Эллиптический аналог гипергеометрического ряда
В математике эллиптический гипергеометрический ряд — это ряд Σ c n c n c n −1эллиптической функцией n , аналогично обобщенным гипергеометрическим рядам , где отношение является рациональной функцией n , и базовым гипергеометрическим рядам , где отношение является периодической функцией комплексного числа n . Они были введены Дате-Джимбо-Куниба-Мива-Окадо (1987) и Френкелем и Тураевым (1997) в их исследовании эллиптических 6-j символов .
Обзоры эллиптических гипергеометрических рядов см. в работах Gasper & Rahman (2004), Spiridonov (2008) или Rosengren (2016).
Определения Символ q-Похгаммера определяется как
( а ; д ) н = ∏ к = 0 н − 1 ( 1 − а д к ) = ( 1 − а ) ( 1 − а д ) ( 1 − а д 2 ) ⋯ ( 1 − а д н − 1 ) . {\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).} ( а 1 , а 2 , … , а м ; д ) н = ( а 1 ; д ) н ( а 2 ; д ) н … ( а м ; д ) н . {\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.} Модифицированная тета-функция Якоби с аргументом x и номом p определяется как
θ ( х ; п ) = ( х , п / х ; п ) ∞ {\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }} θ ( х 1 , . . . , х м ; п ) = θ ( х 1 ; п ) . . . θ ( х м ; п ) {\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)} Эллиптический сдвинутый факториал определяется как
( а ; д , п ) н = θ ( а ; п ) θ ( а д ; п ) . . . θ ( а д н − 1 ; п ) {\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)} ( а 1 , . . . , а м ; д , п ) н = ( а 1 ; д , п ) н ⋯ ( а м ; д , п ) н {\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{м};q,p)_{н}=(a_{1};q,p)_{н}\cdots (a_{м};q,p)_{н}} Тета-гипергеометрический ряд r +1 E r
г + 1 Э г ( а 1 , . . . а г + 1 ; б 1 , . . . , б г ; д , п ; з ) = ∑ н = 0 ∞ ( а 1 , . . . , а г + 1 ; д ; п ) н ( д , б 1 , . . . , б г ; д , п ) н з н {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}} Очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд r +1 V r
r + 1 V r ( a 1 ; a 6 , a 7 , . . . a r + 1 ; q , p ; z ) = ∑ n = 0 ∞ θ ( a 1 q 2 n ; p ) θ ( a 1 ; p ) ( a 1 , a 6 , a 7 , . . . , a r + 1 ; q ; p ) n ( q , a 1 q / a 6 , a 1 q / a 7 , . . . , a 1 q / a r + 1 ; q , p ) n ( q z ) n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}} Двусторонний тета-гипергеометрический ряд r G r
r G r ( a 1 , . . . a r ; b 1 , . . . , b r ; q , p ; z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , . . . , a r ; q ; p ) n ( b 1 , . . . , b r ; q , p ) n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q;p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}
Определения аддитивных эллиптических гипергеометрических рядов Эллиптические числа определяются как
[ a ; σ , τ ] = θ 1 ( π σ a , e π i τ ) θ 1 ( π σ , e π i τ ) {\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}} где тета-функция Якоби определяется как
θ 1 ( x , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( n + 1 / 2 ) 2 e ( 2 n + 1 ) i x {\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}} Аддитивные эллиптические сдвинутые факториалы определяются как
[ a ; σ , τ ] n = [ a ; σ , τ ] [ a + 1 ; σ , τ ] . . . [ a + n − 1 ; σ , τ ] {\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]} [ a 1 , . . . , a m ; σ , τ ] = [ a 1 ; σ , τ ] . . . [ a m ; σ , τ ] {\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]} Аддитивный тета-гипергеометрический ряд r +1 e r
r + 1 e r ( a 1 , . . . a r + 1 ; b 1 , . . . , b r ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ a 1 , . . . , a r + 1 ; σ ; τ ] n [ 1 , b 1 , . . . , b r ; σ , τ ] n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}} Аддитивный очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд r +1 v r
r + 1 v r ( a 1 ; a 6 , . . . a r + 1 ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ a 1 + 2 n ; σ , τ ] [ a 1 ; σ , τ ] [ a 1 , a 6 , . . . , a r + 1 ; σ , τ ] n [ 1 , 1 + a 1 − a 6 , . . . , 1 + a 1 − a r + 1 ; σ , τ ] n z n {\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}
Дальнейшее чтение Спиридонов, В. П. (2013). "Аспекты эллиптических гипергеометрических функций". В Berndt, Bruce C. (ред.). The Legacy of Srinivasa Ramanujan Proceedings of an International Conference in Celebration of the 125th Anniversary of Ramanujan's Birth; University of Delhi, 17-22 December 2012 . Ramanujan Mathematical Society Lecture Notes Series. Vol. 20. Ramanujan Mathematical Society. pp. 347–361. arXiv : 1307.2876 . Bibcode :2013arXiv1307.2876S. ISBN 9789380416137 Розенгрен, Ялмар (2016). «Эллиптические гипергеометрические функции». arXiv : 1608.06161 [math.CA].
Ссылки Френкель, Игорь Б.; Тураев, Владимир Г. (1997), «Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера и модулярные гипергеометрические функции», Математические семинары Арнольда-Гельфанда , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 171–204, ISBN 978-0-8176-3883-2 г-н 1429892 Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические ряды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 96 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 МР 2128719 Спиридонов, В. П. (2002), "Тета-гипергеометрические ряды", Асимптотическая комбинаторика с приложением к математической физике (Санкт-Петербург, 2001) , NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., т. 77, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., стр. 307–327, arXiv : math/0303204 , Bibcode :2003math......3204S, MR 2000728 Спиридонов В.П. (2003), "Тэта-гипергеометрические интегралы", Российская академия наук. Алгебра и анализ , 15 (6): 161–215, arXiv : math/0303205 , Bibcode : 2003math......3205S, doi : 10.1090/S1061-0022-04-00839-8, MR 2044635, S2CID 14471695 Спиридонов В.П. (2008), «Очерки по теории эллиптических гипергеометрических функций», Российская академия наук. Московское математическое общество. Успехи Математических Наук , 63 (3): 3–72, arXiv : 0805.3135 , Bibcode :2008RuMaS..63..405S, doi :10.1070/RM2008v063n03ABEH004533, MR 2479997, S2CID 16996 893 Варнаар, С. Оле (2002), «Формулы суммирования и преобразования для эллиптических гипергеометрических рядов», Constructive Approximation , 18 (4): 479–502, arXiv : math/0001006 , doi :10.1007/s00365-002-0501-6, MR 1920282, S2CID 18102177 
![{\displaystyle [a;\sigma,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\ пи \ сигма , е ^ {\ пи я \ тау })}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d8d0bb1b97924ff5cb8dcb7862b623aa311ce)
![{\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_ {n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ] ... [a+n-1;\sigma , \тау ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2da38081b9cc727134b56777757ea212d8d0ca)
![{\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b392b65337d21af3f4f57af588c903f192db9a35)
![{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58afdad63c4f0c8a067eb0dccafd04990a7f5a2)
![{\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma,\tau;z)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {[a_{1}+2n;\sigma,\tau]}{[a_{1};\sigma,\tau]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma,\tau]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma,\tau]_{n}}}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ad1ba53fcbf4c2e9c7ba290172f33b9e441216)
