Список Шварца
Герман Шварц , ок. 1890 г.

В математической теории специальных функций список Шварца или таблица Шварца — это список из 15 случаев, найденных Германом Шварцем  (1873, стр. 323), когда гипергеометрические функции могут быть выражены алгебраически. Точнее, это список параметров, определяющих случаи, в которых гипергеометрическое уравнение имеет конечную группу монодромии , или, что эквивалентно, имеет два независимых решения, которые являются алгебраическими функциями . Он перечисляет 15 случаев, разделенных по классу изоморфизма группы монодромии (исключая случай циклической группы ), и был впервые выведен Шварцем методами комплексной аналитической геометрии. Соответственно, утверждение дается не непосредственно в терминах параметров, задающих гипергеометрическое уравнение, а в терминах величин, используемых для описания определенных сферических треугольников .

Более широкое значение таблицы для общих дифференциальных уравнений второго порядка в комплексной плоскости было показано Феликсом Клейном , который доказал результат о том, что случаи конечной монодромии для таких уравнений и регулярных особенностей могут быть приписаны заменам переменной (комплексным аналитическим отображениям сферы Римана в себя), которые приводят уравнение к гипергеометрической форме. На самом деле верно больше: список Шварца лежит в основе всех уравнений второго порядка с регулярными особенностями на компактных римановых поверхностях, имеющих конечную монодромию, путем обратного хода от гипергеометрического уравнения на сфере Римана с помощью комплексного аналитического отображения, степени, вычисляемой из данных уравнения. [1] [2]

Число λ {\displaystyle \лямбда} μ {\displaystyle \мю} ν {\displaystyle \nu} область/ π {\displaystyle \пи} многогранник
11/21/2п / н (≤ 1/2)п / нДвугранный
21/21/31/31/6Тетраэдрический
32/31/31/32/6Тетраэдрический
41/21/31/41/12Куб/октаэдр
52/31/41/42/12Куб/октаэдр
61/21/31/51/30Икосаэдр/Додекаэдр
72/51/31/32/30Икосаэдр/Додекаэдр
82/31/51/52/30Икосаэдр/Додекаэдр
91/22/51/53/30Икосаэдр/Додекаэдр
103/51/31/54/30Икосаэдр/Додекаэдр
112/52/52/56/30Икосаэдр/Додекаэдр
122/31/31/56/30Икосаэдр/Додекаэдр
134/51/51/56/30Икосаэдр/Додекаэдр
141/22/51/37/30Икосаэдр/Додекаэдр
153/52/51/310/30Икосаэдр/Додекаэдр

Числа являются (с точностью до перестановок, изменений знаков и сложения с четными) разностями показателей гипергеометрического дифференциального уравнения в трех особых точках . Они являются рациональными числами тогда и только тогда, когда и являются, что имеет значение в арифметических, а не геометрических подходах к теории. λ , μ , ν {\ Displaystyle \ лямбда, \ му, \ ню} ( ℓ , м , н ) ∈ З 3 {\displaystyle (\ell ,m,n)\in \mathbb {Z} ^{3}} ℓ + м + н {\displaystyle \ell +m+n} 1 − с , с − а − б , б − а {\displaystyle 1-c,cab,ba} 0 , 1 , ∞ {\displaystyle 0,1,\infty } а , б {\displaystyle а,б} с {\displaystyle с}

Дальнейшая работа

Расширение результатов Шварца было дано Т. Кимурой, который рассматривал случаи, когда единичная компонента дифференциальной группы Галуа гипергеометрического уравнения является разрешимой группой . [3] [4] Общий результат, связывающий дифференциальную группу Галуа G и группу монодромии Γ, утверждает, что G является замыканием Зарисского Γ — эта теорема приписывается в книге Мацуды Мичио Куге . Согласно общей дифференциальной теории Галуа, полученная таблица Кимуры-Шварца классифицирует случаи интегрируемости уравнения алгебраическими функциями и квадратурами .

Другой соответствующий список принадлежит К. Такеучи , который классифицировал (гиперболические) треугольные группы , являющиеся арифметическими группами (85 примеров). [5]

Эмиль Пикар стремился расширить работу Шварца в комплексной геометрии, с помощью обобщенной гипергеометрической функции , чтобы построить случаи уравнений, где монодромия была дискретной группой в проективной унитарной группе PU (1, n ). Пьер Делинь и Джордж Мостоу использовали его идеи для построения решеток в проективной унитарной группе. Эта работа восстанавливает в классическом случае конечность списка Такеучи, и с помощью характеристики построенных ими решеток, которые являются арифметическими группами, предоставили новые примеры неарифметических решеток в PU (1, n ). [6]

Балдассари применил универсальность Клейна для обсуждения алгебраических решений уравнения Ламе с помощью списка Шварца. [7]

Другие гипергеометрические функции, которые можно выразить алгебраически, как те, что указаны в списке Шварца, возникают в теоретической физике в контексте деформаций двумерных калибровочных теорий. [8] Т Т ¯ {\displaystyle T{\overline {T}}}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Современная трактовка содержится в Baldassarri, F.; Dwork, B. (1979). «О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с алгебраическими решениями». American Journal of Mathematics . 101 (1): 42– 76. doi :10.2307/2373938. JSTOR  2373938. MR  0527825..
  2. ^ Бальдассари, Ф. (1986–1987). «К списку Шварца для дифференциальных операторов Ламе через точки деления на эллиптических кривых». Группа ультраметрического анализа труда . 14 : Разоблачение №. 22, 17 с.; см. стр. 5-6.
  3. ^ Кимура, Тосихуса (1969–1970). «Об уравнениях Римана, которые решаются квадратурами» (PDF) . Funkcialaj Ekvacioj . 12 : 269–281 . MR  0277789.
  4. ^ Моралес-Руис, Хуан Х.; Рамис, Жан Пьер (2001). «Заметка о неинтегрируемости некоторых гамильтоновых систем с однородным потенциалом». Методы и приложения анализа . 8 (1): 113– 120. doi : 10.4310/MAA.2001.v8.n1.a5 . MR  1867496.; см. формулировку на стр. 116.
  5. ^ Такеучи, Кисао (1977). «Арифметические треугольные группы». Журнал математического общества Японии . 29 (1): 91– 106. doi : 10.2969/jmsj/02910091 . MR  0429744.
  6. ^ Делинь, Пьер; Мостоу, Грузия (1986). «Монодромия гипергеометрических функций и нерешетчатая интегральная монодромия» (PDF) . Математические публикации IHÉS . 63 : 5– 89. doi : 10.1007/BF02831622. S2CID  121385846.
  7. ^ Ф. Балдассарри, Об алгебраических решениях дифференциального уравнения Ламе , J. Differential Equations 41 (1) (1981) 44–58. Исправление в алгебраических решениях уравнения Ламе, пересмотренное (PDF), Роберт С. Майер.
  8. ^ Бреннан, Т. Дэниел; Ферко, Кристиан; Сетхи, Савдип (2020). «Неабелев аналог DBI из TT». SciPost Physics . 8 (4): 052. arXiv : 1912.12389 . doi : 10.21468/SciPostPhys.8.4.052 . S2CID  209515455.

Ссылки

  • Мацуда, Мичихико (1985). Лекции по алгебраическим решениям гипергеометрических дифференциальных уравнений (PDF) . Лекции по математике. Том 15. Токио: Kinokuniya Company Ltd. MR 1104881.
  • Шварц, ХА (1873 г.). «Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussische Hypergeometrische Reihe eine алгебраической функции ihres vierten Elementes darstellt». Журнал для королевы и математики . 75 : 292–335 . ISSN  0075-4102.
  • К нелинейному списку Шварца (PDF)
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schwarz%27s_list&oldid=1194105010"