Названия больших чисел

В зависимости от контекста (например, языка, культуры, региона, ...) некоторые большие числа имеют названия , которые позволяют описывать большие величины в текстовой форме; не математической . Для очень больших значений текст, как правило, короче десятичного числового представления, хотя длиннее научной нотации .

Две шкалы наименований для больших чисел использовались в английском и других европейских языках с начала современной эпохи: длинная и короткая шкалы . Большинство английских вариантов сегодня используют короткую шкалу, но длинная шкала остается доминирующей во многих неанглоязычных регионах, включая континентальную Европу и испаноязычные страны Латинской Америки . Эти процедуры наименования основаны на том, что число n, встречающееся в 10 ^{3 n +3} (короткая шкала) или 10 ^{6 n} (длинная шкала), и конкатенации латинских корней для его единиц, десятков и сотен вместе с суффиксом -illion .

Названия чисел выше триллиона редко используются на практике; такие большие числа имеют практическое применение в основном в научной сфере, где степени десяти выражаются как 10 с числовым надстрочным индексом. Однако эти довольно редкие названия считаются приемлемыми для приблизительных утверждений. Например, утверждение «В теле взрослого человека содержится приблизительно 7,1 октиллиона атомов» понимается как краткая шкала таблицы ниже (и является точным только в том случае, если ссылаться на короткую шкалу, а не на длинную).

Индийская система счисления использует именованные числа, общие для длинной и короткой шкал до десяти тысяч. Для больших значений она включает именованные числа для каждого кратного 100; включая лакх (10 ⁵ ) и крор (10 ⁷ ). ^[1]

В английском языке также есть слова, такие как zillion , которые неформально используются для обозначения больших, но неопределенных сумм .

Использование:

• Краткая шкала : США , английская Канада , современная Британия , Австралия и Восточная Европа.
• Длинная шкала : Французская Канада , старая Британия , Западная и Центральная Европа

За исключением million , все слова в этом списке, оканчивающиеся на -illion , получены путем добавления префиксов ( bi- , tri- и т. д., полученных из латинского языка) к основе -illion . [ ^11] Centillion ^[12] по-видимому, является самым высоким именем, оканчивающимся на -"illion", которое включено в эти словари. Trigintillion , часто упоминаемое как слово при обсуждении названий больших чисел, не включено ни в один из них, как и ни одно из имен, которые можно легко создать путем расширения шаблона именования ( unvigintillion , duovigintillion , duoquinquagintillion и т. д. ).

Все словари включали googol и googolplex , как правило, приписывая их книге Каснера и Ньюмена и племяннику Каснера (см. ниже). Ни один из них не включает более высоких имен в семействе googol (googolduplex и т. д.). Оксфордский словарь английского языка отмечает, что googol и googolplex «не используются в формальной математике».

Некоторые названия больших чисел, такие как миллион , миллиард и триллион , имеют реальные референты в человеческом опыте и встречаются во многих контекстах, особенно в финансах и экономике. Иногда названия больших чисел были вынуждены войти в общее употребление в результате гиперинфляции . Самой высокой числовой стоимостью банкноты, когда-либо напечатанной, была купюра в 1 секстиллион пенгё ( ¹⁰²¹ или 1 миллиард билпенгё в напечатанном виде), напечатанная в Венгрии в 1946 году. В 2009 году Зимбабве напечатала купюру в 100 триллионов (1014 ⁾ зимбабвийских долларов , которая на момент печати стоила около 30 долларов США. ^[13] В мировой экономике название значительно большего числа было использовано в 2024 году, когда российское новостное агентство РБК заявило, что сумма судебных исков против Google в России составила 2 ундециллиона (2 × 10³⁶ ) рублей , или 20 дециллионов долларов США (2 доллара США × 10³⁴ ); стоимость ,превышающая стоимость всех финансовых активов мира вместе взятых. ^[14] Представитель Кремля Дмитрий Песков заявил, что эта стоимость является символической. ^[15]

Однако названия больших чисел имеют слабое, искусственное существование, редко встречающееся вне определений, списков и обсуждений того, как называются большие числа. Даже такие устоявшиеся названия, как секстиллион , используются редко, поскольку в контексте науки, включая астрономию, где такие большие числа встречаются часто, они почти всегда записываются с использованием научной нотации . В этой нотации степени десяти выражаются как 10 с числовым надстрочным индексом, например, «Рентгеновское излучение радиогалактики1,3 × 10 ⁴⁵  джоулей ». Когда число, например 10 ^{45 ,} необходимо выразить словами, его просто читают как «десять в сорок пятой степени» или «десять в сорок пятой степени». Это проще сказать и менее двусмысленно, чем «кватуордециллион», который в длинной и короткой шкале означает нечто разное.

Когда число представляет собой количество, а не счет, можно использовать префиксы СИ — например, « фемтосекунда », а не «одна квадриллионная секунды», — хотя часто вместо некоторых очень высоких и очень низких префиксов используются степени десяти. В некоторых случаях используются специализированные единицы, такие как парсек и световой год астронома или амбар физика-теоретика .

Тем не менее, большие числа обладают интеллектуальным очарованием и представляют математический интерес, а предоставление им названий — это один из способов, с помощью которых люди пытаются их концептуализировать и понять.

Одним из самых ранних примеров этого является «Песочный счетовод », в котором Архимед дал систему для обозначения больших чисел. Для этого он назвал числа до мириады мириады (10 ⁸ ) «первыми числами», а само 10 ⁸ назвал «единицей вторых чисел». Кратные этой единицы затем стали вторыми числами, вплоть до этой единицы, взятой мириаду мириады раз, 10 ⁸ ·10 ⁸ =10 ¹⁶ . Это стало «единицей третьих чисел», чьи кратные были третьими числами, и так далее. Архимед продолжал называть числа таким образом до мириады мириад, умноженных на единицу 10 ⁸ -ных чисел, т. е. и встроил эту конструкцию в другую свою копию, чтобы производить названия для чисел вплоть до 10 8 -ных чисел. Затем Архимед подсчитал количество песчинок, которое потребовалось бы для заполнения известной нам Вселенной, и обнаружил, что оно не превышает «тысячи мириад восьмых чисел» (10 ⁶³ ).${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{8}},}$${\displaystyle ((10^{8})^{(10^{8})})^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}$

С тех пор многие другие занялись концептуализацией и наименованием чисел, которые не существуют вне воображения. Одной из мотиваций для такого занятия является то, что приписывается изобретателю слова googol , который был уверен, что любое конечное число «должно иметь имя». Другой возможной мотивацией является соревнование между студентами на курсах компьютерного программирования, где распространенным упражнением является написание программы для вывода чисел в форме английских слов. ^{[ необходима цитата ]}

Большинство названий, предложенных для больших чисел, принадлежат к систематическим схемам, которые являются расширяемыми. Таким образом, многие названия для больших чисел являются просто результатом следования системе наименования до ее логического завершения — или ее дальнейшего расширения. ^{[ необходима цитата ]}

Слова bymillion и trimillion впервые были записаны в 1475 году в рукописи Жана Адама . Впоследствии Николя Шюке написал книгу Triparty en la science des nombres , которая не была опубликована при жизни Шюке. Однако большую ее часть скопировал Этьенн де Ла Рош для части своей книги 1520 года L'arismetique . В книге Шюке есть отрывок, в котором он показывает большое число, размеченное на группы по шесть цифр, с комментарием:

Ou qui veult le Premier Point Peult Signiffier Million Le Second Point Byllion Le tiers Point триллион Le Quart Quadrillion Le cinq ^e Quyllion Le Six ^e Sixlion Le sept. ^e septyllion Le huyt ^e ottyllion Le neuf ^e nonyllion et ainsi des ault's ^se plus ultre on vouloit previous

(Или, если вам так больше нравится, первая отметка может означать миллион, вторая отметка — миллиард, третья отметка — триллион, четвертая отметка — квадриллион, пятая отметка — квиллион, шестая отметка — секстилион, седьмая отметка — септилион, восьмая отметка — нонилион, и так далее, по вашему желанию).

Адам и Шуке использовали длинную шкалу степеней миллиона; то есть, баймиллион Адама ( байллион Шуке ) обозначал 10 ^{12 , а} тримиллион Адама ( триллион Шуке ) обозначал 10 ¹⁸ .

Названия гугол и гуголплекс были придуманы племянником Эдварда Каснера Милтоном Сироттой и введены в книге Каснера и Ньюмана 1940 года «Математика и воображение» ^[16] в следующем отрывке:

Название «гугол» придумал ребенок (девятилетний племянник доктора Каснера), которого попросили придумать название для очень большого числа, а именно 1 со ста нулями после него. Он был совершенно уверен, что это число не бесконечно, и поэтому столь же уверен, что у него должно быть название. В то же время, когда он предложил «гугол», он дал название еще большему числу: «гуголплекс». Гуголплекс намного больше гугола, но все равно конечен, на что быстро указал изобретатель названия. Сначала было предложено, что гуголплекс должен быть 1, а затем писать нули, пока не устанешь. Это описание того, что произойдет, если попытаться написать гуголплекс, но разные люди устают в разное время, и никогда не будет так, чтобы Карнера был лучшим математиком, чем доктор Эйнштейн , просто потому, что у него больше выносливости. Таким образом, гуголплекс — это определенное конечное число, равное 1 с гуголом нулей после него.

Джон Хортон Конвей и Ричард К. Гай ^[17] предложили использовать N-плекс в качестве названия для 10 ^N . Это приводит к названию гуголплексплекс для 10 ^{гуголплекс} = 10 ^{10 10 100} . Конвей и Гай ^[17] предложили использовать N-майнекс в качестве названия для 10 ^−N , что приводит к названию гуголмайнекс для обратной величины гуголплекса, которая записывается как 10 ^{-(10 100 )} . Ни одно из этих названий не имеет широкого распространения.

Названия googol и googolplex вдохновили интернет-компанию Google и ее корпоративную штаб-квартиру , Googleplex , соответственно. ^{[ необходима цитата ]}

В этом разделе проиллюстрированы несколько систем наименования больших чисел и показано, как их можно расширить за пределы vigintillion .

Традиционное британское использование присваивало новые названия каждой степени миллиона ( длинная шкала ): 1 000 000 = 1 миллион ; 1 000 000 ² = 1 миллиард ; 1 000 000 ³ = 1 триллион ; и т. д. Оно было адаптировано из французского использования и похоже на систему, которая была задокументирована или изобретена Шуке .

Традиционное американское использование (которое также было адаптировано из французского использования, но в более позднее время), канадское и современное британское использование присваивают новые названия каждой степени тысячи ( короткая шкала ). Таким образом, миллиард равен 1000 × 1000 ² = 10 ⁹ ; триллион равен 1000 × 1000 ³ = 10 ¹² ; и так далее. Из-за его доминирования в финансовом мире (и доллара США ) это было принято для официальных документов Организации Объединенных Наций .

Традиционное французское использование менялось: в 1948 году Франция, которая изначально популяризировала короткую шкалу во всем мире, вернулась к длинной шкале.

Термин миллиард недвусмыслен и всегда означает 10 ⁹ . Он редко встречается в американском употреблении и редко в британском употреблении, но часто в континентальной Европе. Термин иногда приписывается французскому математику Жаку Пелетье дю Ману около  1550 года (по этой причине длинная шкала также известна как система Шюке-Пелетье ), но Оксфордский словарь английского языка утверждает, что термин происходит от постклассического латинского термина milliartum , который стал milliare и затем milliart и, наконец, нашим современным термином.

Что касается названий, заканчивающихся на -illiard для чисел 10 ^{6 n +3} , то billionard , безусловно, широко используется в языках, отличных от английского, но степень фактического использования более крупных терминов сомнительна. Термины "milliardo" на итальянском, "Milliarde" на немецком, "miljard" на голландском, "milyar" на турецком и "миллиард", billionard (транслитерация) на русском, являются стандартным использованием при обсуждении финансовых тем.

Процедура наименования больших чисел основана на том, что число n, встречающееся в 10 ^{3 n +3} (короткая шкала) или 10 ^{6 n} (длинная шкала), соединяется с латинскими корнями для его единиц, десятков и сотен вместе с суффиксом -illion . Таким образом, можно наименовать числа до 10 ^{3 · 999 + 3}  = 10 ³⁰⁰⁰ (короткая шкала) или 10 ^{6 · 999}  = 10 ⁵⁹⁹⁴ (длинная шкала). Выбор корней и процедура наименования такие же, как и в стандартных словарных числах, если n равно 9 или меньше. Для больших n (от 10 до 999) префиксы могут быть построены на основе системы, описанной Конвеем и Гаем. ^[17] Сегодня сексдециллион и новемдециллион являются стандартными словарными числами и, используя те же рассуждения, что и Конвей и Гай для чисел до нониллиона, вероятно, могли бы использоваться для формирования приемлемых префиксов. Система Конвея–Гая для формирования префиксов:

^(*) ^ Если слово предшествует компоненту, обозначенному ^S или ^X , «tre» меняется на «tres», а «se» на «ses» или «sex»; аналогично, если слово предшествует компоненту, обозначенному ^M или ^N , «septe» и «nove» меняются на «septem» и «novem» или «septen» и «noven».

Поскольку система использования латинских префиксов станет неоднозначной для чисел со степенями такого размера, до которого римляне редко считали, например, 10 ^{6 000 258} , Конвей и Гай совместно с Алланом Векслером разработали следующий набор последовательных соглашений, которые в принципе позволяют расширять эту систему до бесконечности, чтобы предоставить английские сокращенные названия для любых целых чисел. ^[17] Название числа 10 ^{3 n +3} , где n больше или равно 1000, формируется путем конкатенации названий чисел вида 10 ^{3 m +3} , где m представляет каждую группу разделенных запятыми цифр числа n , при этом все, кроме последнего, «-illion» обрезается до «-illi-», или, в случае m = 0, либо до «-nilli-», либо до «-nillion». ^[17] Например, 10 ^{3 000 012} , 1 000 003-е число «-иллион», равно одному «миллилитриллиону»; 10 ^{33 002 010 111} , 11 000 670 036-е число «-иллион», равно одному «ундециллиниллисептуагинтасесцентиллисестригинтиллиону»; и 10 ^{29 629 629 633} , 9 876 543 210-е число «-иллион», равно одному «нониллисептуагинтаоктингентиллитресквадрагинтаквингентиллидецидуцентиллиону». ^[17]

В следующей таблице показаны названия чисел, сгенерированные системой, описанной Конвеем и Гаем для короткой и длинной шкал. ^[18]

^[1] Короткое название шкалы Гуголплекс происходит от того, что она равна десяти 3,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​332-й "-иллион" (Это значение n когда 10 × 10 ^{(3n + 3)} = 10 ^{10 100} )

^[2] Длинное название числа Гуголплекс (как традиционное британское, так и традиционное европейское) происходит от того, что оно равно десяти тысячам 1,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666,​666-й "-иллион" (Это значение n когда 10 000 × 10 ⁶ⁿ = 10 ^{10 100} ).

Международная система величин (ISQ) определяет ряд префиксов, обозначающих целые степени числа 1024 между 1024 ¹ и 1024 ⁸ . ^[20]