Теория когомологий Вейля

В алгебраической геометрии когомологии Вейля или теория когомологий Вейля — это когомологии, удовлетворяющие определенным аксиомам, касающимся взаимодействия алгебраических циклов и групп когомологий. Название дано в честь Андре Вейля . Любая теория когомологий Вейля однозначно пропускается через категорию мотивов Чжоу , но сама категория мотивов Чжоу не является теорией когомологий Вейля, поскольку она не является абелевой категорией .

Зафиксируем базовое поле k произвольной характеристики и «поле коэффициентов» K характеристики ноль. Теория когомологий Вейля — это контравариантный функтор

${\displaystyle H^{*}:\{{\text{smooth projective varieties over }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\}}$

удовлетворяющий аксиомам ниже. Для каждого гладкого проективного алгебраического многообразия X размерности n над k , то градуированная K -алгебра

${\displaystyle H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)}$

требуется удовлетворить следующее:

• ${\displaystyle H^{i}(X)}$представляет собой конечномерное K - векторное пространство для каждого целого числа i .

• ${\displaystyle H^{i}(X)=0}$для каждого i < 0 или i > 2 n .

• ${\displaystyle H^{2n}(X)}$изоморфен K (так называемая ориентационная карта).

• Двойственность Пуанкаре : существует идеальное сопряжение

${\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.}$

• Существует канонический изоморфизм Кюннета

${\displaystyle H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).}$

• Для каждого целого числа r существует отображение цикла, определенное на группе алгебраических циклов коразмерности r на X ,${\displaystyle Z^{r}(X)}$

${\displaystyle \gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),}$

удовлетворяя определенным условиям совместимости относительно функториальности H и изоморфизма Кюннета. Если X — точка, то отображение цикла должно быть включением Z ⊂ K .

• Слабая аксиома Лефшеца : Для любого гладкого гиперплоского сечения j : W ⊂ X (т.е. W = X ∩ H , H некоторая гиперплоскость в окружающем проективном пространстве) отображения

${\displaystyle j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W)}$

являются изоморфизмами для и инъекциями для${\displaystyle i\leqslant n-2}$${\displaystyle i\leqslant n-1.}$

• Жесткая аксиома Лефшеца : Пусть W — гиперплоское сечение, а — его образ под отображением класса цикла. Оператор Лефшеца определяется как${\displaystyle w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)}$

${\displaystyle {\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{cases}}}$

где точка обозначает произведение в алгебре Тогда${\displaystyle H^{*}(X).}$

${\displaystyle L^{i}:H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)}$

является изоморфизмом для i = 1, ..., n .

Существует четыре так называемые классические теории когомологий Вейля:

• сингулярные (= Бетти) когомологии , рассматривающие многообразия над C как топологические пространства, используя их аналитическую топологию (см. GAGA ),

• Когомологии де Рама над базовым полем нулевой характеристики : над C, определяемым дифференциальными формами и, в общем случае, посредством комплекса кэлеровых дифференциалов (см. алгебраические когомологии де Рама ),

• ${\displaystyle \ell }$-адические когомологии для многообразий над полями характеристики, отличной от ,${\displaystyle \ell }$

• кристаллические когомологии .

Доказательства аксиом для когомологий Бетти и когомологий де Рама сравнительно просты и классичны. Для -адических когомологий, например, большинство из приведенных выше свойств являются глубокими теоремами.${\displaystyle \ell }$

Исчезновение групп когомологий Бетти, превышающих удвоенную размерность, очевидно из того факта, что (комплексное) многообразие комплексной размерности n имеет действительную размерность 2 n , поэтому эти высшие группы когомологий исчезают (например, сравнивая их с симплициальными (ко)гомологиями ).

Отображение цикла де Рама также имеет приземленное объяснение: если задано подмногообразие Y комплексной коразмерности r в полном многообразии X комплексной размерности n , то действительная размерность Y равна 2 n −2 r , поэтому можно проинтегрировать любую дифференциальную (2 n −2 r )-форму вдоль Y , чтобы получить комплексное число . Это индуцирует линейный функционал . По двойственности Пуанкаре, задание такого функционала эквивалентно заданию элемента ; этот элемент является образом Y при отображении цикла.${\displaystyle \textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C} }$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{2r}(X)}$

• Основы алгебраической геометрии

• Гриффитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических издательств Wiley, Нью-Йорк: Wiley, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523(содержит доказательства всех аксиом для когомологий Бетти и де-Рама)
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7(то же самое для l -адических когомологий)
• Клейман, С.Л. (1968), «Алгебраические циклы и гипотезы Вейля», Дикс разоблачает сюр ла когомологии схем , Амстердам: Северная Голландия, стр.  359–386 , MR  0292838