Обобщенная гипергеометрическая функция

В математике обобщенный гипергеометрический ряд — это степенной ряд , в котором отношение последовательных коэффициентов, индексированных n, является рациональной функцией n . Ряд, если он сходится, определяет обобщенную гипергеометрическую функцию , которая затем может быть определена в более широкой области аргумента с помощью аналитического продолжения . Обобщенный гипергеометрический ряд иногда называют просто гипергеометрическим рядом, хотя этот термин иногда также относится просто к гауссовому гипергеометрическому ряду . Обобщенные гипергеометрические функции включают (гауссову) гипергеометрическую функцию и вырожденную гипергеометрическую функцию как особые случаи, которые, в свою очередь, имеют много частных специальных функций как особые случаи, такие как элементарные функции , функции Бесселя и классические ортогональные многочлены .

Гипергеометрический ряд формально определяется как степенной ряд

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{ н}}$

в котором отношение последовательных коэффициентов является рациональной функцией n . То есть,

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

где A ( n ) и B ( n ) — многочлены от n .

Например, в случае ряда для показательной функции ,

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\ компакт-диски,}$

у нас есть:

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.}$

Таким образом, это удовлетворяет определению с A ( n ) = 1 и B ( n ) = n + 1 .

Обычно принято выносить за скобки ведущий член, поэтому β ₀ предполагается равным 1. Многочлены можно разложить на линейные множители вида ( a _j  +  n ) и ( b _k  +  n ) соответственно, где a _j и b _k — комплексные числа .

По историческим причинам предполагается, что (1 +  n ) является множителем B. Если это не так, то и A , и B можно умножить на этот множитель; множитель сократится, поэтому члены останутся неизменными, и общность не пострадает.

Соотношение между последовательными коэффициентами теперь имеет вид

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$,

где c и d — старшие коэффициенты A и B. Тогда ряд имеет вид

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

или, масштабируя z на соответствующий коэффициент и переставляя,

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Это имеет вид экспоненциальной производящей функции . Этот ряд обычно обозначается как

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

или

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Использование восходящего факториала или символа Похгаммера

${\displaystyle {\begin{align}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{align}}}$

это можно написать

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Обратите внимание, что такое использование символа Поххаммера не является стандартным; однако в данном контексте это стандартное использование.)

Когда все члены ряда определены и он имеет ненулевой радиус сходимости , то ряд определяет аналитическую функцию . Такая функция и ее аналитические продолжения называются гипергеометрической функцией .

Случай, когда радиус сходимости равен 0, дает много интересных рядов в математике, например, неполная гамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \Гамма (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

что можно записать как z ^{a −1} e ^−z  ₂ F ₀ (1− a ,1;;− z ⁻¹ ). Однако использование термина гипергеометрический ряд обычно ограничивается случаем, когда ряд определяет фактическую аналитическую функцию.

Обычный гипергеометрический ряд не следует путать с основным гипергеометрическим рядом , который, несмотря на свое название, является гораздо более сложным и малопонятным рядом. «Основной» ряд является q-аналогом обычного гипергеометрического ряда. Существует несколько таких обобщений обычного гипергеометрического ряда, включая те, которые исходят из зональных сферических функций на римановых симметрических пространствах .

Ряд без множителя n ! в знаменателе (просуммированный по всем целым числам n , включая отрицательные) называется двусторонним гипергеометрическим рядом .

Существуют определенные значения a _j и b _k, для которых числитель или знаменатель коэффициентов равен 0.

• Если любое a _j является неположительным целым числом (0, −1, −2 и т. д.), то ряд имеет только конечное число членов и, по сути, является многочленом степени − a _j .
• Если любое из b _k является неположительным целым числом (за исключением предыдущего случая с b _k < a _j ), то знаменатели становятся равными 0 и ряд не определен.

За исключением этих случаев для определения радиуса сходимости можно применить критерий отношения .

• Если p < q + 1, то отношение коэффициентов стремится к нулю. Это означает, что ряд сходится для любого конечного значения z и, таким образом, определяет целую функцию z . Примером является степенной ряд для показательной функции.
• Если p = q + 1, то отношение коэффициентов стремится к единице. Это означает, что ряд сходится при | z | < 1 и расходится при | z | > 1. Сходится ли он при | z | = 1, определить сложнее. Аналитическое продолжение можно использовать для больших значений z .
• Если p > q + 1, то отношение коэффициентов растет неограниченно. Это означает, что, кроме z  = 0, ряд расходится. Тогда это расходящийся или асимптотический ряд, или его можно интерпретировать как символическое сокращение для дифференциального уравнения, которому сумма удовлетворяет формально.

Вопрос о сходимости для p = q +1, когда z лежит на единичной окружности, более сложен. Можно показать, что ряд сходится абсолютно при z = 1, если

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$.

Далее, если p = q +1, а z является действительным, то справедлив следующий результат сходимости Куигли и др. (2013):${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

Из определения сразу следует, что порядок параметров a _j или порядок параметров b _k можно изменить, не меняя значения функции. Кроме того, если любой из параметров a _j равен любому из параметров b _k , то соответствующие параметры можно "отменить", за некоторыми исключениями, когда параметры являются неположительными целыми числами. Например,

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Это сокращение является частным случаем формулы сокращения, которая может применяться всякий раз, когда параметр в верхней строке отличается от параметра в нижней строке на неотрицательное целое число. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

Следующее основное тождество очень полезно, поскольку оно связывает гипергеометрические функции высшего порядка с интегралами по гипергеометрическим функциям низшего порядка ^[3]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

Обобщенная гипергеометрическая функция удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

Кроме того,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

Объединение этих уравнений дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет w = _p F _q :

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Возьмем следующий оператор:

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

Из приведенных выше формул дифференцирования следует, что линейное пространство, охватываемое

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

содержит каждый из

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Поскольку пространство имеет размерность 2, любые три из этих p + q +2 функций линейно зависимы: ^{[4] [5]}

${\displaystyle (a_{i}-b_{j}+1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..;...,b_{j}...;z)-(b_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}-1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-a_{j}){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}..;.....;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..a_{j}..;......;z)-a_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}+1...;....;z).}$

${\displaystyle b_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1....;..b_{j}+1...;z)+(b_{j}-a_{i}){}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}+1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j};...;z)=(a_{i}-a_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j};...;z)+a_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j}+1;...;z).}$

Эти зависимости можно записать для генерации большого количества идентификаторов, включающих .${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$

Например, в простейшем нетривиальном случае

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Так

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Этот и другие важные примеры

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

может использоваться для создания выражений цепной дроби, известных как цепная дробь Гаусса .

Аналогично, применяя формулы дифференцирования дважды, найдем такие функции, содержащиеся в ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

которая имеет размерность три, поэтому любые четыре линейно зависимы. Это генерирует больше идентичностей, и процесс может быть продолжен. Сгенерированные таким образом идентичности могут быть объединены друг с другом для создания новых другим способом.

Функция, полученная путем добавления ±1 к одному из параметров a _j , b _k в

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

называется смежным с

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Используя описанную выше технику, можно задать тождество, связывающее и две его смежные функции, найти шесть тождеств, связывающих и любые две из его четырех смежных функций, и пятнадцать тождеств, связывающих и любые две из его шести смежных функций. (Первое было выведено в предыдущем абзаце. Последние пятнадцать были даны Гауссом в его статье 1812 года.)${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Ряд других тождеств гипергеометрических функций были открыты в девятнадцатом и двадцатом веках. Вкладом XX века в методологию доказательства этих тождеств является метод Егорычева .

Теорема Заальшютца ^[6] (Заальшютц, 1890 г.)

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Расширение этой теоремы см. в исследовательской статье Ракхи и Рати.

Тождество Диксона ^[7] , впервые доказанное Диксоном (1902), дает сумму хорошо уравновешенного ₃ F ₂ в точке 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Для обобщения идентичности Диксона см. статью Лавуа и др.

Формула Дугалла ( Dougall  1907) дает сумму очень хорошо уравновешенного ряда, который является конечным и 2-сбалансированным.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Терминация означает, что m — неотрицательное целое число, а 2-сбалансированное означает, что

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Многие другие формулы для специальных значений гипергеометрических функций могут быть выведены из этой формулы как частные или предельные случаи.

Идентификация 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

где

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Идентичность 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

которая связывает функции Бесселя с ₂ F ₂ ; это сводится ко второй формуле Куммера для b = 2 a :

Идентичность 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Идентичность 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

что является конечной суммой, если bd — неотрицательное целое число.

Отношение Куммера:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

Формула Клаузена

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

был использован де Бранжем для доказательства гипотезы Бибербаха .

Многие специальные функции в математике являются частными случаями конфлюэнтной гипергеометрической функции или гипергеометрической функции ; примеры см. в соответствующих статьях.

Как отмечалось ранее, . Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид , которое имеет решения , где k — константа.${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$${\displaystyle w=ke^{z}}$

Функции этого вида называются конфлюэнтными гипергеометрическими предельными функциями и тесно связаны с функциями Бесселя . ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$

Взаимосвязь такова:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

или

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Если a не является положительным целым числом, то подстановка

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

поэтому общее решение таково

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

где k , l — константы. (Если a — положительное целое число, независимое решение задается соответствующей функцией Бесселя второго рода.)

Особый случай:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

Важный случай:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

или

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

который имеет решения

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

где k — константа.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$— геометрическая прогрессия с отношением z и коэффициентом 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$также полезно.

Функции вида называются вырожденными гипергеометрическими функциями первого рода , также пишутся . Неполная гамма-функция является частным случаем.${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle M(a;b;z)}$${\displaystyle \gamma (a,z)}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

или

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Если b не является положительным целым числом, то подстановка

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

поэтому общее решение таково

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

где k , l — константы.

Когда a — неположительное целое число, − n , — многочлен. С точностью до постоянных множителей это многочлены Лагерра . Это означает, что многочлены Эрмита также могут быть выражены через ₁ F _{1 .}${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$

Связь с другими функциями известна только для определенных комбинаций параметров.

Функция является первообразной кардинального синуса . При измененных значениях и , получаем первообразную . ^[8]${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$

Функция Ломмеля равна . ^[9]${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}})}$

Вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода можно записать как: ^[10]

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

Исторически наиболее важными являются функции вида . Иногда их называют гипергеометрическими функциями Гаусса , классическими стандартными гипергеометрическими или часто просто гипергеометрическими функциями. Термин Обобщенная гипергеометрическая функция используется для функций _p F _{q ,} если есть риск путаницы. Эта функция была впервые подробно изучена Карлом Фридрихом Гауссом , который исследовал условия ее сходимости.${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

или

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

Известно как гипергеометрическое дифференциальное уравнение . Когда c не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

поэтому общее решение для | z | < 1 равно

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

где k , l — константы. Различные решения могут быть получены для других значений z . Фактически существует 24 решения, известных как решения Куммера , выводимые с использованием различных тождеств, действительных в различных областях комплексной плоскости.

Когда a — неположительное целое число, − n ,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

— многочлен. С точностью до постоянных множителей и масштабирования это многочлены Якоби . Несколько других классов ортогональных многочленов с точностью до постоянных множителей являются частными случаями многочленов Якоби, поэтому их также можно выразить с помощью ₂ F _{1. Сюда входят} многочлены Лежандра и многочлены Чебышева .

Широкий спектр интегралов элементарных функций можно выразить с помощью гипергеометрической функции, например:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

Полиномы Мотта можно записать как: ^[11]

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

Функция

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

это дилогарифм ^[12]

Функция

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

является многочленом Хана .

Функция

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

является полиномом Вильсона .

Все корни уравнения пятой степени можно выразить через радикалы и радикал Бринга , который является действительным решением . Радикал Бринга можно записать как: ^[13]${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$

${\displaystyle \operatorname {BR} (t)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

Функции

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

для и являются полилогарифмом .${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

Для каждого целого числа n ≥2 корни многочлена x ⁿ − x +t могут быть выражены как сумма не более N −1 гипергеометрических функций типа _{n +1} F _n , которую всегда можно сократить, исключив по крайней мере одну пару параметров a и b . ^[13]

Обобщенная гипергеометрическая функция связана с G-функцией Мейера и E-функцией Мак- Роберта . Гипергеометрические ряды были обобщены на несколько переменных, например, Полем Эмилем Аппелем и Жозефом Кампе де Ферье ; но потребовалось много времени, чтобы появилась сопоставимая общая теория. Было найдено много тождеств, некоторые из которых весьма примечательны. Обобщение, аналоги q-рядов , называемые основными гипергеометрическими рядами , были даны Эдуардом Гейне в конце девятнадцатого века. Здесь рассматриваемые отношения последовательных членов, вместо рациональной функции n , являются рациональной функцией q ⁿ . Другое обобщение, эллиптический гипергеометрический ряд , представляет собой те ряды, где отношение членов является эллиптической функцией (двоякопериодической мероморфной функцией ) от n .

В течение двадцатого века это была плодотворная область комбинаторной математики, с многочисленными связями с другими областями. Существует ряд новых определений общих гипергеометрических функций , предложенных Аомото, Израилем Гельфандом и другими; и приложений, например, к комбинаторике размещения ряда гиперплоскостей в комплексном N -пространстве (см. размещение гиперплоскостей ).

Специальные гипергеометрические функции встречаются как зональные сферические функции на римановых симметрических пространствах и полупростых группах Ли . Их важность и роль можно понять на следующем примере: гипергеометрический ряд ₂ F ₁ имеет полиномы Лежандра как частный случай, и когда они рассматриваются в виде сферических гармоник , эти полиномы отражают, в определенном смысле, свойства симметрии двумерной сферы или, что эквивалентно, вращения, заданные группой Ли SO(3) . В разложениях тензорных произведений конкретных представлений этой группы встречаются коэффициенты Клебша–Гордана , которые можно записать как гипергеометрический ряд ₃ F _{2 .}

Двусторонние гипергеометрические ряды являются обобщением гипергеометрических функций, где суммирование производится по всем целым числам, а не только по положительным.

Функции Фокса–Райта являются обобщением обобщенных гипергеометрических функций, где символы Похгаммера в выражении ряда обобщаются до гамма-функций линейных выражений по индексу n .

• Серия Аппель
• серия Гумберт
• Функция Кампе де Ферье
• гипергеометрический ряд Лауричеллы

• Askey, RA; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Обобщенная гипергеометрическая функция", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. МР  1688958.
• Бейли, В. Н. (1935). Обобщенные гипергеометрические ряды . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 32. London: Cambridge University Press. Zbl  0011.02303.
• Диксон, AC (1902). «Суммирование определенного ряда». Proc. London Math. Soc . 35 (1): 284–291. doi :10.1112/plms/s1-35.1.284. JFM  34.0490.02.
• Дугалл, Дж. (1907). «О теореме Вандермонда и некоторых более общих разложениях». Proc. Edinburgh Math. Soc . 25 : 114–132. doi : 10.1017/S0013091500033642 .
• Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Том III . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. MR  0066496.
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Основные гипергеометрические ряды . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 96 (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8. MR  2128719. Zbl  1129.33005.(первое издание имеет ISBN 0-521-35049-2 ) 
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). «Общие исследования около seriam infinitam 1 + α β 1 ⋅ γ Икс + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) Икс Икс + и т. д. {\ displaystyle 1+ {\ tfrac { \alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1) )}}~x~x+{\mbox{etc.}}} ". Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (на латыни). 2 . Гёттинген.(перепечатку этой статьи можно найти в книге Карла Фридриха Гаусса «Верке», стр. 125)
• Гриншпан, AZ (2013), «Обобщенные гипергеометрические функции: тождества произведений и неравенства весовых норм», The Ramanujan Journal , 31 (1–2): 53–66, doi :10.1007/s11139-013-9487-x, S2CID  121054930

• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции в симметричных пространствах . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-12-336170-7.(часть 1 рассматривает гипергеометрические функции на группах Ли)
• Лавуа, Ж. Л.; Гронден, Ф.; Рати, АК; Арора, К. (1994). «Обобщения теоремы Диксона о сумме 3F2». Math. Comp . 62 (205): 267–276. doi :10.2307/2153407. JSTOR  2153407.
• Miller, AR; Paris, RB (2011). «Преобразования типа Эйлера для обобщенной гипергеометрической функции r+2Fr+1». Z. Angew. Math. Phys . 62 (1): 31–45. Bibcode :2011ZaMP...62...31M. doi :10.1007/s00033-010-0085-0. S2CID  30484300.
• Куигли, Дж.; Уилсон, К.Дж.; Уоллс, Л.; Бедфорд, Т. (2013). «Линейный байесовский метод оценки коррелированных частот событий» (PDF) . Анализ риска . 33 (12): 2209–2224. Bibcode : 2013RiskA..33.2209Q. doi : 10.1111/risa.12035. PMID  23551053. S2CID  24476762.
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). «Новая формула суммирования для 3F2(1/2) и преобразование типа Куммера II для 2F2(x)». Mathematical Communications . 13 : 63–66. MR  2422088. Zbl  1146.33002.
• Ракха, MA; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теорема Заальшуца». Bull. Korean Math. Soc . 48 (1): 151–156. doi : 10.4134/bkms.2011.48.1.151 .
• Заальшюц, Л. (1890). «Форма Eine SummationsFormel». Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 35 : 186–188. ЖФМ  22.0262.03.
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. MR  0201688. Zbl  0135.28101.(есть издание в мягкой обложке 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, любовь моя: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг/Висбаден: Фридр. Вьюег и Зон. ISBN 978-3-528-06925-4. МР  1453580.

• Книгу «А = Б» можно бесплатно скачать в Интернете.
• MathWorld
  • Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенная гипергеометрическая функция». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Вырожденная гипергеометрическая функция первого рода». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Вырожденная гипергеометрическая предельная функция". MathWorld .