Функция Фокса–Райта

В математике функция Фокса–Райта (также известная как пси-функция Фокса–Райта , не путать с омега-функцией Райта ) является обобщением обобщенной гипергеометрической функции _p F _q ( z ), основанной на идеях Чарльза Фокса  (1928) и Э. Мейтленда Райта  (1935):

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

При изменении нормализации

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}}$$

становится _p F _q ( z ) для A _{1... p} = B _{1... q} = 1.

Функция Фокса–Райта является частным случаем H-функции Фокса (Srivastava & Manocha 1984, стр. 50):

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].}$$

Частный случай функции Фокса–Райта появляется как часть нормирующей константы модифицированного полунормального распределения ^[1] с плотностью распределения по , которая задается как , где обозначает пси-функцию Фокса–Райта .${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Полную функцию часто называют функцией Райта . ^[2] Это частный случай функции Фокса–Райта. Ее представление в виде ряда:${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$${\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}$

$${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.}$$

Эта функция широко используется в дробном исчислении и стабильном распределении счетов . Напомним, что . Следовательно, ненуль с нулем является простейшим нетривиальным расширением показательной функции в таком контексте.${\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0}W_{\lambda ,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$

Три свойства были сформулированы в теореме 1 Райта (1933) ^[3] и 18.1(30–32) Эрдели, Проект Бейтмана, том 3 (1955) ^[4] (стр. 212)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{aligned}}}$$

Уравнение (a) является рекуррентной формулой. (b) и (c) предоставляют два пути сокращения производной. И (c) может быть выведено из (a) и (b).

Частным случаем (c) является . Заменив на , имеем${\displaystyle \lambda =-c\alpha ,\mu =0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle -x^{\alpha }}$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })&=&-{\frac {1}{c}}\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array}}}$$

Частным случаем (a) является . Заменив на , имеем${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle -z}$$${\displaystyle \alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)}$$

В литературе широко использовались два обозначения : и :${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$известна как функция М-Райта, входящая в качестве плотности вероятности в соответствующий класс самоподобных стохастических процессов, обычно называемых процессами дробной диффузии во времени.

Его свойства были рассмотрены в работе Майнарди и др. (2010). ^[5] Через стабильное распределение количества связано с индексом стабильности Леви .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (0<\alpha \leq 1)}$

Его асимптотическое разложение для имеет вид , где${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$${\displaystyle \alpha >0}$$${\displaystyle M_{\alpha }\left({\frac {r}{\alpha }}\right)=A(\alpha )\,r^{(\alpha -1/2)/(1-\alpha )}\,e^{-B(\alpha )\,r^{1/(1-\alpha )}},\,\,r\rightarrow \infty ,}$$${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2\pi (1-\alpha )}}},}$${\displaystyle B(\alpha )={\frac {1-\alpha }{\alpha }}.}$

• Функция Прабхакара
• Гипергеометрическая функция
• Обобщенная гипергеометрическая функция
• Модифицированное полунормальное распределение ^[1] с функцией плотности вероятности задается как , где обозначает функцию Фокса–Райта Psi .${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

• Фокс, К. (1928). «Асимптотическое разложение интегральных функций, определяемых обобщенными гипергеометрическими рядами». Proc. London Math. Soc . 27 (1): 389–400. doi :10.1112/plms/s2-27.1.389.
• Райт, Э. М. (1935). «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции». J. London Math. Soc . 10 (4): 286–293. doi :10.1112/jlms/s1-10.40.286.
• Райт, Э. М. (1940). «Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции». Proc. London Math. Soc . 46 (2): 389–408. doi :10.1112/plms/s2-46.1.389.
• Райт, Э. М. (1952). "Исправление к статье "Асимптотическое разложение обобщенной гипергеометрической функции"". J. London Math. Soc . 27 : 254. doi : 10.1112/plms/s2-54.3.254-s .
• Шривастава, Х. М.; Маноча, Х. Л. (1984). Трактат о производящих функциях . Э. Хорвуд. ISBN 0-470-20010-3.
• Миллер, AR; Московиц, IS (1995). «Редукция класса пси-функций Фокса–Райта для определенных рациональных параметров». Computers Math. Applic . 30 (11): 73–82. doi : 10.1016/0898-1221(95)00165-u .
• Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 июня 2021 г.). «Модифицированное полунормальное распределение: свойства и эффективная схема выборки». Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

• hypergeom на GitLab