Функция Грина

В математике функция Грина (иногда неправильно называемая функцией Грина ) — это импульсная характеристика неоднородного линейного дифференциального оператора , определенного в области с заданными начальными условиями или граничными условиями.

Это означает, что если — линейный дифференциальный оператор, то${\displaystyle L}$

• Функция Грина является решением уравнения , где — дельта-функция Дирака ;${\displaystyle G}$${\displaystyle LG=\дельта}$${\displaystyle \дельта}$
• Решением начальной задачи является свертка ( ).${\displaystyle Ly=f}$ ${\displaystyle G\ast f}$

Используя принцип суперпозиции , для данного линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) можно сначала решить для каждого s , и понимая, что, поскольку источник представляет собой сумму дельта-функций , решение также является суммой функций Грина в силу линейности L.${\displaystyle Ly=f}$${\displaystyle LG=\delta _{s}}$

Функции Грина названы в честь британского математика Джорджа Грина , который впервые разработал эту концепцию в 1820-х годах. В современном исследовании линейных уравнений в частных производных функции Грина изучаются в основном с точки зрения фундаментальных решений .

В рамках теории многих тел этот термин также используется в физике , в частности в квантовой теории поля , аэродинамике , аэроакустике , электродинамике , сейсмологии и статистической теории поля , для обозначения различных типов корреляционных функций , даже тех, которые не соответствуют математическому определению. В квантовой теории поля функции Грина играют роль пропагаторов .

Функция Грина G ( x , s ) линейного дифференциального оператора L = L ( x ), действующего на распределения на подмножестве евклидова пространства в точке s , является любым решением уравнения${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (sx)\,,}$$

1

где δ — дельта-функция Дирака . Это свойство функции Грина можно использовать для решения дифференциальных уравнений вида

$${\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.}$$

2

Если ядро ​​L нетривиально, то функция Грина не является единственной. Однако на практике некоторая комбинация симметрии , граничных условий и/или других внешних критериев даст уникальную функцию Грина. Функции Грина могут быть классифицированы по типу удовлетворяемых граничных условий с помощью номера функции Грина . Кроме того, функции Грина в общем случае являются распределениями , а не обязательно функциями действительной переменной.

Функции Грина также являются полезными инструментами при решении волновых уравнений и уравнений диффузии . В квантовой механике функция Грина гамильтониана является ключевым понятием с важными связями с понятием плотности состояний .

Функция Грина, используемая в физике, обычно определяется с обратным знаком. То есть, это определение не меняет существенно ни одно из свойств функции Грина из-за четности дельта-функции Дирака.$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.}$$

Если оператор инвариантен относительно трансляции , то есть имеет постоянные коэффициенты относительно x , то функцию Грина можно считать ядром свертки , то есть, В этом случае функция Грина совпадает с импульсной характеристикой линейной теории стационарных систем .${\displaystyle L}$$${\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.}$$

Грубо говоря, если такую ​​функцию G можно найти для оператора L , то, если мы умножим уравнение 1 для функции Грина на f ( s ) , а затем проинтегрируем по s , то получим, Поскольку оператор линейный и действует только на переменную x (а не на переменную интегрирования s ), можно вынести оператор за пределы интегрирования, получив Это означает, что$${\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}$$${\displaystyle L=L(x)}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}$$

$${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$$

3

является решением уравнения${\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}$

Таким образом, можно получить функцию u ( x ) через знание функции Грина в уравнении 1 и исходного члена в правой части уравнения 2. Этот процесс основан на линейности оператора L .

Другими словами, решение уравнения 2 , u ( x ) , может быть определено путем интегрирования, заданного в уравнении 3. Хотя f ( x ) известна, это интегрирование не может быть выполнено, если G также не известна. Теперь проблема заключается в нахождении функции Грина G , которая удовлетворяет уравнению 1. По этой причине функцию Грина также иногда называют фундаментальным решением , связанным с оператором L .

Не каждый оператор допускает функцию Грина. Функцию Грина можно также рассматривать как правую обратную к L . Помимо трудностей нахождения функции Грина для конкретного оператора, интеграл в уравнении 3 может быть довольно трудно оценить. Однако метод дает теоретически точный результат.${\displaystyle L}$

Это можно рассматривать как разложение f по базису дельта-функции Дирака (проецирование f на ; и суперпозицию решения на каждую проекцию . Такое интегральное уравнение известно как интегральное уравнение Фредгольма , изучение которого составляет теорию Фредгольма .${\displaystyle \delta (xs)}$

Основное применение функций Грина в математике — решение неоднородных граничных задач . В современной теоретической физике функции Грина также обычно используются в качестве пропагаторов в диаграммах Фейнмана ; термин «функция Грина» часто далее используется для любой корреляционной функции .

Пусть — оператор Штурма–Лиувилля , линейный дифференциальный оператор вида и пусть — оператор векторных граничных условий${\displaystyle L}$$${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$$${\displaystyle \mathbf {D} }$$${\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}$$

Пусть будет непрерывной функцией в . Далее предположим, что задача является «регулярной», т.е. единственным решением для для всех x является . ^[a]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [0,\ell ]\,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle и(х)=0}$

Существует одно и только одно решение , которое удовлетворяет , и оно задается выражением , где — функция Грина, удовлетворяющая следующим условиям:${\displaystyle и(х)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}$$${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$непрерывна по и .${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$
2. Для , .${\displaystyle x\neq s\,}$   ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. Для , .${\displaystyle s\neq 0\,}$   ${\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }$
4. Производный «скачок»: .  ${\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}$
5. Симметрия: .  ${\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}$

Функция Грина не обязательно уникальна, поскольку добавление любого решения однородного уравнения к одной функции Грина приводит к другой функции Грина. Поэтому, если однородное уравнение имеет нетривиальные решения, существует несколько функций Грина. В некоторых случаях можно найти одну функцию Грина, которая не обращается в нуль только для , которая называется запаздывающей функцией Грина, и другую функцию Грина, которая не обращается в нуль только для , которая называется усовершенствованной функцией Грина. В таких случаях любая линейная комбинация двух функций Грина также является допустимой функцией Грина. Терминология усовершенствованная и запаздывающая особенно полезна, когда переменная x соответствует времени. В таких случаях решение, полученное с использованием запаздывающей функции Грина, зависит только от прошлых источников и является причинным, тогда как решение, полученное с использованием усовершенствованной функции Грина, зависит только от будущих источников и является акаузальным. В этих задачах часто бывает так, что причинное решение является физически важным. Использование опережающей и запаздывающей функции Грина особенно распространено при анализе решений неоднородного уравнения электромагнитной волны .${\displaystyle s\leq x}$${\displaystyle s\geq x}$

Хотя это не однозначно фиксирует форму, которую примет функция Грина, выполнение размерного анализа для нахождения единиц, которые должна иметь функция Грина, является важной проверкой работоспособности любой функции Грина, найденной другими способами. Беглый анализ определяющего уравнения показывает, что единицы зависят не только от единиц , но также от числа и единиц пространства, элементами которого являются векторы положения и . Это приводит к соотношению: где определяется как «физические единицы » ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} , а является элементом объема пространства (или пространства-времени ).$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s),}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}$$${\displaystyle [[G]]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle dx}$

Например, если и время является единственной переменной, то: Если , оператор Даламбера , и пространство имеет 3 измерения, то:${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}}$$${\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}}$$

Если дифференциальный оператор L допускает набор собственных векторов Ψ _n ( x ) (т. е. набор функций Ψ _n и скаляров λ _n такой, что L Ψ _n = λ _n Ψ _n ), который является полным, то из этих собственных векторов и собственных значений  можно построить функцию Грина .

«Полный» означает, что набор функций {Ψ _n } удовлетворяет следующему соотношению полноты :$${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}$$

Тогда справедливо следующее:

где представляет собой комплексное сопряжение.${\displaystyle \dagger }$

Применение оператора L к каждой части этого уравнения приводит к соотношению полноты, что и предполагалось.

Общее исследование функции Грина, записанной в указанной выше форме, и ее связи с функциональными пространствами, образованными собственными векторами, известно как теория Фредгольма .

Существует несколько других методов нахождения функций Грина, включая метод изображений , разделение переменных и преобразования Лапласа . ^[1]

Если дифференциальный оператор можно разложить на множители, то функцию Грина можно построить из функций Грина для и : Вышеуказанное тождество немедленно следует из того, что мы принимаем за представление правого оператора, обратного к , аналогично тому, как обратимый линейный оператор , определяемый как , представляется своими матричными элементами .${\displaystyle L}$${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$$${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}$$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$${\displaystyle C_{i,j}}$

Далее следует тождество для дифференциальных операторов, которые являются скалярными многочленами производной, . Основная теорема алгебры , в сочетании с тем фактом, что коммутирует с самим собой , гарантирует, что многочлен может быть разложен на множители, приведя его к виду: где являются нулями . Взяв преобразование Фурье относительно обоих и , получаем: Затем дробь можно разбить на сумму, используя разложение частичной дроби перед преобразованием Фурье обратно в и пространство. Этот процесс дает тождества, которые связывают интегралы функций Грина и суммы того же самого. Например, если то одна форма для ее функции Грина: Хотя представленный пример поддается аналитическому рассмотрению, он иллюстрирует процесс, который работает, когда интеграл не тривиален (например, когда является оператором в многочлене).${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}$$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle P_{N}(z)}$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

В следующей таблице дан обзор функций Грина часто встречающихся дифференциальных операторов, где , , — ступенчатая функция Хевисайда , — функция Бесселя , — модифицированная функция Бесселя первого рода , — модифицированная функция Бесселя второго рода . ^[2] Там, где в первом столбце появляется время ( t ), указана запаздывающая (причинная) функция Грина.${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle \Theta (t)}$${\textstyle J_{\nu }(z)}$${\textstyle I_{\nu }(z)}$${\textstyle K_{\nu }(z)}$

Дифференциальный оператор L	Функция Грина G	Пример применения
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$где${\displaystyle \gamma <\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$   с   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	Одномерный слабозатухающий гармонический осциллятор
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$где${\displaystyle \gamma >\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}$   с   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$	1D сверхдемпфированный гармонический осциллятор
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$где${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}$	Одномерный критически затухающий гармонический осциллятор
1D оператор Лапласа${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)}$	1D уравнение Пуассона
2D оператор Лапласа ${\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$   с   ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	2D уравнение Пуассона
3D оператор Лапласа ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}}$   с   ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	Уравнение Пуассона
оператор Гельмгольца ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)}$ где   — функция Ганкеля второго рода , а   — сферическая функция Ганкеля второго рода${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}}$	Стационарное 3D уравнение Шредингера для свободной частицы
Оператор дивергенции${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{3}}}}$
${\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}$в размерах${\displaystyle n}$	${\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	Потенциал Юкавы , пропагатор Фейнмана , экранированное уравнение Пуассона
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (ct-x)}$	1D волновое уравнение
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (ct-\rho )}$	2D волновое уравнение
Оператор Даламбера ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (ct-r)}{4\pi r}}}$	3D волновое уравнение
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}}$	1D диффузия
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}}$	2D диффузия
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}}$	3D диффузия
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left(\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right)+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right]}$   с   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	1D уравнение Клейна–Гордона
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[\left(1+\cos(\mu ct)\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]}$   с   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	Двумерное уравнение Клейна–Гордона
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta {\left(ct-r\right)}}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}{\left(\mu u\right)}}{u}}\right]}$   с   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D уравнение Клейна–Гордона
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]}$   с   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	уравнение телеграфиста
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi \rho }}\delta (ct-\rho )\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right)\\&+{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma u^{2}-3c^{2}t}{cu^{3}}}\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {3\gamma t}{u^{2}}}\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\end{aligned}}}$ с   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D релятивистская теплопроводность
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi r^{2}}}\delta (ct-r)\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right)\\&+{\frac {\gamma ^{2}e^{-\gamma t}}{20\pi c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\end{aligned}}}$ с   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D релятивистская теплопроводность

Функции Грина для линейных дифференциальных операторов, включающих лапласиан, можно легко использовать, используя второе тождество Грина .

Чтобы вывести теорему Грина, начнем с теоремы о расходимости (иначе известной как теорема Гаусса ),$${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}$$

Пусть и подставим в закон Гаусса.${\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$

Вычислите и примените правило произведения для оператора ∇,${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

Подставляя это в теорему о расходимости, получаем теорему Грина :$${\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}$$

Предположим, что линейный дифференциальный оператор L является лапласианом , ∇ ² , и что для лапласиана существует функция Грина G. Определяющее свойство функции Грина все еще сохраняется,$${\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}$$

Введем вторую идентичность Грина, см. идентичности Грина . Затем,${\displaystyle \psi =G}$$${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

Используя это выражение, можно решить уравнение Лапласа ∇ ² φ ( x ) = 0 или уравнение Пуассона ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ) , при условии соблюдения граничных условий Неймана или Дирихле . Другими словами, мы можем решить для φ ( x ) всюду внутри объема, где либо (1) значение φ ( x ) указано на ограничивающей поверхности объема (граничные условия Дирихле), либо (2) нормальная производная φ ( x ) указана на ограничивающей поверхности (граничные условия Неймана).

Предположим, что задача заключается в решении для φ ( x ) внутри области. Тогда интеграл сводится просто к φ ( x ) из-за определяющего свойства дельта-функции Дирака , и мы имеем$${\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}$$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

Эта форма выражает известное свойство гармонических функций : если значение нормальной производной известно на ограничивающей поверхности, то значение функции внутри объема известно всюду .

В электростатике φ ( x ) интерпретируется как электрический потенциал , ρ ( x ) — как плотность электрического заряда , а нормальная производная — как нормальная составляющая электрического поля.${\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$

Если задача состоит в решении краевой задачи Дирихле, функция Грина должна быть выбрана так, чтобы G ( x , x ′) обращалась в нуль, когда x или x′ находится на ограничивающей поверхности. Таким образом, остается только один из двух членов в поверхностном интеграле . Если задача состоит в решении краевой задачи Неймана, может показаться логичным выбрать функцию Грина так, чтобы ее нормальная производная обращалась в нуль на ограничивающей поверхности. Однако применение теоремы Гаусса к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Грина, дает значение, что нормальная производная G ( x , x ′) не может обращаться в нуль на поверхности, потому что она должна интегрироваться до 1 на поверхности. ^[3]$${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}$$

Простейшая форма, которую может принять нормальная производная, — это константа, а именно 1/ S , где S — площадь поверхности. Поверхностный член в решении становится где — среднее значение потенциала на поверхности. Это число в общем случае неизвестно, но часто неважно, поскольку целью часто является получение электрического поля, заданного градиентом потенциала, а не самого потенциала.$${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$

При отсутствии граничных условий функция Грина для Лапласа ( функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными ) имеет вид$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}$$

Предполагая, что ограничивающая поверхность простирается до бесконечности, и подставляя это выражение для функции Грина, в конечном итоге получаем стандартное выражение для электрического потенциала через плотность электрического заряда:

Найдите функцию Грина для следующей задачи, номер функции Грина которой равен X11:$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$$

Первый шаг: функция Грина для рассматриваемого линейного оператора определяется как решение

$${\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).}$$

Ур. *

Если , то дельта-функция дает ноль, а общее решение имеет вид${\displaystyle x\neq s}$$${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

Для граничное условие при подразумевает , что и .${\displaystyle x<s}$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$${\displaystyle x<s}$${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$

Для граничное условие при подразумевает${\displaystyle x>s}$${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$$${\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

Уравнение пропускается по аналогичным причинам.${\displaystyle G(0,s)=0}$

Подводя итоги полученных на данный момент результатов:$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

Второй шаг: Следующая задача — определить и .${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

Обеспечение преемственности в функции Грина подразумевает${\displaystyle x=s}$$${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

Можно обеспечить надлежащую прерывность в первой производной, интегрируя определяющее дифференциальное уравнение (т.е. ур. * ) от до и взяв предел при стремится к нулю. Обратите внимание, что мы интегрируем только вторую производную, так как оставшийся член будет непрерывным по построению.${\displaystyle x=s-\varepsilon }$${\displaystyle x=s+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

Два уравнения (разрыва) непрерывности можно решить для и получить${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$$

Итак, функция Грина для этой задачи:$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

• Пусть n = 1 и пусть подмножество будет всем R. Пусть L будет . Тогда ступенчатая функция Хевисайда Θ( x − x ₀ ) является функцией Грина L в точке x ₀ .${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$
• Пусть n = 2 и пусть подмножество будет четвертной плоскостью {( x , y ) : x , y ≥ 0} и L будет лапласианом . Также предположим, что граничное условие Дирихле наложено при x = 0 , а граничное условие Неймана наложено при y = 0. Тогда функция Грина X10Y20 равна$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• Пусть , и все три являются элементами действительных чисел. Тогда для любой функции с -й производной, интегрируемой на интервале : Функция Грина в приведенном выше уравнении , не является единственной. Как изменяется уравнение, если добавляется к , где удовлетворяет для всех (например, при )? Также сравните приведенное выше уравнение с формой ряда Тейлора с центром в .${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}$$${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$${\displaystyle g(x-s)}$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle g(x)}$${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle g(x)=-x/2}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x=a}$

• «Функция Грина», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Грина». MathWorld .
• Функция Грина для дифференциального оператора на PlanetMath .
• Функция Грина на PlanetMath .
• Зелёные функции и конформное отображение на PlanetMath .
• Введение в метод неравновесной функции Грина Келдыша, автор А.П. Яухо
• Библиотека функций Грина
• Учебник по функциям Грина
• Метод граничных элементов (для получения некоторой информации о том, как функции Грина могут быть использованы с методом граничных элементов для численного решения потенциальных проблем) Архивировано 07.02.2012 на Wayback Machine
• В Citizendium
• Видеолекция MIT о функции Грина
• Боули, Роджер. «Джордж Грин и функции Грина». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .