Непрерывные полиномы Хана

В математике непрерывные многочлены Хана представляют собой семейство ортогональных многочленов в схеме Аски гипергеометрических ортогональных многочленов. Они определяются в терминах обобщенных гипергеометрических функций следующим образом:

п н ( х ; а , б , с , г ) = я н ( а + с ) н ( а + г ) н н ! 3 Ф 2 ( − н , н + а + б + с + г − 1 , а + я х а + с , а + г ; 1 ) {\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}

Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Сварттоув (2010, 14) приводят подробный список своих объектов.

Близкие по значению многочлены включают дуальные многочлены Хана R n ( x ; γ, δ, N ), многочлены Хана Q n ( x ; a , b , c ) и непрерывные дуальные многочлены Хана S n ( x ; a , b , c ). Все эти многочлены имеют q -аналоги с дополнительным параметром q , такие как q-полиномы Хана Q n ( x ; α, β, N ; q ) и т. д.

Ортогональность

Непрерывные полиномы Хана p n ( x ; a , b , c , d ) ортогональны относительно весовой функции

ж ( х ) = Г ( а + я х ) Г ( б + я х ) Г ( с − я х ) Г ( г − я х ) . {\ displaystyle w (x) = \ Gamma (a + ix) \, \ Gamma (b + ix) \, \ Gamma (c-ix) \, \ Gamma (d-ix).}

В частности, они удовлетворяют соотношению ортогональности [1] [2] [3]

1 2 π ∫ − ∞ ∞ Г ( а + я х ) Г ( б + я х ) Г ( с − я х ) Г ( г − я х ) п м ( х ; а , б , с , г ) п н ( х ; а , б , с , г ) г х = Г ( н + а + с ) Г ( н + а + г ) Г ( н + б + с ) Г ( н + б + г ) н ! ( 2 н + а + б + с + г − 1 ) Г ( н + а + б + с + г − 1 ) δ н м {\displaystyle {\begin{align}&{\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty }^{\infty }\Гамма (a+ix)\,\Гамма (b+ix)\,\Гамма (c-ix)\,\Гамма (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Гамма (n+a+c)\,\Гамма (n+a+d)\,\Гамма (n+b+c)\,\Гамма (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Гамма (n+a+b+c+d-1)}}\,\дельта _{нм}\end{выровнено}}}

для , , , , , . ℜ ( а ) > 0 {\displaystyle \Re (a)>0} ℜ ( б ) > 0 {\displaystyle \Re (б)>0} ℜ ( с ) > 0 {\displaystyle \Re (c)>0} ℜ ( г ) > 0 {\displaystyle \Re (d)>0} с = а ¯ {\displaystyle c={\overline {a}}} г = б ¯ {\displaystyle d={\overline {b}}}

Рекуррентные и разностные отношения

Последовательность непрерывных полиномов Хана удовлетворяет рекуррентному соотношению [4]

х п н ( х ) = п н + 1 ( х ) + я ( А н + С н ) п н ( х ) − А н − 1 С н п н − 1 ( х ) , {\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}
где п н ( х ) = н ! ( н + а + б + с + г − 1 ) ! ( 2 н + а + б + с + г − 1 ) ! п н ( х ; а , б , с , г ) , А н = − ( н + а + б + с + г − 1 ) ( н + а + с ) ( н + а + г ) ( 2 н + а + б + с + г − 1 ) ( 2 н + а + б + с + г ) , и С н = н ( н + б + с − 1 ) ( н + б + г − 1 ) ( 2 н + а + б + с + г − 2 ) ( 2 н + а + б + с + г − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{где}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{и}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}

формула Родригеса

Непрерывные полиномы Хана задаются формулой типа Родригеса [5]

Г ( а + я х ) Г ( б + я х ) Г ( с − я х ) Г ( г − я х ) п н ( х ; а , б , с , г ) = ( − 1 ) н н ! г н г х н ( Г ( а + н 2 + я х ) Г ( б + н 2 + я х ) Г ( с + н 2 − я х ) Г ( г + н 2 − я х ) ) . {\displaystyle {\begin{align}&\Гамма (a+ix)\,\Гамма (b+ix)\,\Гамма (c-ix)\,\Гамма (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Гамма \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Гамма \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Гамма \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Гамма \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{align}}}

Генерация функций

Непрерывные полиномы Хана имеют следующую производящую функцию: [6]

∑ н = 0 ∞ Г ( н + а + б + с + г ) Г ( а + с + 1 ) Г ( а + г + 1 ) Г ( а + б + с + г ) Г ( н + а + с + 1 ) Г ( н + а + г + 1 ) ( − я т ) н п н ( х ; а , б , с , г ) = ( 1 − т ) 1 − а − б − с − г 3 Ф 2 ( 1 2 ( а + б + с + г − 1 ) , 1 2 ( а + б + с + г ) , а + я х а + с , а + г ; − 4 т ( 1 − т ) 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}

Вторая, отличная производящая функция задается выражением

∑ n = 0 ∞ Γ ( a + c + 1 ) Γ ( b + d + 1 ) Γ ( n + a + c + 1 ) Γ ( n + b + d + 1 ) t n p n ( x ; a , b , c , d ) = 1 F 1 ( a + i x a + c ; − i t ) 1 F 1 ( d − i x b + d ; i t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}

Связь с другими многочленами

  • Полиномы Вильсона являются обобщением непрерывных полиномов Хана.
  • Полиномы Бейтмена F n (x) связаны с частным случаем a = b = c = d =1/2 непрерывных полиномов Хана соотношением
p n ( x ; 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ) = i n n ! F n ( 2 i x ) . {\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}
  • Полиномы Якоби P n (α,β) (x) могут быть получены как предельный случай непрерывных полиномов Хана: [7]
P n ( α , β ) = lim t → ∞ t − n p n ( 1 2 x t ; 1 2 ( α + 1 − i t ) , 1 2 ( β + 1 + i t ) , 1 2 ( α + 1 + i t ) , 1 2 ( β + 1 − i t ) ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}

Ссылки

  1. ^ Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 200.
  2. ^ Аски, Р. (1985), «Непрерывные полиномы Хана», J. Phys. A: Math. Gen. 18 : стр. L1017-L1019.
  3. ^ Эндрюс, Аски и Рой (1999), стр. 333.
  4. ^ Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 201.
  5. ^ Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 202.
  6. ^ Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 202.
  7. ^ Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 203.
  • Хан, Вольфганг (1949), «Убер-ортогональный полином, die q-Differenzengleichungen genügen», Mathematische Nachrichten , 2 : 4–34 , doi : 10.1002/mana.19490020103, ISSN  0025-584X, MR  0030647
  • Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, г-н  2656096
  • Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Хана: Определения», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
  • Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений 71, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-62321-6
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuous_Hahn_polynomials&oldid=891704162"