Полиномы Гегенбауэра

Полиномиальная последовательность

В математике полиномы Гегенбауэра или ультрасферические полиномы C(α)
н( x ) являются ортогональными многочленами на интервале [−1,1] относительно весовой функции (1 −  x 2 ) α –1/2 . Они обобщают многочлены Лежандра и многочлены Чебышёва и являются частными случаями многочленов Якоби . Они названы в честь Леопольда Гегенбауэра .

Характеристика

  • График полинома Гегенбауэра C n^(m)(x) при n=10 и m=1 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
    График полинома Гегенбауэра C n^(m)(x) при n=10 и m=1 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
  • Полиномы Гегенбауэра с α=1
    Полиномы Гегенбауэра с α =1
  • Полиномы Гегенбауэра с α=2
    Полиномы Гегенбауэра с α =2
  • Полиномы Гегенбауэра с α=3
    Полиномы Гегенбауэра с α =3
  • Анимация, демонстрирующая полиномы на плоскости xα для первых 4 значений n.
    Анимация, демонстрирующая полиномы на плоскости xα для первых 4 значений n .

Доступны различные характеристики полиномов Гегенбауэра.

1 ( 1 − 2 х т + т 2 ) α = ∑ н = 0 ∞ С н ( α ) ( х ) т н ( 0 ≤ | х | < 1 , | т | ≤ 1 , α > 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}
С 0 ( α ) ( х ) = 1 С 1 ( α ) ( х ) = 2 α х ( н + 1 ) С н + 1 ( α ) ( х ) = 2 ( н + α ) х С н ( α ) ( х ) − ( н + 2 α − 1 ) С н − 1 ( α ) ( х ) . {\displaystyle {\begin{align}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{align}}}
  • Полиномы Гегенбауэра являются частными решениями дифференциального уравнения Гегенбауэра (Суетин, 2001):
( 1 − х 2 ) у ″ − ( 2 α + 1 ) х у ′ + н ( н + 2 α ) у = 0. {\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha)y=0.\,}
При α  = 1/2 уравнение сводится к уравнению Лежандра, а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Лежандра .
При α  = 1 уравнение сводится к дифференциальному уравнению Чебышева , а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Чебышева второго рода. [1]
С н ( α ) ( з ) = ( 2 α ) н н ! 2 Ф 1 ( − н , 2 α + н ; α + 1 2 ; 1 − з 2 ) . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}
(Абрамовиц и Стиган, стр. 561). Здесь (2α) n — это растущий факториал . Явно,
С н ( α ) ( з ) = ∑ к = 0 ⌊ н / 2 ⌋ ( − 1 ) к Г ( н − к + α ) Г ( α ) к ! ( н − 2 к ) ! ( 2 з ) н − 2 к . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}
Отсюда также легко получить значение единичного аргумента:
С н ( α ) ( 1 ) = Г ( 2 α + н ) Г ( 2 α ) н ! . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha)}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha)n!}}.}
С н ( α ) ( х ) = ( 2 α ) н ( α + 1 2 ) н П н ( α − 1 / 2 , α − 1 / 2 ) ( х ) . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha)}(x)={\frac {(2\alpha)_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}
в котором представляет собой возрастающий факториал числа . ( θ ) н {\displaystyle (\theta)_{n}} θ {\displaystyle \тета}
Поэтому также имеет место формула Родригеса
С н ( α ) ( х ) = ( − 1 ) н 2 н н ! Г ( α + 1 2 ) Г ( н + 2 α ) Г ( 2 α ) Г ( α + н + 1 2 ) ( 1 − х 2 ) − α + 1 / 2 г н г х н [ ( 1 − х 2 ) н + α − 1 / 2 ] . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}

Ортогональность и нормализация

Для фиксированного α > -1/2 полиномы ортогональны на [−1, 1] относительно весовой функции (Абрамовиц и Стеган, стр. 774)

ж ( з ) = ( 1 − з 2 ) α − 1 2 . {\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha - {\frac {1}{2}}}.}

А именно, при n  ≠  m ,

∫ − 1 1 С н ( α ) ( х ) С м ( α ) ( х ) ( 1 − х 2 ) α − 1 2 г х = 0. {\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}

Они нормализуются по

∫ − 1 1 [ С н ( α ) ( х ) ] 2 ( 1 − х 2 ) α − 1 2 г х = π 2 1 − 2 α Г ( н + 2 α ) н ! ( н + α ) [ Г ( α ) ] 2 . {\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}

Приложения

Полиномы Гегенбауэра естественным образом появляются как расширения полиномов Лежандра в контексте теории потенциала и гармонического анализа . Ньютоновский потенциал в R n имеет расширение, справедливое при α = ( n  − 2)/2,

1 | х − у | н − 2 = ∑ к = 0 ∞ | х | к | у | к + н − 2 С к ( α ) ( х ⋅ у | х | | у | ) . {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {| \mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}

При n  = 3 это дает полиномиальное разложение Лежандра гравитационного потенциала . Аналогичные выражения доступны для разложения ядра Пуассона в шаре (Stein & Weiss 1971).

Из этого следует, что величины являются сферическими гармониками , если рассматривать их как функцию только x . Они, по сути, являются в точности зональными сферическими гармониками , с точностью до нормирующей константы. С к ( ( н − 2 ) / 2 ) ( х ⋅ у ) {\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}

Полиномы Гегенбауэра также появляются в теории положительно-определенных функций .

Неравенство Аски –Гаспера имеет вид

∑ j = 0 n C j α ( x ) ( 2 α + j − 1 j ) ≥ 0 ( x ≥ − 1 , α ≥ 1 / 4 ) . {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}

В спектральных методах решения дифференциальных уравнений, если функция разлагается в базисе полиномов Чебышева и ее производная представлена ​​в базисе Гегенбауэра/ультрасферическом базисе, то оператор производной становится диагональной матрицей , что приводит к быстрым методам ленточных матриц для больших задач. [2]

Смотрите также

Ссылки

Специфический
  1. ^ Арфкен, Вебер и Харрис (2013) «Математические методы для физиков», 7-е издание; гл. 18.4
  2. ^ Олвер, Шихан; Таунсенд, Алекс (январь 2013 г.). «Быстрый и хорошо обусловленный спектральный метод». Обзор SIAM . 55 (3): 462–489. arXiv : 1202.1347 . doi : 10.1137/120865458. eISSN  1095-7200. ISSN  0036-1445.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gegenbauer_polynomials&oldid=1244508564"