Теорема Лефшеца о (1,1)-классах

В алгебраической геометрии , разделе математики , теорема Лефшеца о (1,1)-классах , названная в честь Соломона Лефшеца , является классическим утверждением, связывающим голоморфные линейные расслоения на компактном кэлеровом многообразии с классами в его интегральных когомологиях . Это единственный случай гипотезы Ходжа , который был доказан для всех кэлеровых многообразий. ^[1]

Пусть X — компактное кэлерово многообразие. Первый класс Черна c ₁ задаёт отображение голоморфных линейных расслоений в H ² ( X , Z ) . По теории Ходжа группа когомологий де Рама H ² ( X , C ) разлагается в прямую сумму H ^0,2 ( X ) ⊕ H ^1,1 ( X ) ⊕ H ^2,0 ( X ) , и можно доказать, что образ c ₁ лежит в H ^1,1 ( X ) . Теорема утверждает, что отображение в H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) сюръективно.

В частном случае, когда X — проективное многообразие , голоморфные линейные расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с классом линейных эквивалентностей дивизоров , и если задан дивизор D на X с ассоциированным линейным расслоением O(D) , класс c ₁ ( O(D) ) является двойственным по Пуанкаре классу гомологии, заданному D. Таким образом, это устанавливает обычную формулировку гипотезы Ходжа для дивизоров в проективных многообразиях.

Первоначальное доказательство Лефшеца ^[2] работало на проективных поверхностях и использовало нормальные функции, которые были введены Пуанкаре. Предположим, что C _t — пучок кривых на X . Каждая из этих кривых имеет якобианское многообразие JC _t (если кривая сингулярна, то существует соответствующее обобщенное якобианское многообразие). Их можно собрать в семейство , якобиан пучка, который поставляется с проекционным отображением π на базу T пучка. Нормальная функция — это (голоморфное) сечение π.${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

Зафиксируем вложение X в P ^N и выберем пучок кривых C _t на X. Для фиксированной кривой Γ на X пересечение Γ и C _t является дивизором p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) на C _t , где d — степень X . Зафиксируем базовую точку p ₀ пучка. Тогда дивизор p ₁ ( t ) + ... + p _d ( t ) − dp ₀ является дивизором нулевой степени и, следовательно, определяет класс ν _Γ ( t ) в якобиане JC _t для всех t . Отображение из t в ν _Γ ( t ) является нормальной функцией.

Анри Пуанкаре доказал, что для общего пучка кривых все нормальные функции возникают как ν _Γ ( t ) для некоторого выбора Γ. Лефшец доказал, что любая нормальная функция определяет класс в H ² ( X , Z ) и что класс ν _Γ является фундаментальным классом Γ. Более того, он доказал, что класс в H ² ( X , Z ) является классом нормальной функции тогда и только тогда, когда он лежит в H ^1,1 . Вместе с теоремой существования Пуанкаре это доказывает теорему о (1,1)-классах.

Поскольку X является комплексным многообразием, оно допускает экспоненциальную последовательность пучков ^[3]

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbf {Z} }}{\stackrel {2\pi i}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{\stackrel {\operatorname {exp} }{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Взятие пучковых когомологий этой точной последовательности дает карты

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }){\stackrel {c_{1}}{\to }}H^{2}(X,\mathbf {Z} ){\stackrel {i_{*}}{\to }}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}).}$

Группа Pic X линейных расслоений на X изоморфна . Первое отображение классов Черна равно c ₁ по определению, поэтому достаточно показать, что равно нулю на H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) .${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$${\displaystyle i_{*}}$

Поскольку X является кэлеровым, теория Ходжа подразумевает, что . Однако, факторизует отображение из H ² ( X , Z ) в H ² ( X , C ) и на H ² ( X , C ), является ограничением проекции на H ^0,2 ( X ). Из этого следует, что оно равно нулю на H ² ( X , Z ) ∩ H ^1,1 ( X ) , и, следовательно, отображение класса циклов сюръективно. ^[4]${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})\cong H^{0,2}(X)}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle i_{*}}$

• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523
• Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (на французском языке), Париж: Готье-ВилларсПерепечатано в Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, МР  0299447