гипотеза Ходжа

В математике гипотеза Ходжа является важной нерешенной проблемой алгебраической геометрии и комплексной геометрии , которая связывает алгебраическую топологию неособого комплексного алгебраического многообразия с его подмногообразиями.

Проще говоря, гипотеза Ходжа утверждает, что базовая топологическая информация, такая как количество отверстий в определенных геометрических пространствах , сложных алгебраических многообразиях , может быть понята путем изучения возможных красивых форм, находящихся внутри этих пространств, которые выглядят как нулевые множества полиномиальных уравнений . Последние объекты могут быть изучены с помощью алгебры и исчисления аналитических функций , и это позволяет косвенно понять общую форму и структуру часто многомерных пространств, которые не могут быть легко визуализированы иным образом.

Более конкретно, гипотеза утверждает, что некоторые когомологии де Рама являются алгебраическими; то есть они являются суммами двойственных Пуанкаре классов гомологии подмногообразий. Она была сформулирована шотландским математиком Уильямом Валлансом Дугласом Ходжем в результате работы между 1930 и 1940 годами по обогащению описания когомологий де Рама для включения дополнительной структуры, которая присутствует в случае комплексных алгебраических многообразий. Она получила мало внимания, пока Ходж не представил ее в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1950 года , состоявшемся в Кембридже, штат Массачусетс . Гипотеза Ходжа является одной из проблем премии тысячелетия Института математики Клэя с призом в 1 000 000 долларов США тому, кто сможет доказать или опровергнуть гипотезу Ходжа.

Пусть X — компактное комплексное многообразие комплексной размерности n . Тогда X — ориентируемое гладкое многообразие вещественной размерности , так что его группы когомологий лежат в степенях от нуля до . Предположим, что X — кэлерово многообразие , так что существует разложение на его когомологиях с комплексными коэффициентами${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),}$

где — подгруппа когомологических классов, представленных гармоническими формами типа . То есть, это когомологические классы, представленные дифференциальными формами , которые при некотором выборе локальных координат могут быть записаны как гармоническая функция , умноженная на${\displaystyle H^{p,q}(X)}$${\displaystyle (п,д)}$${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{n}}$

${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.}$

Поскольку X — компактное ориентированное многообразие, X имеет фундаментальный класс , и поэтому X можно интегрировать по нему.

Пусть Z будет комплексным подмногообразием X размерности k , и пусть будет отображением включения . Выберите дифференциальную форму типа . Мы можем интегрировать по Z с помощью функции обратного вытягивания ,${\displaystyle i\двоеточие Z\до X}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle (п,д)}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle я^{*}}$

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .}$

Чтобы оценить этот интеграл, выберем точку Z и назовем ее . Включение Z в X означает, что мы можем выбрать локальный базис на X и иметь ( теорему о ранге-нуле ). Если , то должно содержать некоторое , где тянет обратно к нулю на Z . То же самое верно для , если . Следовательно, этот интеграл равен нулю, если .${\displaystyle z=(z_{1},\ldots,z_{k})}$${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$${\displaystyle p>к}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle dz_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle d{\bar {z}}_{j}}$${\displaystyle д>к}$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$

Гипотеза Ходжа тогда (в вольном виде) спрашивает:

Какие классы когомологий в происходят из комплексных подмногообразий Z ?${\displaystyle H^{k,k}(X)}$

Позволять

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

Мы называем это группой классов Ходжа степени 2k на X.

Современная формулировка гипотезы Ходжа такова:

Гипотеза Ходжа. Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X.

Проективное комплексное многообразие — это комплексное многообразие, которое может быть вложено в комплексное проективное пространство . Поскольку проективное пространство несет кэлерову метрику, метрику Фубини–Штуди , такое многообразие всегда является кэлеровым многообразием. По теореме Чжоу проективное комплексное многообразие также является гладким проективным алгебраическим многообразием, то есть является нулевым множеством набора однородных многочленов.

Другой способ формулировки гипотезы Ходжа включает идею алгебраического цикла. Алгебраический цикл на X — это формальная комбинация подмногообразий X ; то есть, это что-то вроде формы

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}Z_{i}.}$

Коэффициенты обычно считаются целыми или рациональными. Мы определяем класс когомологий алгебраического цикла как сумму классов когомологий его компонентов. Это пример отображения классов циклов когомологий де Рама, см. когомологии Вейля . Например, класс когомологий указанного выше цикла будет

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}[Z_{i}].}$

Такой класс когомологий называется алгебраическим . С этой записью гипотеза Ходжа становится

Пусть X — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является алгебраическим.

Предположение в гипотезе Ходжа о том, что X является алгебраическим (проективным комплексным многообразием), не может быть ослаблено. В 1977 году Стивен Цукер показал, что можно построить контрпример к гипотезе Ходжа в виде комплексных торов с аналитическими рациональными когомологиями типа , который не является проективно-алгебраическим. (см. приложение B Цукера (1977))${\displaystyle (p,p)}$

Первый результат по гипотезе Ходжа принадлежит Лефшецу (1924). Фактически, он предшествовал гипотезе и предоставил некоторые мотивы Ходжа.

Теорема ( Теорема Лефшеца о (1,1)-классах ) Любой элемент из является классом когомологий дивизора на . В частности, гипотеза Ходжа верна для .${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{2}}$

Очень быстрое доказательство можно дать, используя когомологии пучков и экспоненциальную точную последовательность . (Класс когомологий дивизора оказывается равным его первому классу Черна .) Первоначальное доказательство Лефшеца проводилось с помощью нормальных функций, которые были введены Анри Пуанкаре . Однако теорема трансверсальности Гриффитса показывает, что этот подход не может доказать гипотезу Ходжа для подмногообразий более высокой коразмерности.

Используя теорему Лефшеца , можно доказать: ^[1]

Теорема. Если для некоторых гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени , то гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени .${\displaystyle p<{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2n-p}$

Объединение двух приведенных выше теорем подразумевает, что гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени . Это доказывает гипотезу Ходжа, когда имеет размерность не более трех.${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle X}$

Теорема Лефшеца о (1,1)-классах также подразумевает, что если все классы Ходжа порождаются классами Ходжа дивизоров, то гипотеза Ходжа верна:

Следствие. Если алгебра порождается , то гипотеза Ходжа верна для .${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{1}(X)}$${\displaystyle X}$

По сильной и слабой теореме Лефшеца единственная нетривиальная часть гипотезы Ходжа для гиперповерхностей — это часть степени m (т. е. средние когомологии) 2 m -мерной гиперповерхности . Если степень d равна 2, т. е. X — квадрика , гипотеза Ходжа верна для всех m . Для , т. е. четырехмерных многообразий, гипотеза Ходжа известна для . ^[2]${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle d\leq 5}$

Для большинства абелевых многообразий алгебра Hdg*( X ) порождается в степени один, поэтому гипотеза Ходжа верна. В частности, гипотеза Ходжа верна для достаточно общих абелевых многообразий, для произведений эллиптических кривых и для простых абелевых многообразий простой размерности. ^{[3] [4] [5]} Однако Мамфорд (1969) построил пример абелева многообразия, где Hdg ² ( X ) не порождается произведениями классов дивизоров. Вайль (1977) обобщил этот пример, показав, что всякий раз, когда многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле , то Hdg ² ( X ) не порождается произведениями классов дивизоров. Мунен и Зархин (1999) доказали, что в размерности меньше 5 либо Hdg*( X ) порождается в степени один, либо многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле. В последнем случае гипотеза Ходжа известна только в особых случаях.

Первоначальная гипотеза Ходжа была следующей:

Интегральная гипотеза Ходжа. Пусть X — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в является классом когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X.${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Теперь известно, что это ложно. Первый контрпример был построен Атья и Хирцебрухом (1961). Используя K-теорию , они построили пример класса когомологий кручения, то есть класса когомологий α, такого, что nα  = 0 для некоторого положительного целого числа n , который не является классом алгебраического цикла. Такой класс обязательно является классом Ходжа. Тотаро (1997) переосмыслил их результат в рамках кобордизма и нашел много примеров таких классов.

Простейшая корректировка интегральной гипотезы Ходжа выглядит так:

Интегральная гипотеза Ходжа по модулю кручения. Пусть X — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в является суммой класса кручения и класса когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X.${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Эквивалентно, после деления на классы кручения, каждый класс является образом класса когомологий целого алгебраического цикла. Это также неверно. Коллар (1992) нашел пример класса Ходжа α , который не является алгебраическим, но имеет целое кратное, которое является алгебраическим.${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Розеншон и Шринивас (2016) показали, что для получения правильной интегральной гипотезы Ходжа необходимо заменить группы Чжоу, которые также могут быть выражены как группы мотивных когомологий , вариантом, известным как étale (или Lichtenbaum ) мотивные когомологии . Они показывают, что рациональная гипотеза Ходжа эквивалентна интегральной гипотезе Ходжа для этой модифицированной мотивной когомологии.

Естественным обобщением гипотезы Ходжа будет вопрос:

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, наивная версия. Пусть X — комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X.

Это слишком оптимистично, потому что не существует достаточного количества подвидов, чтобы это сработало. Возможная замена — задать один из двух следующих вопросов:

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, версия векторного расслоения. Пусть X — комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Черна векторных расслоений на X.

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, версия когерентного пучка. Пусть X — комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Черна когерентных пучков на X.

Voisin (2002) доказал, что классы Черна когерентных пучков дают строго больше классов Ходжа, чем классы Черна векторных расслоений, и что классы Черна когерентных пучков недостаточны для генерации всех классов Ходжа. Следовательно, единственные известные формулировки гипотезы Ходжа для кэлеровых многообразий ложны.

Ходж выдвинул дополнительную, более сильную гипотезу, чем интегральная гипотеза Ходжа. Скажем, что класс когомологий на X имеет коуровень c (coniveau c), если он является прямым прогоном класса когомологий на c -коразмерном подмногообразии X. Классы когомологий коуровня по крайней мере c фильтруют когомологии X , и легко видеть, что c -й шаг фильтрации N ^c H ^k ( X , Z ) удовлетворяет

${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Первоначальное заявление Ходжа было следующим:

Обобщенная гипотеза Ходжа, версия Ходжа. ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Гротендик (1969) заметил, что это не может быть правдой, даже с рациональными коэффициентами, поскольку правая сторона не всегда является структурой Ходжа. Его исправленная форма гипотезы Ходжа такова:

Обобщенная гипотеза Ходжа. N ^c H ^k ( X , Q ) — это наибольшая суб-структура Ходжа H ^k ( X , Z ), содержащаяся в${\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).}$

Эта версия открытая.

Самым сильным доказательством в пользу гипотезы Ходжа является результат об алгебраичности Каттани, Делиня и Каплана (1995). Предположим, что мы изменяем комплексную структуру X над односвязной базой. Тогда топологические когомологии X не меняются, но разложение Ходжа меняется. Известно, что если гипотеза Ходжа верна, то геометрическое место всех точек на базе, где когомологии волокна являются классом Ходжа, на самом деле является алгебраическим подмножеством, то есть оно вырезается полиномиальными уравнениями. Каттани, Делиня и Каплана (1995) доказали, что это всегда верно, без предположения гипотезы Ходжа.

• гипотеза Тейта
• теория Ходжа
• Структура Ходжа
• Период картирования

• Атья, М. Ф.; Хирцебрух , Ф. (1961), «Аналитические циклы на комплексных многообразиях», Топология , 1 : 25–45, doi :10.1016/0040-9383(62)90094-0Доступно в коллекции Хирцебруха (pdf).
• Каттани, Эдуардо; Делинь, Пьер ; Каплан, Арольдо (1995), «О геометрическом месте классов Ходжа», Журнал Американского математического общества , 8 (2): 483–506, arXiv : alg-geom/9402009 , doi : 10.2307/2152824, JSTOR  2152824, MR  1273413.
• Гротендик, А. (1969), «Общая гипотеза Ходжа ложна по тривиальным причинам», Топология , 8 (3): 299–303, doi : 10.1016/0040-9383(69)90016-0.
• Ходж, WVD (1950), «Топологические инварианты алгебраических многообразий», Труды Международного конгресса математиков , 1 , Кембридж, Массачусетс: 181–192.
• Коллар, Янош (1992), «Примеры Тренто», в Баллико, Э.; Катанезе, Ф.; Силиберто, К. (ред.), Классификация неправильных многообразий , Конспект лекций по математике, том. 1515, Спрингер, с. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (на французском языке), Париж: Готье-ВилларсПерепечатано в Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, МР  0299447.
• Мунен, Бен Джей-Джей; Зархин, Юрий Г. (1999), «Классы Ходжа абелевых многообразий низкой размерности», Mathematische Annalen , 315 (4): 711–733, arXiv : math/9901113 , doi : 10.1007/s002080050333, MR  1731466, S2CID  119180172.
• Мамфорд, Дэвид (1969), «Заметка о статье Шимуры «Разрывные группы и абелевы многообразия»», Mathematische Annalen , 181 (4): 345–351, doi :10.1007/BF01350672, S2CID  122062924.
• Розеншон, Андреас; Сринивас, В. (2016), «Этальные мотивные когомологии и алгебраические циклы» (PDF) , Журнал Института математики Жюссье , 15 (3): 511–537, doi : 10.1017/S1474748014000401, MR  3505657, S2CID  55560040, Збл  1346.19004
• Тотаро, Берт (1997), «Прямые алгебраические циклы и комплексные кобордизмы», Журнал Американского математического общества , 10 (2): 467–493, arXiv : alg-geom/9609016 , doi : 10.1090/S0894-0347-97-00232-4, JSTOR  2152859, S2CID  16965164.
• Voisin, Claire (2002), «Контрпример к гипотезе Ходжа, распространенной на кэлеровы многообразия», International Mathematics Research Notices , 2002 (20): 1057–1075, doi : 10.1155/S1073792802111135 , MR  1902630, S2CID  55572794.
• Вайль, Андре (1977), «Абелевы многообразия и кольцо Ходжа», Сборник статей , т. III, стр. 421–429
• Цукер, Стивен (1977), «Гипотеза Ходжа для кубических четырехмерных многообразий», Compositio Mathematica , 34 (2): 199–209, MR  0453741

• Делинь, Пьер . «Гипотеза Ходжа» (PDF) (официальное описание задачи Института математики Клэя).
• Популярная лекция о гипотезе Ходжа Дэна Фрида (Техасский университет) (реальное видео) Архивировано 22.12.2015 на Wayback Machine (слайды)
• Бисвас, Индранил ; Паранджапе, Капил Хари (2002), «Гипотеза Ходжа для общих многообразий Прима», Журнал алгебраической геометрии , 11 (1): 33–39, arXiv : math/0007192 , doi :10.1090/S1056-3911-01-00303-4, MR  1865912, S2CID  119139470
• Берт Тотаро , Почему стоит верить в гипотезу Ходжа?
• Клэр Вуазен , Hodge loci