Существование Янга-Миллса и разрыв масс

Проблема Премии Тысячелетия
Millennium Prize Problems

Проблема существования и разрыва масс Янга–Миллса является нерешённой проблемой математической физики и математики и одной из семи проблем Премии тысячелетия, определённых Математическим институтом Клэя , который предложил премию в размере 1 000 000 долларов США за её решение.

Проблема формулируется следующим образом: [1]

Существование Янга–Миллса и массовая щель. Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G существует нетривиальная квантовая теория Янга–Миллса с массовой щелью Δ > 0. Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые указаны в работах Стритера и Вайтмана (1964), Остервальдера и Шрадера (1973) и Остервальдера и Шрадера (1975). R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

В этом утверждении квантовая теория Янга–Миллса представляет собой неабелеву квантовую теорию поля, подобную той, которая лежит в основе Стандартной модели физики элементарных частиц ; представляет собой евклидово 4-мерное пространство ; разрыв масс Δ представляет собой массу наименее массивной частицы, предсказываемую теорией. R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

Поэтому победитель должен доказать, что:

Например, в случае G=SU(3) — сильного ядерного взаимодействия — победитель должен доказать, что глюболы имеют нижнюю границу массы и, следовательно, не могут быть произвольно легкими.

Известно, что общая задача определения наличия спектральной щели в системе неразрешима . [4] [5]

Фон

[...] пока нет математически полного примера квантовой калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени , и даже точного определения квантовой калибровочной теории в четырех измерениях. Изменится ли это в 21 веке? Мы надеемся, что да!

—  Из официального описания проблемы Института Клэя, составленного Артуром Джаффе и Эдвардом Виттеном .

Задача требует построения КТП, удовлетворяющей аксиомам Уайтмана и показывающей существование массового зазора. Обе эти темы описаны в разделах ниже.

Аксиомы Уайтмана

Проблема тысячелетия требует, чтобы предложенная теория Янга–Миллса удовлетворяла аксиомам Уайтмана или аналогичным строгим аксиомам. [1] Существует четыре аксиомы:

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Квантовая механика описывается по фон Нейману ; в частности, чистые состояния задаются лучами, т. е. одномерными подпространствами некоторого сепарабельного комплексного гильбертова пространства .

Аксиомы Уайтмана требуют, чтобы группа Пуанкаре действовала унитарно в гильбертовом пространстве. Другими словами, они имеют зависящие от положения операторы, называемые квантовыми полями , которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре .

Группа пространственно-временных трансляций коммутативна , и поэтому операторы могут быть одновременно диагонализированы. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженных оператора , , которые преобразуются под действием однородной группы как четырехвектор , называемый четырехвектором энергии-импульса . P j , j = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle P_{j},j=0,1,2,3}

Вторая часть нулевой аксиомы Уайтмана заключается в том, что представление U ( a , A ) удовлетворяет спектральному условию — что одновременный спектр энергии-импульса содержится в прямом конусе:

P 0 ≥ 0 , P 0 2 − P j P j ≥ 0. {\displaystyle P_{0}\geq 0,\;\;\;\;P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}

Третья часть аксиомы заключается в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия группы Пуанкаре. Оно называется вакуумом.

W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)

Для каждой тестовой функции f существует набор операторов , которые вместе со своими сопряженными определены на плотном подмножестве пространства состояний Гильберта, содержащем вакуум. Поля A являются операторно-значными темперированными распределениями . Пространство состояний Гильберта охватывается полевыми полиномами, действующими на вакуум (условие цикличности). A 1 ( f ) , … , A n ( f ) {\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны относительно действия группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы Лоренца , или SL(2, C ), если спин не является целым числом:

U ( a , L ) † A ( x ) U ( a , L ) = S ( L ) A ( L − 1 ( x − a ) ) . {\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).}
W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если носители двух полей пространственно разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.

Цикличность вакуума и уникальность вакуума иногда рассматриваются отдельно. Также существует свойство асимптотической полноты — то, что гильбертово пространство состояний охватывается асимптотическими пространствами и , появляющимися в матрице столкновений S . Другим важным свойством теории поля является массовый зазор , который не требуется аксиомами — то, что спектр энергии-импульса имеет зазор между нулем и некоторым положительным числом. H i n {\displaystyle H^{in}} H o u t {\displaystyle H^{out}}

Массовый разрыв

В квантовой теории поля разрыв массы — это разница в энергии между вакуумом и следующим самым низким энергетическим состоянием . Энергия вакуума равна нулю по определению, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, разрыв массы — это масса самой легкой частицы.

Для данного реального поля можно сказать, что теория имеет массовую щель, если двухточечная функция обладает свойством ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)}

⟨ ϕ ( 0 , t ) ϕ ( 0 , 0 ) ⟩ ∼ ∑ n A n exp ⁡ ( − Δ n t ) {\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}

с наименьшим значением энергии в спектре гамильтониана и, следовательно, массовой щели. Эта величина, легко обобщаемая на другие поля, является тем, что обычно измеряется в решеточных вычислениях. Таким образом было доказано, что теория Янга–Миллса развивает массовую щель на решетке. [6] [7] Δ 0 > 0 {\displaystyle \Delta _{0}>0}

Важность теории Янга–Миллса

Большинство известных и нетривиальных (т.е. взаимодействующих) квантовых теорий поля в 4 измерениях являются эффективными полевыми теориями с масштабом обрезания . Поскольку бета-функция положительна для большинства моделей, похоже, что большинство таких моделей имеют полюс Ландау , поскольку совершенно не ясно, имеют ли они нетривиальные УФ-фиксированные точки . Это означает, что если такая КТП хорошо определена во всех масштабах, как это должно быть для удовлетворения аксиом аксиоматической квантовой теории поля , она должна быть тривиальной (т.е. свободной теорией поля ).

Квантовая теория Янга–Миллса с неабелевой калибровочной группой и без кварков является исключением, поскольку асимптотическая свобода характеризует эту теорию, что означает, что она имеет тривиальную УФ-фиксированную точку . Следовательно, это простейшая нетривиальная конструктивная КТП в 4 измерениях. ( КХД — более сложная теория, поскольку она включает кварки .)

Кварковое удержание

На уровне строгости теоретической физики было хорошо установлено, что квантовая теория Янга–Миллса для неабелевой группы Ли демонстрирует свойство, известное как ограничение ; хотя надлежащая математическая физика предъявляет более высокие требования к доказательству. Следствием этого свойства является то, что выше шкалы ограничения цветовые заряды связаны хромодинамическими потоковыми трубками, приводящими к линейному потенциалу между зарядами. Следовательно, изолированный цветовой заряд и изолированные глюоны не могут существовать. При отсутствии ограничения мы ожидали бы увидеть безмассовые глюоны, но поскольку они ограничены, все, что мы увидели бы, — это нейтральные по цвету связанные состояния глюонов, называемые глюболами . Если глюболы существуют, они массивны, поэтому ожидается разрыв массы.

Ссылки

  1. ^ ab Джаффе, Артур ; Виттен, Эдвард . "Квантовая теория Янга-Миллса" (PDF) . Claymath.org . Архивировано (PDF) из оригинала 2023-06-20.
  2. ^ Стритер, Р. Ф.; Вайтман, А. С. (2000). PCT, спин и статистика, и все такое . Принстонские вехи в физике (1-е с ред.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07062-9.
  3. ^ Остервальдер и Шредер (1973)
  4. ^ Cubitt, Toby S.; Pérez-García, David; Wolf, Michael (2018-10-01). «Неразрешимая проблема». Scientific American . 319 (4): 28– 37. doi :10.1038/scientificamerican1018-28. PMID  30273308. Получено 2024-09-11 .
  5. ^ Кастельвекки, Давиде (9 декабря 2015 г.). «Парадокс в основе математики делает физическую проблему неразрешимой». Nature . doi :10.1038/nature.2015.18983 . Получено 11 сентября 2024 г.
  6. ^ Lucini, Biagio; Teper, Michael; Wenger, Urs (2004). "Glueballs and k -strings in SU( N ) gauge theories: computing with improved Operators". Journal of High Energy Physics . 2004 (6): 012. arXiv : hep-lat/0404008 . Bibcode : 2004JHEP...06..012L. doi : 10.1088/1126-6708/2004/06/012. ISSN  1029-8479. S2CID  14807677..
  7. ^ Chen, Y.; Alexandru, A.; Dong, SJ; Draper, T.; Horváth, I.; Lee, FX; Liu, KF; Mathur, N.; Morningstar, C.; Peardon, M.; Tamhankar, S.; Young, BL; Zhang, JB (2006). "Спектр глюбола и матричные элементы на анизотропных решетках". Physical Review D. 73 ( 1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Bibcode : 2006PhRvD..73a4516C. doi : 10.1103/PhysRevD.73.014516. ISSN  1550-7998. S2CID  15741174..

Дальнейшее чтение

  • Стритер, Р. Ф.; Уайтман, А. (1964). PCT, спин и статистика, и все такое . Нью-Йорк, Вашингтон Бенджамин.
  • Остервальдер, Конрад; Шрадер, Роберт (1973). «Аксиомы для евклидовых функций Грина». Communications in Mathematical Physics . 31 (2): 83– 112. Bibcode : 1973CMaPh..31...83O. doi : 10.1007/BF01645738. ISSN  0010-3616. S2CID  189829853.
  • Остервальдер, Конрад; Шрадер, Роберт (1975). "Аксиомы для евклидовых функций Грина II". Communications in Mathematical Physics . 42 (3): 281– 305. Bibcode : 1975CMaPh..42..281O. doi : 10.1007/BF01608978. ISSN  0010-3616. S2CID  119389461.
  • Боголюбов Н.; Логунов А.; Оксак; Тодоров И. (1990). Боголюбов Н.Н.; Логунов А.А.; Оксак, А.И.; Тодоров, ИТ (ред.). Общие принципы квантовой теории поля . Дордрехт: Springer Нидерланды. дои : 10.1007/978-94-009-0491-0. ISBN 978-94-010-6707-2.
  • Строкки, Франко (1993). Избранные темы общих свойств квантовой теории поля: заметки лекций . World Scientific заметки лекций по физике. Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-1149-3.
  • Дынин, А. (2014). «Квантовая динамика Янга-Миллса-Вейля в парадигме Шредингера». Журнал математической физики . 21 (2): 169– 188. Bibcode :2014RJMP...21..169D. doi :10.1134/S1061920814020046. ISSN  1061-9208. S2CID  121878861.
  • Дынин, А. (2014). «О проблеме массового зазора Янга-Миллса». Журнал математической физики . 21 (3): 326– 328. Bibcode :2014RJMP...21..326D. doi :10.1134/S1061920814030042. ISSN  1061-9208. S2CID  120135592.
  • Бушхорн, Г.; Весс, Дж. (2004). Гейзенберг, Вернер; Бушхорн, Герд В.; Весс, Юлиус (ред.). Фундаментальная физика — Гейзенберг и далее: симпозиум в честь столетия Вернера Гейзенберга «Развитие современной физики» . Берлин; Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-3-540-20201-1.
  • Проблемы премии тысячелетия: Янг–Миллс и разрыв масс
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Yang–Mills_existence_and_mass_gap&oldid=1258691530"