Квадратное поле

В алгебраической теории чисел квадратичное поле — это алгебраическое числовое поле степени два над рациональными числами .${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Каждое такое квадратичное поле является некоторым , где является (однозначно определенным) целым числом без квадратов, отличным от и . Если , соответствующее квадратичное поле называется действительным квадратичным полем , а если , оно называется мнимым квадратичным полем или комплексным квадратичным полем , в зависимости от того, является ли оно подполем поля действительных чисел .${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle д}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle д>0}$${\displaystyle d<0}$

Квадратичные поля были изучены очень глубоко, первоначально как часть теории бинарных квадратичных форм . Остаются некоторые нерешенные проблемы. Проблема числа классов особенно важна.

Для ненулевого свободного от квадратов целого числа дискриминант квадратичного поля равен , если сравнимо по модулю , а в противном случае . Например, если равно , то есть поле гауссовых рациональных чисел , а дискриминант равен . Причина такого различия в том, что кольцо целых чисел порождается в первом случае и во втором случае.${\displaystyle д}$${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle д}$${\displaystyle д}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4d}$${\displaystyle д}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle К}$${\displaystyle -4}$${\displaystyle К}$${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Набор дискриминантов квадратичных полей — это в точности набор фундаментальных дискриминантов (за исключением , который является фундаментальным дискриминантом, но не дискриминантом квадратичного поля).${\displaystyle 1}$

Любое простое число порождает идеал в кольце целых чисел квадратичного поля . В соответствии с общей теорией расщепления простых идеалов в расширениях Галуа , это может быть ^[1]${\displaystyle p}$${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle К}$

${\displaystyle p}$инертен​

${\displaystyle (п)}$является высшим идеалом.

Фактор-кольцо — это конечное поле с элементами: .${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle p}$ расколы

${\displaystyle (п)}$является произведением двух различных простых идеалов .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Факторное кольцо — это произведение .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle p}$разветвленный​

${\displaystyle (п)}$является квадратом простого идеала .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Фактор-кольцо содержит ненулевые нильпотентные элементы.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда делит дискриминант . Первый и второй случаи происходят, когда символ Кронекера равен и , соответственно. Например, если — нечетное простое число, не делящееся , то делит тогда и только тогда, когда оно сравнимо с квадратом по модулю . Первые два случая, в определенном смысле, с равной вероятностью могут возникнуть при пробеге простых чисел — см. теорему Чеботарева о плотности . ^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D/p)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Закон квадратичной взаимности подразумевает, что поведение расщепления простого числа в квадратичном поле зависит только от модуля , где — дискриминант поля.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

Определение группы классов квадратичного расширения поля может быть выполнено с использованием границы Минковского и символа Кронекера из-за конечности группы классов . ^[3] Квадратичное поле имеет дискриминант , поэтому граница Минковского равна ^[4]${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$$${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

Тогда группа классов идеалов порождается простыми идеалами, норма которых меньше . Это можно сделать, посмотрев на разложение идеалов для простого числа , где ^{[1] стр. 72} Эти разложения можно найти с помощью теоремы Дедекинда–Куммера .${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

Классический пример построения квадратичного поля — взять уникальное квадратичное поле внутри кругового поля, порожденного примитивным корнем th из единицы, с нечетным простым числом. Уникальность является следствием теории Галуа , поскольку существует уникальная подгруппа индекса в группе Галуа над . Как объяснено в периоде Гаусса , дискриминант квадратичного поля равен для и для . Это также можно предсказать из достаточной теории ветвления . Фактически, является единственным простым числом, которое разветвляется в круговом поле, поэтому является единственным простым числом, которое может делить дискриминант квадратичного поля. Это исключает «другие» дискриминанты и в соответствующих случаях.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=4n+1}$${\displaystyle -p}$${\displaystyle p=4n+3}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -4p}$${\displaystyle 4p}$

Если взять другие циклотомические поля, то они имеют группы Галуа с дополнительным -кручением, поэтому содержат по крайней мере три квадратичных поля. В общем случае квадратичное поле дискриминанта поля может быть получено как подполе циклотомического поля -х корней из единицы. Это выражает тот факт, что проводник квадратичного поля является абсолютным значением его дискриминанта, частный случай формулы проводник-дискриминант .${\displaystyle 2}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

В следующей таблице показаны некоторые порядки малых дискриминантов квадратичных полей. Максимальный порядок поля алгебраических чисел — это его кольцо целых чисел , а дискриминант максимального порядка — это дискриминант поля. Дискриминант немаксимального порядка — это произведение дискриминанта соответствующего максимального порядка на квадрат определителя матрицы, выражающей базис немаксимального порядка по базису максимального порядка. Все эти дискриминанты можно определить по формуле Дискриминант поля алгебраических чисел § Определение .

Для действительных квадратичных целочисленных колец идеальное число класса , которое измеряет неудачу уникальной факторизации, приведено в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.

Заказ	Дискриминант	Номер класса	Единицы	Комментарии
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$	${\displaystyle -20}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	Идеальные классы ,${\displaystyle (1)}$${\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-19}})/2\right]}$	${\displaystyle -19}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Основная идеальная область , не евклидова
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[2{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -16}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Немаксимальный порядок
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-15}})/2\right]}$	${\displaystyle -15}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	Идеальные классы ,${\displaystyle (1)}$${\displaystyle (1,(1+{\sqrt {-15}})/2)}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]}$	${\displaystyle -12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Немаксимальный порядок
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-11}})/2\right]}$	${\displaystyle -11}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Евклидов
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-2}}\right]}$	${\displaystyle -8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Евклидов
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-7}})/2\right]}$	${\displaystyle -7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	Целые числа Клейна
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,\pm i}$(циклический порядка )${\displaystyle 4}$	Гауссовы целые числа
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-3}})/2\right]}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})/2}$.	Целые числа Эйзенштейна
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-21}}\right]}$	${\displaystyle -84}$	${\displaystyle 4}$		Группа классов нециклическая:${\displaystyle (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {5}})/2\right]}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ((1+{\sqrt {5}})/2)^{n}}$(норма )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {2}}\right]}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (1+{\sqrt {2}})^{n}}$(норма )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {3}}\right]}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (2+{\sqrt {3}})^{n}}$(норма )${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {13}})/2\right]}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ((3+{\sqrt {13}})/2)^{n}}$(норма )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {17}})/2\right]}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (4+{\sqrt {17}})^{n}}$(норма )${\displaystyle (-1)^{n}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {5}}\right]}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}}$(норма )${\displaystyle (-1)^{n}}$	Немаксимальный порядок

Некоторые из этих примеров приведены в книге Артина «Алгебра» (2-е изд.), §13.8.

• Бьюэлл, Дункан (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1Глава 6.
• Сэмюэл, Пьер (1972), Алгебраическая теория чисел (издание в твердом переплете), Париж/Бостон: Hermann/Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
  • Сэмюэл, Пьер (2008), Алгебраическая теория чисел (мягкая обложка), Довер, ISBN 978-0-486-46666-8
• Стюарт, ИН ; Толл, Д.О. (1979), Алгебраическая теория чисел , Чепмен и Холл, ISBN 0-412-13840-9Глава 3.1.

• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратичное поле". MathWorld .
• «Квадратичное поле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]