Полиномы Хана

В математике многочлены Хана — это семейство ортогональных многочленов в схеме Аски гипергеометрических ортогональных многочленов, введенное Пафнутием Чебышевым в 1875 году (Чебышев 1907) и переоткрытое Вольфгангом Ханом (Хан 1949). Класс Хана — это название для особых случаев многочленов Хана, включая многочлены Хана, многочлены Мейкснера , многочлены Кравчука и многочлены Шарлье . Иногда класс Хана рассматривается как включающий предельные случаи этих многочленов, и в этом случае он также включает классические ортогональные многочлены .

Полиномы Хана определяются в терминах обобщенных гипергеометрических функций следующим образом:

${\displaystyle Q_{n}(x;\alpha,\beta,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1, -N+1;1).\ }$

Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Сварттоув (2010, 14) приводят подробный список своих объектов.

Если , то эти полиномы идентичны дискретным полиномам Чебышева, за исключением масштабного множителя.${\displaystyle \альфа =\бета =0}$

Близкие по значению многочлены включают дуальные многочлены Хана R _n ( x ;γ,δ, N ), непрерывные многочлены Хана p _n ( x , a , b , a , b ) и непрерывные дуальные многочлены Хана S _n ( x ; a , b , c ). Все эти многочлены имеют q -аналоги с дополнительным параметром q , такие как q-полиномы Хана Q _n ( x ; α, β, N ; q ) и т. д.

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{n}(y)\pi _{n}={\frac {1}{\rho (x) }}\delta _{x,y}}$

где δ _x,y — дельта-функция Кронекера, а весовые функции равны

${\displaystyle \rho (x)=\rho (x;\alpha;\beta,N)={\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-1-x}{ N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}}$

и

${\displaystyle \pi _{n}=\pi _{n}(\alpha,\beta,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1 }{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (\beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}}/{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}}$.

• Полиномы Рака являются обобщением полиномов Хана.

• Чебышев П. (1907), «Sur l'interpolation des valeurs équidistantes», Марков А.; Сонин Н. (ред.), Oeuvres de PL Tchebychef, vol. 2, стр. 219–242, перепечатано Челси.
• Хан, Вольфганг (1949), «Убер-ортогональный полином, die q-Differenzengleichungen genügen», Mathematische Nachrichten , 2 : 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103, ISSN  0025-584X, MR  0030647
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, г-н  2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Хана: Определения», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.