Гипергеометрическая функция

В математике гауссова или обычная гипергеометрическая функция ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) — это специальная функция , представленная гипергеометрическим рядом , которая включает в себя множество других специальных функций как частные или предельные случаи . Это решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка. Каждое линейное ОДУ второго порядка с тремя регулярными особыми точками может быть преобразовано в это уравнение.

Систематические списки некоторых из многих тысяч опубликованных тождеств , включающих гипергеометрическую функцию, см. в справочных работах Эрдели и др. (1953) и Олде Даалхейса (2010). Не существует известной системы для организации всех тождеств; действительно, не существует известного алгоритма, который может генерировать все тождества; известно несколько различных алгоритмов, которые генерируют различные серии тождеств. Теория алгоритмического открытия тождеств остается активной темой исследований.

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Уоллисом в его книге 1655 года «Arithmetica Infinitorum » .

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером , но первое полное систематическое рассмотрение было дано Карлом Фридрихом Гауссом  (1813).

Исследования девятнадцатого века включали работы Эрнста Куммера  (1836) и фундаментальную характеристику Бернхарда Римана  (1857) гипергеометрической функции с помощью дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет.

Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для ₂ F ₁ ( z ), рассматриваемое в комплексной плоскости, может быть охарактеризовано (на сфере Римана ) его тремя регулярными особенностями .

Случаи, когда решениями являются алгебраические функции, были найдены Германом Шварцем ( список Шварца ).

Гипергеометрическая функция определяется при | z | < 1 степенным рядом

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$$

Он не определен (или бесконечен), если c равен неположительному целому числу . Здесь ( q ) _n — (растущий) символ Похгаммера , ^{[примечание 1],} который определяется как:

$${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$$

Ряд заканчивается, если a или b является неположительным целым числом, в этом случае функция сводится к многочлену:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$$

Для комплексных аргументов z с | z | ≥ 1 его можно аналитически продолжить вдоль любого пути в комплексной плоскости, который избегает точек ветвления 1 и бесконечности. На практике большинство компьютерных реализаций гипергеометрической функции принимают разрез ветвления вдоль линии z  ≥ 1 .

При c → − m , где m — неотрицательное целое число, имеем ₂ F ₁ ( z ) → ∞ . Разделив на значение Γ( c ) гамма -функции , получим предел:

$${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$$

₂ F ₁ ( z ) является наиболее распространенным типом обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q и часто обозначается просто F ( z ) .

Используя тождество , показано, что${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$$

и в более общем плане,

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$$

Многие из общих математических функций могут быть выражены через гипергеометрическую функцию или как предельные случаи ее. Некоторые типичные примеры:

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$$

Когда a = 1 и b = c , ряд сводится к простой геометрической прогрессии , т.е.

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={}_{1}F_{0}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

отсюда и название гипергеометрическая . Эту функцию можно рассматривать как обобщение геометрической прогрессии .

Вырожденная гипергеометрическая функция (или функция Куммера) может быть задана как предел гипергеометрической функции

$${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$$

поэтому все функции, которые по сути являются ее частными случаями, такие как функции Бесселя , могут быть выражены как пределы гипергеометрических функций. К ним относятся большинство обычно используемых функций математической физики.

Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения второго порядка с тремя регулярными особыми точками, поэтому их можно выразить через гипергеометрическую функцию многими способами, например:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$$

Несколько ортогональных многочленов, включая многочлены Якоби P^(α,β)
_nи их частные случаи полиномы Лежандра , полиномы Чебышева , полиномы Гегенбауэра , полиномы Цернике можно записать в терминах гипергеометрических функций с помощью

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$$

Другие многочлены, являющиеся частными случаями, включают многочлены Кравчука , многочлены Мейкснера , многочлены Мейкснера–Поллачека .

Дано , пусть${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

$${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}$$

Затем

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}$$

— это модульная лямбда-функция , где

$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}$$

J -инвариант , модулярная функция , является рациональной функцией от .${\displaystyle \lambda (\tau )}$

Неполные бета-функции B _x ( p , q ) связаны соотношением

$${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}$$

Полные эллиптические интегралы K и E определяются формулами ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}$$

Гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера.

$${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$$

которое имеет три регулярные особые точки : 0,1 и ∞. Обобщение этого уравнения на три произвольные регулярные особые точки дается дифференциальным уравнением Римана . Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками может быть преобразовано в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменных.

Решения гипергеометрического дифференциального уравнения строятся из гипергеометрического ряда ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). Уравнение имеет два линейно независимых решения. В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ обычно имеются два специальных решения вида x ^s умножить на голоморфную функцию от x , где s — один из двух корней определяющего уравнения, а x — локальная переменная, обращающаяся в нуль в регулярной особой точке. Это дает 3 × 2 = 6 специальных решений, как следует.

Вокруг точки z  = 0 существуют два независимых решения, если c не является неположительным целым числом:

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

и, при условии, что c не является целым числом,

$${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

Если c — неположительное целое число 1− m , то первое из этих решений не существует и должно быть заменено на Второе решение не существует, когда c — целое число больше 1, и равно первому решению или его замене, когда c — любое другое целое число. Поэтому, когда c — целое число, для второго решения должно использоваться более сложное выражение, равное первому решению, умноженному на ln( z ), плюс еще один ряд по степеням z , включающий дигамма-функцию . Подробности см. в Olde Daalhuis (2010).${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$

Вблизи z  = 1, если c  −  a  −  b не является целым числом, имеем два независимых решения

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

и

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

Вблизи z  = ∞, если a  −  b не является целым числом, имеем два независимых решения

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

и

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

Опять же, когда условия нецелостности не выполняются, существуют другие, более сложные решения.

Любые 3 из 6 приведенных выше решений удовлетворяют линейному соотношению, поскольку пространство решений является двумерным, что дает (⁶
₃) = 20 линейных соотношений между ними, называемых формулами связи .

Фуксово уравнение второго порядка с n особыми точками имеет группу симметрий, действующих (проективно) на его решения, изоморфную группе Коксетера W( D _n ) порядка 2 ^{n −1} n !. Гипергеометрическое уравнение имеет место при n = 3, с группой порядка 24, изоморфной симметрической группе на 4 точках, как впервые описано Куммером . Появление симметрической группы случайно и не имеет аналога для более чем 3 особых точек, и иногда лучше думать о группе как о расширении симметрической группы на 3 точках (действующей как перестановки 3 особых точек) с помощью 4-группы Клейна (элементы которой меняют знаки разностей показателей степеней в четном числе особых точек). Группа Куммера из 24 преобразований порождается тремя преобразованиями, переводящими решение F ( a , b ; c ; z ) в одно из

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

которые соответствуют транспозициям (12), (23) и (34) при изоморфизме с симметрической группой по 4 точкам 1, 2, 3, 4. (Первое и третье из них фактически равны F ( a , b ; c ; z ), тогда как второе является независимым решением дифференциального уравнения.)

Применение преобразований Куммера 24 = 6×4 к гипергеометрической функции дает 6 = 2×3 решений, соответствующих каждому из 2 возможных показателей степени в каждой из 3 особых точек, каждая из которых появляется 4 раза из-за тождеств

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

делая замену u = wv и исключая член первой производной. Находим, что

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

и v дается решением

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

который является

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

Q-форма имеет важное значение в ее отношении к производной Шварца (Хилле, 1976, стр. 307–401).

Карты треугольников Шварца или s -функции Шварца представляют собой отношения пар решений.

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

где k — одна из точек 0, 1, ∞. Обозначение

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

также иногда используется. Обратите внимание, что коэффициенты связи становятся преобразованиями Мёбиуса на картах треугольников.

Обратите внимание, что каждая карта треугольников является регулярной при z ∈ {0, 1, ∞} соответственно, при этом

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$и$${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

В частном случае λ, μ и ν действительны, при 0 ≤ λ,μ,ν < 1, то s-отображения являются конформными отображениями верхней полуплоскости H в треугольники на сфере Римана , ограниченные дугами окружностей. Это отображение является обобщением отображения Шварца–Кристоффеля на треугольники с дугами окружностей. Особые точки 0,1 и ∞ отправляются в вершины треугольника. Углы треугольника равны πλ, πμ и πν соответственно.

Кроме того, в случае λ=1/ p , μ=1/ q и ν=1/ r для целых чисел p , q , r , треугольник заполняет сферу, комплексную плоскость или верхнюю полуплоскость в зависимости от того, является ли λ + μ + ν – 1 положительным, нулевым или отрицательным; а s-отображения являются обратными функциями автоморфных функций для группы треугольников〈p ,  q ,  r〉 = Δ( p ,  q ,  r ).

Монодромия гипергеометрического уравнения описывает, как фундаментальные решения изменяются при аналитическом продолжении по траекториям в плоскости z , которые возвращаются в ту же точку. То есть, когда траектория обходит сингулярность ₂ F ₁ , значение решений в конечной точке будет отличаться от начальной точки.

Два фундаментальных решения гипергеометрического уравнения связаны друг с другом линейным преобразованием; таким образом, монодромия представляет собой отображение (гомоморфизм групп):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

где π ₁ — фундаментальная группа . Другими словами, монодромия — это двумерное линейное представление фундаментальной группы. Группа монодромии уравнения — это образ этого отображения, т. е. группа, порожденная матрицами монодромии. Представление монодромии фундаментальной группы может быть вычислено явно в терминах показателей в особых точках. ^[2] Если (α, α'), (β, β') и (γ,γ') — показатели в точках 0, 1 и ∞, то, взяв z ₀ около 0, петли вокруг 0 ​​и 1 имеют матрицы монодромии

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

где

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

Если 1 − a , c − a − b , a − b — нецелые рациональные числа со знаменателями k , l , m , то группа монодромии конечна тогда и только тогда , когда , см. список Шварца или алгоритм Ковачича .${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

Если B — бета-функция, то

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

при условии, что z не является действительным числом, таким, что оно больше или равно 1. Это можно доказать, разложив (1 −  zx ) ^{− a} с помощью биномиальной теоремы, а затем проинтегрировав почленно для z с абсолютным значением меньше 1, и аналитическим продолжением в другом месте. Когда z является действительным числом, большим или равным 1, необходимо использовать аналитическое продолжение, поскольку (1 −  zx ) равно нулю в некоторой точке носителя интеграла, поэтому значение интеграла может быть некорректно определено. Это было дано Эйлером в 1748 году и подразумевает гипергеометрические преобразования Эйлера и Пфаффа.

Другие представления, соответствующие другим ветвям , даются взятием того же интегранта, но взятием пути интегрирования в качестве замкнутого цикла Похгаммера, охватывающего сингулярности в различных порядках. Такие пути соответствуют действию монодромии .

Барнс использовал теорию остатков для оценки интеграла Барнса

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

как

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

где контур нарисован так, чтобы отделить полюса 0, 1, 2... от полюсов − a , − a  − 1, ..., − b , − b  − 1, ... . Это справедливо до тех пор, пока z не является неотрицательным действительным числом.

Гипергеометрическую функцию Гаусса можно записать как преобразование Джона (Гельфанд, Гиндикин и Граев 2003, 2.1.2).

Шесть функций

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$$

называются смежными с ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Гаусс показал, что ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) можно записать в виде линейной комбинации любых двух ее смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a , b , c , и z . Это дает

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$$

отношения, заданные путем идентификации любых двух линий с правой стороны

$${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$$

где F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) и т. д. Повторное применение этих соотношений дает линейную связь по C (z) между любыми тремя функциями вида

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$$

где m , n и l — целые числа. ^[3]

Гаусс использовал смежные отношения, чтобы дать несколько способов записи частного двух гипергеометрических функций в виде цепной дроби, например:

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

Формулы преобразования связывают две гипергеометрические функции при различных значениях аргумента z .

Преобразование Эйлера это Оно следует путем объединения двух преобразований Пфаффа , которые в свою очередь следуют из интегрального представления Эйлера. Для расширения первого и второго преобразований Эйлера см. Rathie & Paris (2007) и Rakha & Rathie (2011). Его также можно записать в виде линейной комбинации$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

Если два из чисел 1 −  c , c  − 1, a  −  b , b  −  a , a  +  b  −  c , c  −  a  −  b равны или одно из них равно 1/2, то существует квадратичное преобразование гипергеометрической функции, связывающее ее с другим значением z, связанным квадратным уравнением. Первые примеры были даны Куммером (1836), а полный список был дан Гурса (1881). Типичный пример:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

Если 1− c , a − b , a + b − c отличаются знаками или два из них равны 1/3 или −1/3, то существует кубическое преобразование гипергеометрической функции, связывающее ее с другим значением z , связанным кубическим уравнением. Первые примеры были даны Гурса (1881). Типичный пример:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

Существуют также некоторые преобразования степени 4 и 6. Преобразования других степеней существуют только если a , b и c являются определенными рациональными числами (Видунас 2005). Например,$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

См. Slater (1966, Приложение III) для списка формул суммирования в особых точках, большинство из которых также появляются в Bailey (1935). Gessel & Stanton (1982) дает дальнейшие оценки в большем количестве точек. Koepf (1995) показывает, как большинство этих тождеств можно проверить с помощью компьютерных алгоритмов.

Теорема Гаусса о суммировании, названная в честь Карла Фридриха Гаусса , представляет собой тождество

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

что следует из интегральной формулы Эйлера, если положить z  = 1. Она включает в себя тождество Вандермонда как частный случай.

Для особого случая, когда , ${\displaystyle a=-m}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

Формула Дуголла обобщает это на двусторонний гипергеометрический ряд при z  = 1.

Существует много случаев, когда гипергеометрические функции можно оценить при z  = −1, используя квадратичное преобразование для изменения z  = −1 на z  = 1, а затем используя теорему Гаусса для оценки результата. Типичным примером является теорема Куммера, названная в честь Эрнста Куммера :

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

что следует из квадратичных преобразований Куммера

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

и теорему Гаусса, подставив z  = −1 в первое тождество. Для обобщения суммирования Куммера см. Lavoie, Grondin & Rathie (1996).

Вторая теорема Гаусса о суммировании:

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

Теорема Бейли:

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

Обобщения второй теоремы Гаусса о суммировании и теоремы Бейли о суммировании см. в Lavoie, Grondin & Rathie (1996).

Существует много других формул, задающих гипергеометрическую функцию как алгебраическое число при специальных рациональных значениях параметров, некоторые из которых перечислены в Gessel & Stanton (1982) и Koepf (1995). Некоторые типичные примеры приведены в

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

что можно перефразировать как

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

когда −π < x < π и T — (обобщенный) многочлен Чебышёва .

• Ряд Аппеля , обобщение гипергеометрического ряда с двумя переменными
• Базовый гипергеометрический ряд , где отношение членов является периодической функцией индекса
• Двусторонние гипергеометрические ряды _p H _p подобны обобщенным гипергеометрическим рядам, но суммируются по всем целым числам
• Биномиальный ряд ₁ F ₀
• Сходящийся гипергеометрический ряд ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Эллиптический гипергеометрический ряд , где отношение членов является эллиптической функцией индекса
• Гипергеометрический интеграл Эйлера , интегральное представление ₂ F ₁
• H-функция Фокса , расширение G-функции Мейера
• Функция Фокса–Райта , обобщение обобщенной гипергеометрической функции
• Решение Фробениуса гипергеометрического уравнения
• Общая гипергеометрическая функция, введенная И. М. Гельфандом .
• Обобщенный гипергеометрический ряд _p F _q , где отношение членов является рациональной функцией индекса
• Геометрическая прогрессия , где отношение членов является постоянной величиной
• Функция Хойна , решения ОДУ второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками
• Функция Хорна , 34 различных сходящихся гипергеометрических ряда с двумя переменными
• Ряд Гумберта 7 гипергеометрических функций 2 переменных
• Гипергеометрическое распределение , дискретное распределение вероятностей
• Гипергеометрическая функция матричного аргумента , многомерное обобщение гипергеометрического ряда
• Функция Кампе де Ферье , гипергеометрический ряд двух переменных
• гипергеометрический ряд Лауричеллы , гипергеометрический ряд трех переменных
• E-функция Мак-Роберта , расширение обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q на случай p > q +1.
• G-функция Мейера , расширение обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q на случай p > q +1.
• Модульный гипергеометрический ряд , конечная форма эллиптического гипергеометрического ряда.
• Дифференциальное уравнение Римана , обобщение гипергеометрического дифференциального уравнения.
• Тета-гипергеометрический ряд — особый вид эллиптического гипергеометрического ряда.
• Конформные блоки Вирасоро , специальные функции в двумерной конформной теории поля , которые в некоторых случаях сводятся к гипергеометрическим функциям.

• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. МР  1688958.
• Бейли, ВН (1935). Обобщенные гипергеометрические ряды (PDF) . Cambridge University Press. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-06-24 . Получено 2016-07-23 .
• Бёкерс, Фриц (2002), Гипергеометрическая функция Гаусса . (конспект лекций, в котором рассматриваются основы, а также карты треугольников и монодромия)
• Olde Daalhuis, Adri B. (2010), «Гипергеометрическая функция», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF) . Том I. Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw–Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR  0058756. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-08-11 . Получено 2011-07-30 .
• Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004). Основные гипергеометрические ряды, 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). «Общие исследования около seriem infinitam 1 + α β 1 ⋅ γ Икс + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) Икс Икс + и т. д. {\ displaystyle 1+ {\ tfrac { \alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1) )}}~x~x+{\mbox{etc.}}} ". Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (на латыни). 2 . Гёттинген.
• Гельфанд, ИМ; Гиндикин, СГ и Граев, МИ (2003) [2000]. Избранные темы интегральной геометрии. Переводы математических монографий. Том 220. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2932-5. МР  2000133.
• Гессель, Айра и Стэнтон, Деннис (1982). «Странные оценки гипергеометрических рядов». Журнал SIAM по математическому анализу . 13 (2): 295–308. doi :10.1137/0513021. ISSN  0036-1410. MR  0647127.
• Гурса, Эдуард (1881). «Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série Hypergeométrique». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 10 :3–142. дои : 10.24033/asens.207 . Проверено 16 октября 2008 г.
• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции в симметричных пространствах . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2.(часть 1 рассматривает гипергеометрические функции на группах Ли)
• Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области . Дувр. ISBN 0-486-69620-0.
• Инс, Э. Л. (1944). Обыкновенные дифференциальные уравнения. Dover Publications.
• Кляйн, Феликс (1981). Vorlesungen über die Hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). Том. 39. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. МР  0668700.
• Koepf, Wolfram (1995). «Алгоритмы для m-кратного гипергеометрического суммирования». Journal of Symbolic Computation . 20 (4): 399–417. doi : 10.1006/jsco.1995.1056 . ISSN  0747-7171. MR  1384455.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1836). "Über die Hypergeometrische Reihe 1 + α ⋅ β 1 ⋅ γ x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) x 2 + α ( α + 1 ) ( α + 2 ) β ( β + 1 ) ( β + 2 ) 1 ⋅ 2 3 ⋅ γ ( γ + 1 ) ( γ + 2 ) Икс 3 + ⋯ {\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta {1\cdot \gamma }}~x+ {\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta) +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\cdots } Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке) 15 : 39–83, 127–172  .
• Лавуа, Ж. Л.; Гронден, Ф.; Рати, АК (1996). «Обобщения теоремы Уиппла о сумме 3F2». J. Comput. Appl. Math . 72 (2): 293–300. doi : 10.1016/0377-0427(95)00279-0 .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT & Flannery, BP (2007). "Раздел 6.13. Гипергеометрические функции". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Ракха, MA; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теорема Заальшуца». Bull. Korean Math. Soc . 48 (1): 151–156. doi : 10.4134/BKMS.2011.48.1.151 .
• Rathie, Arjun K.; Paris, RB (2007). «Расширение преобразования типа Эйлера для ряда 3F2». Far East J. Math. Sci . 27 (1): 43–48.
• Риман, Бернхард (1857). «Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen». Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке). 7 . Геттинген: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung: 3–22.(перепечатку этой статьи можно найти в разделе «Все публикации Римана» (PDF)) .)
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Вырожденные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. MR  0107026.
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. МР  0201688.(есть издание в мягкой обложке 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
• Видунас, Раймундас (2005). «Преобразования некоторых гипергеометрических функций Гаусса». Журнал символических вычислений . 178 (1–2): 473–487. arXiv : math/0310436 . Bibcode :2005JCoAM.178..473V. doi :10.1016/j.cam.2004.09.053. S2CID  119596800.
• Уолл, Х. С. (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . D. Van Nostrand Company, Inc.
• Уиттекер, ET и Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press.
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, любовь моя: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг – Висбаден: Фридр. Вьюег и Зон. ISBN 3-528-06925-2. МР  1453580.

• «Гипергеометрическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций ( Оксфордский университет , диссертация магистра наук)
• Марко Петковшек, Герберт Вильф и Дорон Зейлбергер, Книга «A = B» (доступна для свободного скачивания)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция». MathWorld .