Низкоразмерная топология

В математике низкоразмерная топология — это раздел топологии , изучающий многообразия или, в более общем смысле , топологические пространства с четырьмя или меньшим числом измерений . Типичными темами являются структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий , теория узлов и группы кос . Это можно рассматривать как часть геометрической топологии . Это также может использоваться для обозначения изучения топологических пространств размерности 1, хотя это чаще считается частью теории континуума .

Ряд достижений, начавшихся в 1960-х годах, имели эффект акцентирования низких размерностей в топологии. Решение Стивеном Смейлом в 1961 году гипотезы Пуанкаре в пяти или более измерениях заставило измерения три и четыре казаться самыми сложными; и действительно, они требовали новых методов, в то время как свобода более высоких измерений означала, что вопросы можно было свести к вычислительным методам, доступным в теории хирургии . Гипотеза геометризации Терстона , сформулированная в конце 1970-х годов, предложила структуру, которая предполагала, что геометрия и топология тесно переплетены в низких размерностях, и доказательство геометризации Терстона для многообразий Хакена использовало различные инструменты из ранее слабо связанных областей математики. Открытие Воганом Джонсом многочлена Джонса в начале 1980-х годов не только привело теорию узлов в новых направлениях, но и породило все еще загадочные связи между низкоразмерной топологией и математической физикой . В 2002 году Григорий Перельман объявил о доказательстве трехмерной гипотезы Пуанкаре, используя поток Риччи Ричарда С. Гамильтона — идею, принадлежащую области геометрического анализа .

В целом этот прогресс привел к лучшей интеграции этой области в остальную математику.

Поверхность — это двумерное топологическое многообразие . Наиболее знакомыми примерами являются те, которые возникают как границы твердых объектов в обычном трехмерном евклидовом пространстве R ³ — например, поверхность шара . С другой стороны, существуют поверхности, такие как бутылка Клейна , которые не могут быть вложены в трехмерное евклидово пространство без введения особенностей или самопересечений.

Теорема классификации замкнутых поверхностей утверждает, что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторому члену одного из этих трех семейств:

1. сфера;
2. связная сумма g торов , для ;${\displaystyle g\geq 1}$
3. связная сумма k действительных проективных плоскостей , для .${\displaystyle k\geq 1}$

Поверхности в первых двух семействах являются ориентируемыми . Удобно объединить два семейства, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число g вовлеченных торов называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и в общем случае эйлерова характеристика связной суммы g торов равна 2 − 2 g .

Поверхности третьего семейства неориентируемы. Эйлерова характеристика вещественной проективной плоскости равна 1, а в общем случае эйлерова характеристика связной суммы k из них равна 2 − k .

В математике пространство Тейхмюллера T X ₍ действительной) топологической поверхности X — это пространство, которое параметризует комплексные структуры на X с точностью до действия гомеоморфизмов , изотопных тождественному гомеоморфизму . Каждую точку в T _X можно рассматривать как класс изоморфизма «отмеченных» римановых поверхностей , где «отметка» — это изотопический класс гомеоморфизмов из X в X . Пространство Тейхмюллера — это универсальное накрывающее орбифолд (риманова) пространства модулей.

Пространство Тейхмюллера имеет каноническую структуру комплексного многообразия и множество естественных метрик. Топологическое пространство, лежащее в основе пространства Тейхмюллера, было изучено Фрике, а метрика Тейхмюллера на нем была введена Освальдом Тейхмюллером  (1940). ^[1]

В математике теорема об униформизации гласит, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из трех областей: открытому единичному кругу , комплексной плоскости или сфере Римана . В частности, она допускает риманову метрику постоянной кривизны . Это классифицирует римановы поверхности как эллиптические (положительно искривленные — скорее, допускающие постоянную положительно искривленную метрику), параболические (плоские) и гиперболические (отрицательно искривленные) в соответствии с их универсальным покрытием .

Теорема об униформизации является обобщением теоремы Римана об отображении с собственных односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.

Топологическое пространство X является 3-многообразием, если каждая точка в X имеет окрестность , гомеоморфную евклидову 3-пространству .

Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трех измерениях, поэтому не делается большого различия в том, имеем ли мы дело, скажем, с топологическими 3-многообразиями или гладкими 3-многообразиями.

Явления в трех измерениях могут разительно отличаться от явлений в других измерениях, и поэтому преобладают очень специализированные методы, которые не обобщаются на измерения больше трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов , геометрическая теория групп , гиперболическая геометрия , теория чисел , теория Тейхмюллера , топологическая квантовая теория поля , калибровочная теория , гомология Флоера и уравнения с частными производными . Теория 3-многообразий считается частью низкомерной топологии или геометрической топологии .

Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни в шнурках и веревках, он отличается тем, что его концы соединены вместе, так что его нельзя развязать. На математическом языке узел — это вложение окружности в трехмерное евклидово пространство , R ³ (поскольку мы используем топологию, окружность не связана с классическим геометрическим понятием, а со всеми его гомеоморфизмами ). Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации R ³ на себя (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не включают разрезание нити или пропускание нити через себя.

Дополнения к узлам — это часто изучаемые 3-многообразия. Дополнение к узлам ручного узла K — это трехмерное пространство, окружающее узел. Чтобы сделать это точным, предположим, что K — это узел в трехмерном многообразии M (чаще всего M — это 3-сфера ). Пусть N — трубчатая окрестность K ; тогда N — это полнотор . Дополнение к узлам — это дополнение к N ,

${\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).}$

Связанная тема — теория кос . Теория кос — это абстрактная геометрическая теория, изучающая повседневную концепцию кос и некоторые обобщения. Идея состоит в том, что косы можно организовать в группы , в которых групповая операция — «сделать первую косу на наборе нитей, а затем следовать за ней со второй на скрученных нитях». Такие группы можно описать явными представлениями , как было показано Эмилем Артином  (1947). ^[2] Для элементарного рассмотрения в этом направлении см. статью о группах кос . Группам кос можно также дать более глубокую математическую интерпретацию: как фундаментальной группе определенных конфигурационных пространств .

Гиперболическое 3-многообразие — это 3-многообразие, снабженное полной римановой метрикой постоянной секционной кривизны -1. Другими словами, это фактор трехмерного гиперболического пространства по подгруппе гиперболических изометрий, действующих свободно и собственно разрывно . См. также модель Клейна .

Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и/или концов, которые являются произведением евклидовой поверхности и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна. В этом случае концы имеют вид torus cross the closed half-ray и называются каспами . Дополнения к узлам являются наиболее часто изучаемыми каспированными многообразиями.

Гипотеза геометризации Терстона утверждает, что некоторые трехмерные топологические пространства имеют уникальную геометрическую структуру, которая может быть с ними связана. Это аналог теоремы униформизации для двумерных поверхностей , которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности может быть задана одна из трех геометрий ( евклидова , сферическая или гиперболическая ). В трех измерениях не всегда возможно назначить единую геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое 3-многообразие может быть разложено каноническим образом на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном  (1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза эллиптичности Терстона . ^[3]

4-многообразие — это 4-мерное топологическое многообразие . Гладкое 4-многообразие — это 4-многообразие с гладкой структурой . В размерности четыре, в резком контрасте с более низкими размерностями, топологические и гладкие многообразия совершенно различны. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, которые не допускают гладкой структуры, и даже если существует гладкая структура, она не обязательно должна быть единственной (т. е. существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны , но не диффеоморфны ).

4-мерные многообразия важны в физике, поскольку в общей теории относительности пространство -время моделируется как псевдориманово 4-мерное многообразие.

Экзотическое R ⁴ — это дифференцируемое многообразие , гомеоморфное , но не диффеоморфное евклидову пространству R ⁴ . Первые примеры были найдены в начале 1980-х годов Майклом Фридманом , использовавшим контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразиях и теоремами Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. ^[4] Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых структур R ⁴ , как впервые показал Клиффорд Таубс . ^[5]

До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах — экзотических сфер , хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым по сей день). Для любого положительного целого числа n, отличного от 4, на R ⁿ нет экзотических гладких структур ; другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное R ^{n ,} диффеоморфно R ⁿ . ^[6]

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые можно доказать низкоразмерными методами в размерностях не более 3, и совершенно другими высокоразмерными методами в размерностях не менее 5, но которые ложны в четырех измерениях. Вот несколько примеров:

• В размерностях, отличных от 4, инвариант Кирби–Зибенмана создает препятствие для существования PL-структуры; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби–Зибенмана в H ⁴ ( M , Z /2 Z ) равен нулю. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает по существу уникальную PL-структуру. В размерности 4 имеется много примеров с исчезающим инвариантом Кирби–Зибенмана, но без PL-структуры.
• В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет только конечное число существенно различных PL или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетное бесконечное число недиффеоморфных гладких структур.
• Четыре — единственное измерение n, для которого R ⁿ может иметь экзотическую гладкую структуру. R ⁴ имеет несчетное количество экзотических гладких структур; см. экзотический R ⁴ .
• Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех размерностях, кроме 4 (оно обычно ложно в размерностях по крайней мере 7; см. экзотическая сфера ). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий была доказана для всех размерностей, кроме 4, но неизвестно, верна ли она в 4 измерениях (оно эквивалентно гладкой гипотезе Пуанкаре в 4 измерениях).
• Теорема о гладком h-кобордизме верна для кобордизмов при условии, что ни кобордизм, ни его граница не имеют размерности 4. Она может быть неверна, если граница кобордизма имеет размерность 4 (как показал Дональдсон). Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, верна ли теорема о h-кобордизме.
• Топологическое многообразие размерности, не равной 4, имеет разложение на handlebody. Многообразия размерности 4 имеют разложение на handlebody тогда и только тогда, когда они сглаживаемы.
• Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, которые не гомеоморфны никакому симплициальному комплексу. В размерности по крайней мере 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. В 2013 году Чиприан Манолеску опубликовал препринт на ArXiv, показывающий, что существуют многообразия в каждой размерности, большей или равной 5, которые не гомеоморфны симплициальному комплексу.

Существует несколько теорем, которые фактически утверждают, что многие из самых основных инструментов, используемых для изучения многообразий высокой размерности, неприменимы к многообразиям низкой размерности, например:

Теорема Стинрода утверждает, что ориентируемое 3-многообразие имеет тривиальное касательное расслоение . Другими словами, единственным характеристическим классом 3-многообразия является препятствие к ориентируемости.

Любое замкнутое 3-многообразие является границей 4-многообразия. Эта теорема независимо принадлежит нескольким людям: она следует из теоремы Дена – Ликориша через разбиение Хегора 3-многообразия. Она также следует из вычисления Рене Тома кольца кобордизмов замкнутых многообразий.

Существование экзотических гладких структур на R ⁴ . Первоначально это наблюдал Майкл Фридман на основе работы Саймона Дональдсона и Эндрю Кассона . С тех пор это было развито Фридманом, Робертом Гомпфом , Клиффордом Таубсом и Лоренсом Тейлором, чтобы показать, что существует континуум недиффеоморфных гладких структур на R ⁴ . Между тем, известно , что R ^{n имеет ровно одну гладкую структуру с точностью до диффеоморфизма при условии, что} n ≠ 4.

• Список тем геометрической топологии

• Проблемы маломерной топологии Роба Кирби – сжатый файл postscript (1,4 МБ)
• Ссылки Марка Бриттенхэма на низкоразмерную топологию – списки домашних страниц, конференций и т. д.