В математике многочлены Рака — это ортогональные многочлены, названные в честь Джулио Рака , поскольку их соотношения ортогональности эквивалентны его соотношениям ортогональности для коэффициентов Рака .
Полиномы Рака были впервые определены Уилсоном (1978) и задаются формулой
п н ( х ( х + γ + δ + 1 ) ) = 4 Ф 3 [ − н н + α + β + 1 − х х + γ + δ + 1 α + 1 γ + 1 β + δ + 1 ; 1 ] . {\displaystyle p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].}
Ортогональность ∑ y = 0 N R n ( x ; α , β , γ , δ ) R m ( x ; α , β , γ , δ ) γ + δ + 1 + 2 y γ + δ + 1 + y ω y = h n δ n , m , {\displaystyle \sum _{y=0}^{N}\operatorname {R} _{n}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{m}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\frac {\gamma +\delta +1+2y}{\gamma +\delta +1+y}}\omega _{y}=h_{n}\operatorname {\delta } _{n,m},} [1] когда , α + 1 = − N {\displaystyle \alpha +1=-N} где — полином Рака, R {\displaystyle \operatorname {R} } x = y ( y + γ + δ + 1 ) , {\displaystyle x=y(y+\gamma +\delta +1),} δ n , m {\displaystyle \operatorname {\delta } _{n,m}} дельта-функция Кронекера , а весовые функции — это ω y = ( α + 1 ) y ( β + δ + 1 ) y ( γ + 1 ) y ( γ + δ + 2 ) y ( − α + γ + δ + 1 ) y ( − β + γ + 1 ) y ( δ + 1 ) y y ! , {\displaystyle \omega _{y}={\frac {(\alpha +1)_{y}(\beta +\delta +1)_{y}(\gamma +1)_{y}(\gamma +\delta +2)_{y}}{(-\alpha +\gamma +\delta +1)_{y}(-\beta +\gamma +1)_{y}(\delta +1)_{y}y!}},} и h n = ( − β ) N ( γ + δ + 1 ) N ( − β + γ + 1 ) N ( δ + 1 ) N ( n + α + β + 1 ) n n ! ( α + β + 2 ) 2 n ( α + δ − γ + 1 ) n ( α − δ + 1 ) n ( β + 1 ) n ( α + 1 ) n ( β + δ + 1 ) n ( γ + 1 ) n , {\displaystyle h_{n}={\frac {(-\beta )_{N}(\gamma +\delta +1)_{N}}{(-\beta +\gamma +1)_{N}(\delta +1)_{N}}}{\frac {(n+\alpha +\beta +1)_{n}n!}{(\alpha +\beta +2)_{2n}}}{\frac {(\alpha +\delta -\gamma +1)_{n}(\alpha -\delta +1)_{n}(\beta +1)_{n}}{(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}},} ( ⋅ ) n {\displaystyle (\cdot )_{n}} символом Поххаммера .
ω ( x ; α , β , γ , δ ) R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) = ( γ + δ + 1 ) n ∇ n ∇ λ ( x ) n ω ( x ; α + n , β + n , γ + n , δ ) , {\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(\gamma +\delta +1)_{n}{\frac {\nabla ^{n}}{\nabla \lambda (x)^{n}}}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\delta ),} [2] где — оператор обратной разности , ∇ {\displaystyle \nabla } λ ( x ) = x ( x + γ + δ + 1 ) . {\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1).}
Генерация функций Существует три производящие функции для x ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , N } {\displaystyle x\in \{0,1,2,...,N\}}
когда или β + δ + 1 = − N {\displaystyle \beta +\delta +1=-N\quad } γ + 1 = − N , {\displaystyle \quad \gamma +1=-N,} 2 F 1 ( − x , − x + α − γ − δ ; α + 1 ; t ) 2 F 1 ( x + β + δ + 1 , x + γ + 1 ; β + 1 ; t ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\alpha -\gamma -\delta ;\alpha +1;t){}_{2}F_{1}(x+\beta +\delta +1,x+\gamma +1;\beta +1;t)} = ∑ n = 0 N ( β + δ + 1 ) n ( γ + 1 ) n ( β + 1 ) n n ! R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) t n , {\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},} когда или α + 1 = − N {\displaystyle \alpha +1=-N\quad } γ + 1 = − N , {\displaystyle \quad \gamma +1=-N,} 2 F 1 ( − x , − x + β − γ ; β + δ + 1 ; t ) 2 F 1 ( x + α + 1 , x + γ + 1 ; α − δ + 1 ; t ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\beta -\gamma ;\beta +\delta +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1,x+\gamma +1;\alpha -\delta +1;t)} = ∑ n = 0 N ( α + 1 ) n ( γ + 1 ) n ( α − δ + 1 ) n n ! R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) t n , {\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\alpha -\delta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},} когда или α + 1 = − N {\displaystyle \alpha +1=-N\quad } β + δ + 1 = − N , {\displaystyle \quad \beta +\delta +1=-N,} 2 F 1 ( − x , − x − δ ; γ + 1 ; t ) 2 F 1 ( x + α + 1 ; x + β + γ + 1 ; α + β − γ + 1 ; t ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x-\delta ;\gamma +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1;x+\beta +\gamma +1;\alpha +\beta -\gamma +1;t)} = ∑ n = 0 N ( α + 1 ) n ( β + δ + 1 ) n ( α + β − γ + 1 ) n n ! R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) t n . {\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}}{(\alpha +\beta -\gamma +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n}.}
Когда α = a + b − 1 , β = c + d − 1 , γ = a + d − 1 , δ = a − d , x → − a + i x , {\displaystyle \alpha =a+b-1,\beta =c+d-1,\gamma =a+d-1,\delta =a-d,x\rightarrow -a+ix,}
R n ( λ ( − a + i x ) ; a + b − 1 , c + d − 1 , a + d − 1 , a − d ) = W n ( x 2 ; a , b , c , d ) ( a + b ) n ( a + c ) n ( a + d ) n , {\displaystyle \operatorname {R} _{n}(\lambda (-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,a-d)={\frac {\operatorname {W} _{n}(x^{2};a,b,c,d)}{(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}}},} где — полиномы Вильсона. W {\displaystyle \operatorname {W} }
q-аналог Аски и Уилсон (1979) ввели q -полиномы Рака, определенные в терминах основных гипергеометрических функций следующим образом:
p n ( q − x + q x + 1 c d ; a , b , c , d ; q ) = 4 ϕ 3 [ q − n a b q n + 1 q − x q x + 1 c d a q b d q c q ; q ; q ] . {\displaystyle p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].} Иногда они задаются с изменениями переменных, как
W n ( x ; a , b , c , N ; q ) = 4 ϕ 3 [ q − n a b q n + 1 q − x c q x − n a q b c q q − N ; q ; q ] . {\displaystyle W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].}
Ссылки ^ Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Уилсона: Определения», в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 г-н 2723248 ^ Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (1998), Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов и ее q-аналог Аски, Ричард; Уилсон, Джеймс (1979), «Набор ортогональных многочленов, обобщающих коэффициенты Рака или символы 6-j» (PDF) , SIAM Journal on Mathematical Analysis , 10 (5): 1008–1016, doi :10.1137/0510092, ISSN 0036-1410, MR 0541097, архивировано из оригинала 25 сентября 2017 г. Уилсон, Дж. (1978), Рекуррентные соотношения гипергеометрических рядов и некоторые новые ортогональные функции , докторская диссертация, Висконсинский университет, Мэдисон
![{\displaystyle p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8669e91de2c035849fc87d8ce46aa12600695e)
![{\displaystyle p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc584f57d22b464c0732a0e61d35db040eedb8a)
![{\displaystyle W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^ {n+1}&q^{-x}&cq^{xn}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8e78dfc0de0af60835bc8e8bcf8eaa6ae338c8)
