Метрика Фубини–Исследования

В математике метрика Фубини–Штуди (IPA: /fubini-ʃtuːdi/) — это кэлерова метрика на комплексном проективном пространстве CP ^{n ,} наделённом эрмитовой формой . Эта метрика была первоначально описана в 1904 и 1905 годах Гвидо Фубини и Эдуардом Штуди . ^{[1] [2]}

Эрмитова форма в (векторном пространстве) C ^{n +1} определяет унитарную подгруппу U( n +1) в GL( n +1, C ). Метрика Фубини–Штуди определяется с точностью до гомотетии (общего масштабирования) инвариантностью относительно такого действия U( n +1); таким образом, она однородна . Оснащенное метрикой Фубини–Штуди, CP ⁿ является симметричным пространством . Конкретная нормализация метрики зависит от приложения. В римановой геометрии используется нормализация, так что метрика Фубини–Штуди просто соотносится со стандартной метрикой на (2 n +1)-сфере . В алгебраической геометрии используется нормализация, делающая CP ⁿ многообразием Ходжа .

Метрика Фубини–Штуди естественным образом возникает в конструкции факторпространства комплексного проективного пространства .

В частности, можно определить CP ⁿ как пространство, состоящее из всех комплексных прямых в C ^{n +1} , т.е. фактор C ^{n +1} \{0} по отношению эквивалентности, связывающему все комплексные кратные каждой точки вместе. Это согласуется с фактором по диагональному групповому действию мультипликативной группы C ^*  =  C  \ {0}:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

Это отношение реализует C ^{n +1} \{0} как комплексное линейное расслоение над базовым пространством CP ⁿ . (На самом деле это так называемое тавтологическое расслоение над CP ⁿ .) Таким образом, точка CP ⁿ отождествляется с классом эквивалентности ( n +1)-кортежей [ Z ₀ ,..., Z _n ] по модулю ненулевого комплексного масштабирования; Z _i называются однородными координатами точки.

Более того, можно реализовать это факторное отображение в два этапа: поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр ^{z = Re iθ} можно  однозначно  рассматривать  как композицию растяжения по модулю R с последующим поворотом против часовой стрелки вокруг начала координат на угол , факторное отображение C ^{n +1}  →  CP ⁿ распадается на две части.${\displaystyle \тета}$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {( б)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}$

где шаг (a) — это частное по дилатации Z  ~  R Z для R  ∈  R ⁺ , мультипликативной группе положительных действительных чисел , а шаг (b) — это частное по вращениям Z  ~  e ^iθ Z .

Результатом частного в (a) является вещественная гиперсфера S ^{2 n +1 ,} определяемая уравнением | Z | ² = | Z ₀ | ²  + ... + | Z _n | ²  = 1. Частное в (b) реализует CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹ , где S 1 ^{представляет} собой группу вращений. Это частное реализуется явно известным расслоением Хопфа S ¹  →  S ^{2 n +1}  →  CP ⁿ , слои которого находятся среди больших окружностей .${\displaystyle S^{2n+1}}$

Когда фактор берется из риманова многообразия (или метрического пространства в целом), необходимо позаботиться о том, чтобы факторпространство было снабжено метрикой , которая хорошо определена. Например, если группа G действует на римановом многообразии ( X , g ), то для того, чтобы пространство орбит X / G обладало индуцированной метрикой, должно быть постоянным вдоль G -орбит в том смысле, что для любого элемента h  ∈  G и пары векторных полей мы должны иметь g ( Xh , Yh ) =  g ( X , Y ).${\displaystyle г}$${\displaystyle X,Y}$

Стандартная эрмитова метрика на C ^{n +1} задается в стандартном базисе как

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\ cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}$

чьей реализацией является стандартная евклидова метрика на R ^{2 n +2} . Эта метрика не инвариантна относительно диагонального действия C ^* , поэтому мы не можем напрямую протолкнуть ее вниз до CP ⁿ в факторе. Однако эта метрика инвариантна относительно диагонального действия S ¹  = U(1), группы вращений. Следовательно, шаг (b) в приведенной выше конструкции возможен после выполнения шага (a).

Метрика Фубини –Штуди — это метрика, индуцированная на частном CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹ , где несет так называемую «круглую метрику», наделенную на нее ограничением стандартной евклидовой метрики на единичную гиперсферу.${\displaystyle S^{2n+1}}$

Точке в CP ⁿ с однородными координатами соответствует единственный набор из n координат, такой что${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]}$${\displaystyle (z_{1},\dots,z_{n})}$

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

при условии ; в частности, . Образуют аффинную систему координат для CP ⁿ в координатном фрагменте . Можно разработать аффинную систему координат в любом из координатных фрагментов, разделив вместо этого на очевидным образом. n +1 координатных фрагментов покрывают CP ⁿ , и можно явно задать метрику в терминах аффинных координат на . Координатные производные определяют фрейм голоморфного касательного расслоения CP ⁿ , в терминах которого метрика Фубини–Штуди имеет эрмитовы компоненты${\displaystyle Z_{0}\neq 0}$${\displaystyle z_{j}=Z_{j}/Z_{0}}$${\displaystyle (z_{1},\dots,z_{n})}$${\displaystyle U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}}$${\displaystyle U_{i}=\{Z_{i}\neq 0\}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle (z_{1},\dots,z_{n})}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.}$

где | z | ²  = | z ₁ | ²  + ... + | z _n | ² . То есть эрмитова матрица метрики Фубини–Штуди в этой системе отсчета равна

${\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$

Обратите внимание, что каждый элемент матрицы является унитарно-инвариантным: диагональное действие оставит эту матрицу неизменной.${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$

Соответственно, элемент линии задается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

В этом последнем выражении соглашение о суммировании используется для суммирования по латинским индексам i , j, которые находятся в диапазоне от 1 до  n .

Метрику можно вывести из следующего потенциала Кэлера : ^[3]

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}$

как

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}$

Выражение также возможно в обозначении однородных координат , обычно используемых для описания проективных многообразий алгебраической геометрии : Z  = [ Z ₀ :...: Z _n ]. Формально, при условии соответствующей интерпретации используемых выражений, можно иметь

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Здесь соглашение о суммировании используется для суммирования по греческим индексам α β в диапазоне от 0 до n , а в последнем равенстве используется стандартное обозначение для косой части тензора:

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$

Теперь это выражение для d s ² , по-видимому, определяет тензор на всем пространстве тавтологического расслоения C ^{n +1} \{0}. Его следует правильно понимать как тензор на CP ⁿ , вытягивая его назад вдоль голоморфного сечения σ тавтологического расслоения CP ⁿ . Остается затем проверить, что значение вытягивания не зависит от выбора сечения: это можно сделать прямым вычислением.

Форма Кэлера этой метрики:

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}$

где — операторы Дольбо . Обратный путь этого явно не зависит от выбора голоморфного сечения. Величина log| Z | ² — это кэлеров потенциал (иногда называемый кэлеровым скаляром) CP ⁿ .${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$

В квантовой механике метрика Фубини–Штуди также известна как метрика Буреса . ^[4] Однако метрика Буреса обычно определяется в обозначениях смешанных состояний , тогда как изложение ниже записано в терминах чистого состояния . Действительная часть метрики — это (четверть) информационной метрики Фишера . ^[4]

Метрику Фубини–Штуди можно записать с использованием нотации скобок, обычно используемой в квантовой механике . Чтобы явно приравнять эту нотацию к однородным координатам, приведенным выше, пусть

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

где — набор ортонормированных базисных векторов для гильбертова пространства , — комплексные числа, а — стандартное обозначение точки в проективном пространстве CP ⁿ в однородных координатах . Тогда для двух точек и в пространстве расстояние (длина геодезической) между ними равно${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$ ${\displaystyle Z_{k}}$${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$${\displaystyle \vert \varphi \rangle =W_{\alpha }}$

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}$

или, что эквивалентно, в проективной нотации многообразия,

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}$

Здесь — комплексно сопряженное число . Появление в знаменателе напоминает, что и также не были нормализованы к единичной длине; таким образом, нормализация здесь выражена явно. В гильбертовом пространстве метрику можно интерпретировать как угол между двумя векторами; поэтому ее иногда называют квантовым углом . Угол имеет действительное значение и изменяется от 0 до .${\displaystyle {\bar {Z}}^{\alpha }}$${\displaystyle Z_{\alpha }}$${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \varphi \rangle }$${\displaystyle \pi /2}$

Бесконечно малую форму этой метрики можно быстро получить, взяв , или, что эквивалентно, получить${\displaystyle \varphi =\psi +\delta \psi }$${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

В контексте квантовой механики CP 1 ^{называется} сферой Блоха ; метрика Фубини–Штуди является естественной метрикой для геометризации квантовой механики. Многие особенности поведения квантовой механики, включая квантовую запутанность и эффект фазы Берри , можно отнести к особенностям метрики Фубини–Штуди.

При n = 1 существует диффеоморфизм, заданный стереографической проекцией . Это приводит к «специальному» расслоению Хопфа S ¹  →  S ³  →  S ² . Когда метрика Фубини–Штуди записана в координатах на CP ¹ , ее ограничение на вещественное касательное расслоение дает выражение обычной «круглой метрики» радиуса 1/2 (и гауссовой кривизны 4) на S ² .${\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}$

А именно, если z  =  x  + i y — стандартная аффинная координатная карта на сфере Римана CP ¹ и x  =  r  cos θ, y  =  r  sin θ — полярные координаты на C , то обычное вычисление показывает

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

где — круговая метрика на единичной 2-сфере. Здесь φ, θ — « сферические координаты математика » на S ^{2 ,} получаемые из стереографической проекции r  tan(φ/2) = 1, tan θ =  y / x . (Во многих физических справочниках роли φ и θ меняются местами.)${\displaystyle ds_{us}^{2}}$

Форма Кэлера — это

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}$

Выбрав в качестве vierbeins и , форма Кэлера упрощается до${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

Применяя звезду Ходжа к форме Кэлера, получаем

${\displaystyle *K=1}$

подразумевая, что K является гармоническим .

Метрика Фубини–Штуди на комплексной проективной плоскости CP ² была предложена как гравитационный инстантон , гравитационный аналог инстантона . [ ^{5] [3]} Метрика, форма связи и кривизна легко вычисляются, как только устанавливаются подходящие действительные 4D-координаты. Записывая для действительных декартовых координат, затем определяют полярные координатные формы на 4-сфере ( кватернионная проективная прямая ) как${\displaystyle (x,y,z,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

Являются стандартной левоинвариантной одноформной системой координат на группе Ли ; то есть они подчиняются и циклическим перестановкам.${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

Соответствующие локальные аффинные координаты и затем обеспечивают${\displaystyle z_{1}=x+iy}$${\displaystyle z_{2}=z+it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}}$

с обычными сокращениями и .${\displaystyle dr^{\,2}=dr\otimes dr}$${\displaystyle \sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

Элемент строки, начинающийся с ранее данного выражения, задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

В последнем выражении можно сразу же прочитать vierbeins :

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

То есть в системе координат Вирбейна, использующей римские буквы в нижнем индексе, метрический тензор является евклидовым:

${\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

Учитывая вирбейн, можно вычислить спиновую связь ; спиновая связь Леви-Чивиты является единственной связью, которая не имеет кручения и ковариантно постоянна, а именно, это одна форма , которая удовлетворяет условию отсутствия кручения${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

и является ковариантно постоянной, что для спиновых связей означает, что она антисимметрична по индексам Вирбейна:

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

Вышеуказанное легко решается; получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

Форма кривизны 2 определяется как

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

и является постоянной:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

Тензор Риччи в индексах Вейрбейна определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

где кривизна 2-формы была разложена как четырехкомпонентный тензор:

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

Результирующий тензор Риччи является постоянным

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

так что полученное уравнение Эйнштейна

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

можно решить с помощью космологической постоянной .${\displaystyle \Lambda =6}$

Тензор Вейля для метрик Фубини–Штуди в общем случае определяется выражением

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

Для случая n  = 2 двумерные формы

${\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

являются самодвойственными:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

В частном случае n = 1 метрика Фубини–Штуди имеет постоянную секционную кривизну, тождественно равную 4, согласно эквивалентности с круглой метрикой 2-сферы (которая при заданном радиусе R имеет секционную кривизну ). Однако при n > 1 метрика Фубини–Штуди не имеет постоянной кривизны. Ее секционная кривизна вместо этого задается уравнением ^[6]${\displaystyle 1/R^{2}}$

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

где — ортонормированный базис 2-плоскости σ, отображение J  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿ — комплексная структура на CP ⁿ , а — метрика Фубини–Штуди.${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Следствием этой формулы является то, что секционная кривизна удовлетворяет для всех 2-плоскостей . Максимальная секционная кривизна (4) достигается в голоморфной 2-плоскости — той, для которой J (σ) ⊂ σ — в то время как минимальная секционная кривизна (1) достигается в 2-плоскости, для которой J (σ) ортогонален σ. По этой причине часто говорят, что метрика Фубини–Штуди имеет «постоянную голоморфную секционную кривизну», равную 4.${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$${\displaystyle \sigma }$

Это делает CP ⁿ (нестрогим) четвертьзащемленным многообразием ; известная теорема показывает, что строго четвертьзащемленное односвязное n -многообразие должно быть гомеоморфно сфере.

Метрика Фубини–Штуди также является метрикой Эйнштейна , поскольку она пропорциональна своему собственному тензору Риччи : существует константа , такая, что для всех i , j мы имеем${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

Это подразумевает, среди прочего, что метрика Фубини–Штуди остается неизменной вплоть до скалярного множителя под потоком Риччи . Это также делает CP ⁿ незаменимым для общей теории относительности , где он служит нетривиальным решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна .

Космологическая постоянная для CP ⁿ задается через размерность пространства:${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

Общие понятия отделимости применимы к метрике Фубини–Штуди. Точнее, метрика отделима на натуральном произведении проективных пространств, вложении Сегре . То есть, если является отделимым состоянием , так что его можно записать как , то метрика является суммой метрики на подпространствах:${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

где и — метрики соответственно на подпространствах A и B.${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$

Тот факт, что метрику можно вывести из потенциала Кэлера, означает, что символы Кристоффеля и тензоры кривизны содержат много симметрий и могут быть представлены в особенно простой форме: ^[7] Символы Кристоффеля в локальных аффинных координатах задаются как

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

Тензор Римана также особенно прост:

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

Тензор Риччи — это

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

• Нелинейная сигма-модель
• Теория Калуцы–Клейна
• Аракелов высота

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN. 978-3-540-15279-8
• Броди, Д. К.; Хьюстон, Л. П. (2001), «Геометрическая квантовая механика», Журнал геометрии и физики , 38 (1): 19–53, arXiv : quant-ph/9906086 , Bibcode : 2001JGP....38...19B, doi : 10.1016/S0393-0440(00)00052-8, S2CID  17580350
• Гриффитс, П.; Харрис , Дж. (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, стр. 30–31, ISBN 0-471-05059-8
• Онищик, АЛ (2001) [1994], "Метрика Фубини–Студи", Энциклопедия математики , Издательство EMS.