства, полученного путем соединения двух пространств в одной точке) является, при определенных условиях, указанных в теореме Зейферта ван Кампена, свободным произведением фундаментальных групп пространств.

Свободные произведения также важны в теории Басса–Серра , изучении групп , действующих автоморфизмами на деревьях . В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп с использованием объединенных свободных произведений и расширений HNN . Используя действие модулярной группы на определенном разбиении гиперболической плоскости , из этой теории следует, что модулярная группа изоморфна свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6, объединенных над циклической группой порядка 2.

Если G и H — группы, то слово на G и H — это последовательность вида

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

где каждый s _i является либо элементом G , либо элементом H. Такое слово может быть сокращено с помощью следующих операций:

• Удалить экземпляр элемента идентичности ( G или H ).
• Замените пару вида g ₁ g ₂ ее произведением в G или пару h ₁ h ₂ ее произведением в H .

Каждое сокращенное слово либо является пустой последовательностью, либо содержит ровно один элемент G или H , либо является чередующейся последовательностью элементов G и элементов H , например

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

Свободное произведение G ∗ H — это группа, элементами которой являются приведенные слова в G и H , подвергнутые операции конкатенации с последующей редукцией.

Например, если G — бесконечная циклическая группа , а H — бесконечная циклическая группа , то каждый элемент G ∗ H является знакопеременным произведением степеней x на степени y . В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y .${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle \langle y\rangle }$

Предположим, что

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

является представлением для G (где S _G — набор генераторов, а R _G — набор отношений), и предположим, что

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

является представлением для H. Тогда

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

То есть, G ∗ H генерируется генераторами для G вместе с генераторами для H , с отношениями, состоящими из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет никаких конфликтов обозначений, так что это фактически непересекающиеся объединения ).

Например, предположим, что G — циклическая группа порядка 4,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

и H — циклическая группа порядка 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

Тогда G ∗ H — бесконечная группа

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

Поскольку в свободной группе нет отношений, свободное произведение свободных групп всегда является свободной группой. В частности,

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

где F _n обозначает свободную группу с n образующими.

Другим примером является модулярная группа . Она изоморфна свободному произведению двух циклических групп: ^[1]${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

Более общая конструкция свободного произведения с объединением соответственно является особым видом pushout в той же категории . Предположим, что и заданы как и прежде, вместе с мономорфизмами (т.е. инъективными групповыми гомоморфизмами ):${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$и${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

где некоторая произвольная группа. Начнем со свободного произведения и присоединим как отношения${\displaystyle F}$${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

для каждого в . Другими словами, возьмем наименьшую нормальную подгруппу из , содержащую все элементы в левой части приведенного выше уравнения, которые молчаливо рассматриваются в посредством включений и в их свободном произведении. Свободное произведение с объединением и , относительно и , является факторгруппой${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

Объединение вызвало отождествление между in с in , элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных вдоль путевого подпространства, с взятием роли фундаментальной группы подпространства. См.: Теорема Зейферта–ван Кампена . ${\displaystyle \varphi (F)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi (F)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$

Каррасс и Солитэр дали описание подгрупп свободного произведения с объединением. ^[2] Например, гомоморфизмы из и в факторгруппу , которые индуцируются и , оба являются инъективными, как и индуцированный гомоморфизм из .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (G*H)/N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$

Свободные продукты с объединением и тесно связанное с ними понятие расширения HNN являются основными строительными блоками в теории групп Басса–Серра, действующих на деревьях.

Аналогично можно определить свободные произведения других алгебраических структур, нежели группы, включая алгебры над полем . Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности , которую декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей .

• Прямое произведение групп
• Побочный продукт
• График групп
• Теорема о подгруппе Куроша
• Нормальная форма для свободных групп и свободного произведения групп
• Универсальная собственность