Формализм гравитационного линзирования

Часть серии статей о
Гравитационное линзирование
Кольцо Эйнштейна Формализм Сильное линзирование Микролинзирование Слабое линзирование
Сильные линзовые системы Абель 1689 Абель 2218 CL0024+17 Скопление пуль QSO2237+0305 SDSSJ0946+1006 B1359+154 QSO 0957+561
Опросы Сильный: КЛАСС SLACS СДСС Микро: OGLE Гайя Слабая: DLS Pan-STARRS CFHTLS ДЕС ЛСТ ЩЕЛЧОК СУДЬБА
в т е

В общей теории относительности точечная масса отклоняет луч света с прицельным параметром на угол, приблизительно равный${\displaystyle б~}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {4GM}{c^{2}b}}}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса отклоняющегося объекта, а c — скорость света . Наивное применение ньютоновской гравитации может дать ровно половину этого значения, где луч света предполагается как массированная частица и рассеивается гравитационной потенциальной ямой. Это приближение хорошо, когда мало.${\displaystyle 4GM/c^{2}b}$

В ситуациях, когда общая теория относительности может быть аппроксимирована линеаризованной гравитацией , отклонение, вызванное пространственно протяженной массой, может быть записано просто как векторная сумма по точечным массам. В пределе континуума это становится интегралом по плотности , и если отклонение мало, мы можем аппроксимировать гравитационный потенциал вдоль отклоненной траектории потенциалом вдоль неотклоненной траектории, как в приближении Борна в квантовой механике. Тогда отклонение равно${\displaystyle \ро ~}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int d^{2}\xi ^{\prime }\int dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z){\frac {\vec {b}}{|{\vec {b}}|^{2}}},~{\vec {b}}\equiv {\vec {\xi }}-{\vec {\xi ^{\prime }}}}$

где - координата линии визирования, а - векторный параметр удара фактической траектории луча от бесконечно малой массы, расположенной в точке с координатами . ^[1]${\displaystyle z}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle d^{2}\xi ^{\prime }dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$${\displaystyle ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$

В пределе «тонкой линзы», когда расстояния между источником, линзой и наблюдателем намного больше размера линзы (это почти всегда справедливо для астрономических объектов), мы можем определить проецируемую плотность массы

${\displaystyle \Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime }) = \int \rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)dz}$

где - вектор в плоскости неба. Угол отклонения тогда равен${\displaystyle {\vec {\xi }}^{\prime }}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int {\frac {({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime })\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|^{2}}}d^{2}\xi ^{\prime }}$

Как показано на диаграмме справа, разница между нелинзированным угловым положением и наблюдаемым положением представляет собой этот угол отклонения, уменьшенный на отношение расстояний, описываемое уравнением линзы${\displaystyle {\vec {\beta }}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {\theta }}-{\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\theta }}-{\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}(D_{d}{\vec {\theta }})}$

где — расстояние от линзы до источника, — расстояние от наблюдателя до источника, — расстояние от наблюдателя до линзы. Для внегалактических линз это должны быть расстояния углового диаметра .${\displaystyle D_{ds}~}$${\displaystyle D_{s}~}$${\displaystyle D_{d}~}$

При сильном гравитационном линзировании это уравнение может иметь несколько решений, поскольку один источник в точке может быть преобразован в несколько изображений.${\displaystyle {\vec {\beta }}}$

Приведенный угол отклонения можно записать как${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }{\frac {({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime })\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })}{|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|^{2}}}}$

где мы определяем сходимость

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {\Sigma ({\vec {\theta }})}{\Sigma _{cr}}}}$

и критическая поверхностная плотность (не путать с критической плотностью Вселенной)

${\displaystyle \Sigma _{cr}={\frac {c^{2}D_{s}}{4\pi GD_{ds}D_{d}}}}$

Мы также можем определить потенциал отклонения

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })\ln |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|}$

таким образом, что масштабированный угол отклонения равен просто градиенту потенциала, а сходимость равна половине лапласиана потенциала:

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\nabla }}\psi ({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {\theta }})}$

Потенциал отклонения также можно записать как масштабированную проекцию ньютоновского гравитационного потенциала линзы ^[2]${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz}$

Якобиан между нелинзированной и линзированной системами координат равен

${\displaystyle A_{ij}={\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}}}$

где - дельта Кронекера . Поскольку матрица вторых производных должна быть симметричной, якобиан можно разложить на диагональный член, включающий сходимость, и бесследовый член, включающий сдвиг${\displaystyle \delta _{ij}~}$ ${\displaystyle \gamma ~}$

${\displaystyle A=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1&0\\0&1\end{array}}\right]-\gamma \left[{\begin{array}{c c }\cos 2\phi &\sin 2\phi \\\sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{array}}\right]}$

где — угол между и осью x. Член, включающий конвергенцию, увеличивает изображение, увеличивая его размер, сохраняя при этом поверхностную яркость. Член, включающий сдвиг, растягивает изображение по касательной вокруг линзы, как обсуждалось в слабых линзовых наблюдаемых.${\displaystyle \phi ~}$${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$

Определенный здесь сдвиг не эквивалентен сдвигу, традиционно определяемому в математике, хотя оба они растягивают изображение неравномерно.

Существует альтернативный способ вывода уравнения линзы, исходя из времени прибытия фотона (поверхность Ферма)

${\displaystyle t=\int _{0}^{z_{s}}{ndz \over c\cos \alpha (z)}}$

где - время перемещения бесконечно малого линейного элемента по прямой линии источник-наблюдатель в вакууме, которое затем корректируется коэффициентом${\displaystyle dz/c}$

${\displaystyle 1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}}$

получить элемент линии вдоль изогнутого пути с изменяющимся малым углом наклона и показателем преломления n для "эфира", т.е. гравитационного поля. Последнее можно получить из того факта, что фотон движется по нулевой геодезической слабо возмущенной статической вселенной Минковского${\displaystyle dl={dz \over c\cos \alpha (z)}}$${\displaystyle \alpha (z),}$

${\displaystyle ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}}$

где неравномерный гравитационный потенциал приводит к изменению скорости света${\displaystyle \Phi \ll c^{2}}$

${\displaystyle c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)c.}$

Итак, показатель преломления

${\displaystyle n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi \over c^{2}}\right).}$

Показатель преломления больше единицы из-за отрицательного гравитационного потенциала .${\displaystyle \Phi }$

Соедините их вместе и сохраните ведущие члены, у нас есть поверхность прибытия времени

${\displaystyle t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi \over c^{2}}.}$

Первый член — это время прохождения прямого пути, второй член — это дополнительный геометрический путь, а третий — гравитационная задержка. Сделайте треугольное приближение для пути между наблюдателем и линзой, и для пути между линзой и источником. Геометрический член задержки становится${\displaystyle \alpha (z)=\theta -\beta }$${\displaystyle \alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}}}$

${\displaystyle {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.}$

(Как? Слева нет . Расстояния углового диаметра, в общем случае, не складываются простым способом.) Таким образом, поверхность Ферма становится${\displaystyle D_{s}}$

${\displaystyle t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left[{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}-\psi \right]}$

где - так называемая безразмерная временная задержка, а потенциал двумерного линзирования${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.}$

Изображения лежат в экстремумах этой поверхности, поэтому вариация при равна нулю,${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})}$

что является уравнением линзы. Возьмем уравнение Пуассона для 3D потенциала

${\displaystyle \Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}}$

и мы находим потенциал двумерного линзирования

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\sinh ^{-1}{|z-D_{i}| \over D_{i}|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|}\right]|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.}$

Здесь мы предположили, что линза представляет собой совокупность точечных масс с угловыми координатами и расстояниями. Используя для очень малых x, мы находим${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}_{i}}$${\displaystyle z=D_{i}.}$${\displaystyle \sinh ^{-1}1/x=\ln(1/x+{\sqrt {1/x^{2}+1}})\approx -\ln(x/2)}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}| \over 2}{D_{i} \over D_{is}}\right)\right].}$

Можно вычислить сходимость , применив двумерный лапласиан двумерного линзирующего потенциала

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})}$

в соответствии с более ранним определением как отношение проектируемой плотности к критической плотности. Здесь мы использовали и${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\Sigma \over \Sigma _{cr}}}$${\displaystyle \nabla ^{2}1/r=-4\pi \delta (r)}$${\displaystyle \nabla _{\vec {\theta }}=D_{d}\nabla .}$

Мы также можем подтвердить ранее определенный уменьшенный угол отклонения

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}}$

где - так называемый угловой радиус Эйнштейна точечной линзы . Для единственной точечной линзы в начале координат мы получаем стандартный результат, что будет два изображения в двух решениях по существу квадратного уравнения${\displaystyle \theta _{Ei}}$${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.}$

Матрицу усиления можно получить путем двойных производных безразмерной временной задержки

${\displaystyle A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\gamma _{1}&\gamma _{2}\\\gamma _{2}&1-\kappa +\gamma _{1}\end{array}}\right]}$

где мы определили производные

${\displaystyle \kappa ={\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}}$

что принимает значение конвергенции и сдвига. Усиление является обратным якобиану

${\displaystyle A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}}$

где положительное значение означает либо максимум, либо минимум, а отрицательное — седловую точку на поверхности прибытия.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Для одноточечной линзы можно показать (хотя это и требует длительных вычислений), что

${\displaystyle \kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.}$

Таким образом, усиление точечной линзы определяется выражением

${\displaystyle A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.}$

Примечание A расходится для изображений на радиусе Эйнштейна.${\displaystyle \theta _{E}.}$

В случаях, когда имеется несколько точечных линз и гладкий фон из (темных) частиц поверхностной плотности, поверхность времени прибытия равна${\displaystyle \Sigma _{\rm {cr}}\kappa _{\rm {smooth}},}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx {1 \over 2}\kappa _{\rm {smooth}}|\theta |^{2}+\sum _{i}\theta _{E}^{2}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|^{2} \over 4}{D_{d} \over D_{ds}}\right)\right].}$

Чтобы вычислить усиление, например, в начале координат (0,0), из-за одинаковых точечных масс, распределенных в, мы должны сложить общий сдвиг и включить сходимость гладкого фона, ${\displaystyle (\theta _{xi},\theta _{yi})}$

${\displaystyle A=\left[(1-\kappa _{\rm {smooth}})^{2}-\left(\sum _{i}{(\theta _{xi}^{2}-\theta _{yi}^{2})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{(2\theta _{xi}\theta _{yi})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}\right]^{-1}}$

Обычно это создает сеть критических кривых — линий, соединяющих точки изображения бесконечного усиления.

При слабом линзировании крупномасштабной структурой приближение тонкой линзы может нарушиться, и протяженные структуры с низкой плотностью могут не быть хорошо аппроксимированы несколькими плоскостями тонкой линзы. В этом случае отклонение можно вывести, предположив, что гравитационный потенциал медленно меняется всюду (по этой причине это приближение недопустимо для сильного линзирования). Этот подход предполагает, что Вселенная хорошо описывается ньютоновски возмущенной метрикой FRW , но не делает никаких других предположений о распределении линзирующей массы.

Как и в случае тонкой линзы, эффект можно записать как отображение из нелинзированного углового положения в линзированное положение . Якобиан преобразования можно записать как интеграл по гравитационному потенциалу вдоль луча зрения ^[3]${\displaystyle {\vec {\beta }}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}}$${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle {\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}+\int _{0}^{r_{\infty }}drg(r){\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {x}}(r))}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}}$

где - сопутствующее расстояние , - поперечные расстояния, и${\displaystyle r~}$${\displaystyle x^{i}~}$

${\displaystyle g(r)=2r\int _{r}^{r_{\infty }}dr'\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\right)W(r^{\prime })}$

— ядро ​​линзирования , определяющее эффективность линзирования для распределения источников .${\displaystyle W(r)~}$

Якобиан можно разложить на члены конвергенции и сдвига, как и в случае тонкой линзы, а в пределе линзы, которая одновременно тонкая и слабая, их физические интерпретации одинаковы.${\displaystyle A_{ij}~}$

При слабом гравитационном линзировании якобиан отображается путем наблюдения за эффектом сдвига на эллиптичности фоновых галактик. Этот эффект является чисто статистическим; форма любой галактики будет определяться ее случайной, нелинзированной формой, но линзирование создаст пространственно когерентное искажение этих форм .

В большинстве областей астрономии эллиптичность определяется как , где — отношение осей эллипса . В слабом гравитационном линзировании обычно используются два различных определения, и оба являются комплексными величинами, которые определяют как отношение осей, так и позиционный угол :${\displaystyle 1-q~}$${\displaystyle q={\frac {b}{a}}}$${\displaystyle \phi ~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}e^{2i\phi }={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}e^{2i\phi }}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1-q}{1+q}}e^{2i\phi }={\frac {a-b}{a+b}}e^{2i\phi }}$

Как и в случае традиционной эллиптичности, величины обеих этих величин лежат в диапазоне от 0 (круговая) до 1 (отрезок прямой). Позиционный угол закодирован в комплексной фазе, но из-за множителя 2 в тригонометрических аргументах эллиптичность инвариантна при повороте на 180 градусов. Этого и следовало ожидать; эллипс не меняется при повороте на 180°. Взятые как мнимая и действительная части, действительная часть комплексной эллиптичности описывает удлинение вдоль осей координат, тогда как мнимая часть описывает удлинение на 45° от осей.

Эллиптичность часто записывается как двухкомпонентный вектор, а не как комплексное число, хотя это не истинный вектор относительно преобразований:

${\displaystyle \chi =\{\left|\chi \right|\cos 2\phi ,\left|\chi \right|\sin 2\phi \}}$

${\displaystyle \epsilon =\{\left|\epsilon \right|\cos 2\phi ,\left|\epsilon \right|\sin 2\phi \}}$

Реальные астрономические фоновые источники не являются идеальными эллипсами. Их эллиптичности можно измерить, найдя наиболее подходящую эллиптическую модель для данных или измерив вторые моменты изображения относительно некоторого центроида ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

Тогда комплексные эллиптичности равны

${\displaystyle \chi ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}+2{\sqrt {q_{xx}q_{yy}-q_{xy}^{2}}}}}}$

Это можно использовать для связи вторых моментов с традиционными параметрами эллипса:

${\displaystyle q_{xx}=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{yy}=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{xy}=(a^{2}-b^{2})\sin \theta \cos \theta \,}$

и наоборот:

${\displaystyle a^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}+{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}-{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2q_{xy}}{q_{xx}-q_{yy}}}}$

Невзвешенные вторые моменты, указанные выше, проблематичны в присутствии шума, соседних объектов или расширенных профилей галактик, поэтому вместо них обычно используют аподизированные моменты:

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

Вот весовая функция, которая обычно стремится к нулю или быстро приближается к нулю при некотором конечном радиусе.${\displaystyle w(x,y)~}$

Моменты изображения, как правило, не могут быть использованы для измерения эллиптичности галактик без коррекции наблюдательных эффектов , в частности функции рассеяния точки . ^[4]

Напомним, что линзирующий якобиан можно разложить на сдвиг и конвергенцию . Действуя на круговой фоновый источник с радиусом , линзирование порождает эллипс с большой и малой осями${\displaystyle \gamma ~}$${\displaystyle \kappa ~}$${\displaystyle R~}$

${\displaystyle a={\frac {R}{1-\kappa -\gamma }}}$

${\displaystyle b={\frac {R}{1-\kappa +\gamma }}}$

до тех пор, пока сдвиг и конвергенция не меняются заметно по размеру источника (в этом случае линзированное изображение не является эллипсом). Однако галактики не являются по своей сути круглыми, поэтому необходимо количественно оценить эффект линзирования на ненулевую эллиптичность.

Мы можем определить комплексный сдвиг по аналогии с комплексными эллиптичностью, определенными выше.

${\displaystyle \gamma =\left|\gamma \right|e^{2i\phi }}$

а также уменьшенный сдвиг

${\displaystyle g\equiv {\frac {\gamma }{1-\kappa }}}$

Якобиан линзирования теперь можно записать как

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\mathrm {Re} [\gamma ]&-\mathrm {Im} [\gamma ]\\-\mathrm {Im} [\gamma ]&1-\kappa +\mathrm {Re} [\gamma ]\end{array}}\right]=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1-\mathrm {Re} [g]&-\mathrm {Im} [g]\\-\mathrm {Im} [g]&1+\mathrm {Re} [g]\end{array}}\right]}$

Для уменьшенного сдвига и нелинзированных комплексных эллиптичностей и линзированные эллиптичности равны${\displaystyle g~}$${\displaystyle \chi _{s}~}$${\displaystyle \epsilon _{s}~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {\chi _{s}+2g+g^{2}\chi _{s}^{*}}{1+|g|^{2}+2\mathrm {Re} (g\chi _{s}^{*})}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\epsilon _{s}+g}{1+g^{*}\epsilon _{s}}}}$

В пределе слабого линзирования и , поэтому${\displaystyle \gamma \ll 1}$${\displaystyle \kappa \ll 1}$

${\displaystyle \chi \approx \chi _{s}+2g\approx \chi _{s}+2\gamma }$

${\displaystyle \epsilon \approx \epsilon _{s}+g\approx \epsilon _{s}+\gamma }$

Если предположить, что источники ориентированы случайным образом, то их комплексная эллиптичность в среднем равна нулю, поэтому

${\displaystyle \langle \chi \rangle =2\langle \gamma \rangle }$и .${\displaystyle \langle \epsilon \rangle =\langle \gamma \rangle }$

Это основное уравнение слабого линзирования: средняя эллиптичность фоновых галактик является прямой мерой сдвига, вызванного массой переднего фона.

В то время как гравитационное линзирование сохраняет поверхностную яркость, как предписано теоремой Лиувилля , линзирование изменяет видимый телесный угол источника. Величина увеличения определяется отношением площади изображения к площади источника. Для линзы с круговой симметрией коэффициент увеличения μ определяется как

${\displaystyle \mu ={\frac {\theta }{\beta }}{\frac {d\theta }{d\beta }}}$

С точки зрения конвергенции и сдвига

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\det A}}={\frac {1}{[(1-\kappa )^{2}-\gamma ^{2}]}}}$

По этой причине якобиан также известен как «обратная матрица увеличения».${\displaystyle A~}$

Приведенный сдвиг инвариантен относительно масштабирования якобиана скаляром , что эквивалентно преобразованиям${\displaystyle A~}$${\displaystyle \lambda ~}$

${\displaystyle 1-\kappa ^{\prime }=\lambda (1-\kappa )}$

и

${\displaystyle \gamma ^{\prime }=\lambda \gamma }$.

Таким образом, может быть определено только с точностью до преобразования , которое известно как «вырождение массового слоя». В принципе, это вырождение может быть нарушено, если доступно независимое измерение увеличения, поскольку увеличение не является инвариантным относительно вышеупомянутого преобразования вырождения. В частности, масштабируется с как .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa \rightarrow \lambda \kappa +(1-\lambda )}$${\displaystyle \mu ~}$${\displaystyle \lambda ~}$${\displaystyle \mu \propto \lambda ^{-2}}$