Двойные полиномы Хана

В математике дуальные многочлены Хана — это семейство ортогональных многочленов в схеме Аски гипергеометрических ортогональных многочленов. Они определены на неравномерной решетке и определяются как${\displaystyle x(s)=s(s+1)}$

${\displaystyle w_{n}^{(c)}(s,a,b)={\frac {(a-b+1)_{n}(a+c+1)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,as,a+s+1;a-b+a,a+c+1;1)}$

для и параметры ограничены .${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$${\displaystyle а,б,в}$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}<a<b,|c|<1+a,b=a+N}$

Обратите внимание, что — это возрастающий факториал , также известный как символ Похгаммера, и представляет собой обобщенные гипергеометрические функции${\displaystyle (u)_{k}}$${\displaystyle {}_{3}F_{2}(\cdot )}$

Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Сварттоув (2010, 14) приводят подробный список своих объектов.

Двойственные полиномы Хана имеют условие ортогональности

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}w_{n}^{(c)}(s,a,b)w_{m}^{(c)}(s,a,b)\rho (s)[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]=\delta _{nm}d_{n}^{2}}$

для . Где ,${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$${\displaystyle \Дельта x(s)=x(s+1)-x(s)}$

${\displaystyle \rho (s)={\frac {\Gamma (a+s+1)\Gamma (c+s+1)}{\Gamma (s-a+1)\Gamma (bs)\Gamma ( b+s+1)\Гамма (s-c+1)}}}$

и

${\displaystyle d_{n}^{2}={\frac {\Gamma (a+c+n+a)}{n!(ban-1)!\Gamma (bcn)}}.}$

По мере увеличения значения увеличиваются и значения, которые получают дискретные полиномы. В результате, чтобы получить численную устойчивость при вычислении полиномов, вы должны использовать перенормированный дуальный полином Хана, определенный как${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b)=w_{n}^{(c)}(s,a,b){\sqrt {{\frac {\rho (s)}{d_{n}^{2}}}[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]}}}$

для .${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$

Тогда условие ортогональности принимает вид

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}{\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b){\hat {w}}_{m}^{(c)}(s,a,b)=\delta _{m,n}}$

для${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$

Полиномы Хана, , определены на равномерной решетке , а параметры определяются как . Тогда, установив полиномы Хана, получим полиномы Чебышева . Обратите внимание, что двойственные полиномы Хана имеют q -аналог с дополнительным параметром q , известный как двойственные q-полиномы Хана .${\displaystyle h_{n}(x,N;\альфа,\бета)}$${\displaystyle x(s)=s}$${\displaystyle а,б,в}$${\displaystyle a=(\альфа +\бета )/2,b=a+N,c=(\бета -\альфа )/2}$${\displaystyle \альфа =\бета =0}$

Полиномы Рака являются обобщением дуальных полиномов Хана.

• Чжу, Хунцин (2007), «Анализ изображений с помощью дискретных ортогональных дуальных моментов Хана» (PDF) , Pattern Recognition Letters , 28 (13): 1688–1704, doi :10.1016/j.patrec.2007.04.013
• Хан, Вольфганг (1949), «Убер-ортогональный полином, die q-Differenzengleichungen genügen», Mathematische Nachrichten , 2 (1–2): 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103, ISSN  0025-584X, MR  0030647
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, г-н  2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Хана: Определения», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.