Резольвентный формализм

В математике резольвентный формализм — это метод применения концепций комплексного анализа к изучению спектра операторов в банаховых пространствах и более общих пространствах. Формальное обоснование манипуляций можно найти в рамках голоморфного функционального исчисления .

Резольвента фиксирует спектральные свойства оператора в аналитической структуре функционала . При наличии оператора A резольвента может быть определена как

${\displaystyle R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.}$

Помимо прочего, резольвенту можно использовать для решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма ; обычно используемый подход — это решение в виде ряда, ряда Лиувилля–Неймана .

Резольвенту A можно использовать для непосредственного получения информации о спектральном разложении A. Например, предположим, что λ является изолированным собственным значением в спектре A. То есть предположим, что существует простая замкнутая кривая в комплексной плоскости, которая отделяет λ от остальной части спектра A. Тогда остаток${\displaystyle C_{\лямбда}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz}$

определяет оператор проекции на λ собственное пространство A . Теорема Хилле–Иосиды связывает резольвенту через преобразование Лапласа с интегралом по однопараметрической группе преобразований, порожденных A . ^[1] Таким образом, например, если A является косоэрмитовой матрицей , то U ( t ) = exp( tA ) является однопараметрической группой унитарных операторов. Всякий раз , когда , резольвента A в z может быть выражена как преобразование Лапласа${\displaystyle |z|>\|A\|}$

${\displaystyle R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)~dt,}$

где интеграл берется вдоль луча . ^[2]${\displaystyle \arg t=-\arg \lambda }$

Первое крупное использование оператора резольвенты в качестве ряда в A (ср. ряд Лиувилля–Неймана ) было сделано Иваром Фредгольмом в знаменательной статье 1903 года в Acta Mathematica, которая помогла создать современную теорию операторов .

Название «резольвента» было дано Давидом Гильбертом .

Для всех z, w из ρ ( A ) , резольвентного множества оператора A , мы имеем, что первое резольвентное тождество (также называемое тождеством Гильберта) имеет место: ^[3]

${\displaystyle R(z;A)-R(w;A)=(zw)R(z;A)R(w;A)\,.}$

(Обратите внимание, что Данфорд и Шварц , упомянутые выше, определяют резольвенту как ( zI −A ) ⁻¹ , поэтому приведенная выше формула отличается по знаку от их формулы.)

Второе резольвентное тождество является обобщением первого резольвентного тождества, приведенного выше, полезного для сравнения резольвент двух различных операторов. При заданных операторах A и B , оба определенных на одном и том же линейном пространстве, и z в ρ ( A ) ∩  ρ ( B ), выполняется следующее тождество, ^[4]

${\displaystyle R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(BA)R(z;B)\,.}$

Доказательство в одну строку выглядит следующим образом:

${\displaystyle (A-zI)^{-1}-(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}((B-zI)-(A-zI))(B -zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}(BA)(B-zI)^{-1}\,.}$

При изучении замкнутого неограниченного оператора A : H → H в гильбертовом пространстве H , если существует такой, что — компактный оператор , мы говорим, что A имеет компактную резольвенту. Спектр такого A является дискретным подмножеством . Если, кроме того, A является самосопряженным , то и существует ортонормированный базис собственных векторов A с собственными значениями соответственно. Кроме того, не имеет конечной точки накопления . ^[5]${\displaystyle z\in \rho (A)}$${\displaystyle R(z;A)}$${\displaystyle \сигма (А)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \сигма (A)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

• Набор резольвент
• Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
• Голоморфное функциональное исчисление
• Спектральная теория
• Компактный оператор
• Преобразование Лапласа
• теория Фредгольма
• Ряд Лиувилля–Неймана
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Принцип ограничения поглощения

• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988), Линейные операторы, часть I Общая теория , Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
• Фредхольм, Эрик И. (1903), «Sur une classe d'equations fonctionnelles» (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1957), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1031-6.
• Като, Тосио (1980), Теория возмущений для линейных операторов (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5.
• Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения с частными производными I , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4