Число Скьюза
Нерешенная задача по математике :
Каково наименьшее число Скьюза?
(еще нерешенные проблемы по математике)
Большое число, используемое в теории чисел

В теории чисел число Скьюза — это любое из нескольких больших чисел, используемых южноафриканским математиком Стэнли Скьюзом в качестве верхних границ наименьшего натурального числа , для которого х {\displaystyle x}

π ( х ) > ли ⁡ ( х ) , {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}

где π — функция подсчета простых чисел , а li — логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза намного больше, но теперь известно, что существует пересечение между и около Неизвестно, является ли это наименьшим пересечением. π ( х ) < ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \пи (x)<\operatorname {li} (x)} π ( х ) > ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} е 727.95133 < 1.397 × 10 316 . {\displaystyle e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.}

Числа Скьюза

JE Littlewood , который был научным руководителем Скьюза , доказал в Littlewood (1914), что существует такое число (и, таким образом, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разности меняется бесконечно много раз. Все доступные тогда числовые доказательства, казалось, предполагали, что всегда меньше, чем , однако доказательство Littlewood не показало конкретного такого числа . π ( х ) − ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} π ( х ) {\displaystyle \пи (x)} ли ⁡ ( х ) . {\displaystyle \operatorname {li} (x).} х {\displaystyle x}

Скьюз (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, то существует число, нарушающее ниже х {\displaystyle x} π ( х ) < ли ⁡ ( х ) , {\displaystyle \пи (x)<\operatorname {li} (x),}

е е е 79 < 10 10 10 34 . {\displaystyle е^{е^{е^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}

Не принимая гипотезу Римана, Скьюз (1955) доказал, что существует значение ниже х {\displaystyle x}

е е е е 7.705 < 10 10 10 964 . {\displaystyle е^{е^{е^{е^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}

Задачей Скьюза было сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : показать некоторую конкретную верхнюю границу для первой смены знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это не считалось очевидным даже в принципе.

Более поздние оценки

Эти верхние границы с тех пор были значительно снижены с помощью крупномасштабных компьютерных вычислений нулей дзета -функции Римана . Первая оценка фактического значения точки пересечения была дана Леманом (1966), который показал, что где-то между и существует более последовательных целых чисел с . Не предполагая гипотезу Римана, HJJ te Riele  (1987) доказал верхнюю границу . Лучшая оценка была обнаружена Бэйсом и Хадсоном (2000), которые показали, что существует по крайней мере последовательные целые числа где-то вблизи этого значения, где . Бэйс и Хадсон нашли несколько гораздо меньших значений , где приближается к ; возможность того, что существуют точки пересечения вблизи этих значений, по-видимому, пока окончательно не исключена, хотя компьютерные вычисления показывают, что они вряд ли существуют. Чао и Плимен (2010) дали небольшое улучшение и исправление результата Бэйса и Хадсона. Saouter & Demichel (2010) нашли меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Zegowitz (2010). Тот же источник показывает, что существует число, нарушающее ниже . Это можно свести к предположению гипотезы Римана. Stoll & Demichel (2011) дали . 1.53 × 10 1165 {\displaystyle 1.53\times 10^{1165}} 1.65 × 10 1165 {\displaystyle 1.65\times 10^{1165}} 10 500 {\displaystyle 10^{500}} х {\displaystyle x} π ( х ) > ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} 7 × 10 370 {\displaystyle 7\times 10^{370}} 1.39822 × 10 316 {\displaystyle 1.39822\times 10^{316}} 10 153 {\displaystyle 10^{153}} π ( х ) > ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} х {\displaystyle x} π ( х ) {\displaystyle \пи (x)} ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)} х {\displaystyle x} π ( х ) < ли ⁡ ( х ) , {\displaystyle \пи (x)<\operatorname {li} (x),} е 727.9513468 < 1.39718 × 10 316 {\displaystyle e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}} е 727.9513386 < 1.39717 × 10 316 {\displaystyle e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}} 1.39716 × 10 316 {\displaystyle 1.39716\times 10^{316}}

Годоколо х# использованных комплексных
нулей		к
20001,39822 × 103161 × 106Бэйс и Хадсон
20101,39801 × 103161 × 107Чао и Плимен
20101,397166 × 103162,2 × 107Саутер и Демишель
20111,397162 × 103162,0 × 1011Столл и Демишель

Строго говоря, Россер и Шенфельд (1962) доказали, что ниже точек пересечения нет , улучшенные Брентом (1975) до , Котником (2008) до , Платтом и Трудгианом (2014) до , и Бюте (2015) до . х = 10 8 {\displaystyle x=10^{8}} 8 × 10 10 {\displaystyle 8\times 10^{10}} 10 14 {\displaystyle 10^{14}} 1.39 × 10 17 {\displaystyle 1.39\times 10^{17}} 10 19 {\displaystyle 10^{19}}

Не существует явного значения, которое бы наверняка обладало этим свойством, хотя компьютерные расчеты предлагают некоторые явные числа, которые, вполне вероятно, удовлетворяют этому свойству. х {\displaystyle x} π ( х ) > ли ⁡ ( х ) , {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}

Несмотря на то, что естественная плотность положительных целых чисел для которых не существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих положительных целых чисел существует и положительна. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно много, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример. π ( х ) > ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}

Формула Римана

Риман дал явную формулу для , главные члены которой (игнорируя некоторые тонкие вопросы сходимости) π ( х ) {\displaystyle \пи (x)}

π ( х ) = ли ⁡ ( х ) − 1 2 ли ⁡ ( х ) − ∑ ρ ли ⁡ ( х ρ ) + меньшие сроки {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{меньшие члены}}}

где сумма берется по всем нетривиальным нулям дзета-функции Римана . ρ {\displaystyle \ро}

Наибольший член ошибки в приближении (если гипотеза Римана верна) отрицателен , показывая, что обычно больше . Другие члены выше несколько меньше и, кроме того, имеют тенденцию иметь разные, на первый взгляд случайные сложные аргументы , поэтому в основном сокращаются. Однако иногда несколько из более крупных членов могут иметь примерно одинаковый сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга вместо сокращения и будут подавлять член . π ( х ) ≈ ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \пи (x)\approx \operatorname {li} (x)} 1 2 ли ⁡ ( х ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})} ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)} π ( х ) {\displaystyle \пи (x)} 1 2 ли ⁡ ( х ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}

Причина, по которой число Скьюза так велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше ведущего члена ошибки, в основном потому, что первый комплексный ноль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть , поэтому большое их количество (несколько сотен) должно иметь примерно одинаковый аргумент, чтобы подавить доминирующий член. Вероятность того, что случайные комплексные числа будут иметь примерно одинаковый аргумент, составляет около 1 из . Это объясняет, почему иногда больше, чем , а также почему это случается редко. Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана. Н {\displaystyle N} 2 Н {\displaystyle 2^{N}} π ( х ) {\displaystyle \пи (x)} ли ⁡ ( х ) , {\displaystyle \operatorname {li} (x),}

Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку он предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из теоремы аппроксимации Дирихле , чтобы показать, что иногда многие члены имеют примерно одинаковый аргумент. В случае, если гипотеза Римана ложна, аргумент намного проще, по сути, потому что члены для нулей, нарушающих гипотезу Римана (с действительной частью, большей ⁠ ли ⁡ ( х ρ ) {\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })} 1/2⁠ ) ​​в конечном итоге больше, чем . ли ⁡ ( х 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}

Причина этого термина в том, что, грубо говоря, на самом деле считает степени простых чисел , а не сами простые числа, с весом . Этот термин примерно аналогичен поправке второго порядка, учитывающей квадраты простых чисел. 1 2 л я ( х 1 / 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})} л я ( х ) {\ displaystyle \ mathrm {li} (x)} п н {\displaystyle p^{n}} 1 н {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 1 2 л я ( х 1 / 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}

Эквивалент простого числак-кортежи

Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -кортежей (Tóth (2019)). Пусть обозначает простой ( k  + 1)-кортеж, число простых чисел ниже, таких, что все они являются простыми, пусть и пусть обозначает его константу Харди–Литтлвуда (см. Первую гипотезу Харди–Литтлвуда ). Тогда первое простое число , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для ( k  + 1)-кортежа , т. е. первое простое число, такое, что П = ( п , п + я 1 , п + я 2 , . . . , п + я к ) {\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})} π П ( х ) {\displaystyle \пи _{P}(x)} п {\displaystyle p} х {\displaystyle x} п , п + я 1 , п + я 2 , . . . , п + я к {\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}} л я П ⁡ ( х ) = ∫ 2 х г т ( вн ⁡ т ) к + 1 {\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}} С П {\displaystyle C_{P}} п {\displaystyle p} П {\displaystyle P} п {\displaystyle p}

π П ( п ) > С П ли П ⁡ ( п ) , {\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}

(если такое простое число существует) — это число Скьюза для П . {\displaystyle П.}

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюза для простых k -кортежей:

Простой k -кортежЧисло СкьюзаНайдено
( п , п  + 2)1369391Волк (2011)
( п , п  + 4)5206837Тот (2019)
( п , п  + 2, п  + 6)87613571Тот (2019)
( п , п  + 4, п  + 6)337867Тот (2019)
( п , п  + 2, п  + 6, п  + 8)1172531Тот (2019)
( п , п  + 4, п  +6, п  + 10)827929093Тот (2019)
( п , п  + 2, п  + 6, п  + 8, п  + 12)21432401Тот (2019)
( п , п  +4, п  +6, п  + 10, п  + 12)216646267Тот (2019)
( п , п  + 4, п  + 6, п  + 10, п  + 12, п  + 16)251331775687Тот (2019)
( п , п +2, п +6, п +8, п +12, п +18, п +20)7572964186421Пфёртнер (2020)
( п , п +2, п +8, п +12, п +14, п +18, п +20)214159878489239Пфёртнер (2020)
( п , п +2, п +6, п +8, п +12, п +18, п +20, п +26)1203255673037261Пфёртнер / Лун (2021)
( п , п +2, п +6, п +12, п +14, п +20, п +24, п +26)523250002674163757Лун / Пфёртнер (2021)
( п , п +6, п +8, п +14, п +18, п +20, п +24, п +26)750247439134737983Пфёртнер / Лун (2021)

Число Скьюза (если оно существует) для сексуальных простых чисел до сих пор неизвестно. ( п , п + 6 ) {\displaystyle (п,п+6)}

Также неизвестно, имеют ли все допустимые k -кортежи соответствующее число Скьюза.

Смотрите также

Ссылки

  • Bays, C.; Hudson, RH (2000), "Новая граница для наименьшего x {\displaystyle x} с π ( x ) > li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} " (PDF) , Mathematics of Computation , 69 (231): 1285–1296, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01104-7 , MR  1752093, Zbl  1042.11001
  • Брент, РП (1975), «Нерегулярности в распределении простых чисел и простых чисел-близнецов», Математика вычислений , 29 (129): 43–56, doi : 10.2307/2005460 , JSTOR  2005460, MR  0369287, Zbl  0295.10002
  • Бюте, Ян (2015), Аналитический метод ограничения ψ ( х ) {\displaystyle \пси (x)} , arXiv : 1511.02032 , Bibcode : 2015arXiv151102032B
  • Чао, Куок Фай; Плимен, Роджер (2010), «Новая граница для наименьшего с », Международный журнал теории чисел , 6 (3): 681–690, arXiv : math/0509312 , doi :10.1142/S1793042110003125, MR  2652902, Zbl  1215.11084 х {\displaystyle x} π ( х ) > ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}
  • Котник, Т. (2008), «Функция подсчета простых чисел и ее аналитические приближения», Успехи вычислительной математики , 29 (1): 55–70, doi :10.1007/s10444-007-9039-2, MR  2420864, ​​S2CID  18991347, Zbl  1149.11004
  • Леман, Р. Шерман (1966), «О разнице π ( Икс ) - ли ⁡ ( Икс ) {\ displaystyle \ pi (x)-\operatorname {li} (x)}», Acta Arithmetica , 11 : 397– 410, doi : 10.4064/aa-11-4-397-410 , MR  0202686, Збл  0151.04101
  • Литтлвуд, Дж. Э. (1914), «Sur la Distribution des nombres premiers», Comptes Rendus , 158 : 1869–1872, JFM  45.0305.01
  • Платт, DJ; Труджиан, TS (2014), О первой смене знака θ ( х ) − х {\displaystyle \theta (x)-x} , arXiv : 1407.1914 , Bibcode : 2014arXiv1407.1914P
  • te Riele, HJJ (1987), «О знаке разности », Mathematics of Computation , 48 (177): 323–328, doi : 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR  2007893, MR  0866118 π ( х ) − ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}
  • Россер, Дж. Б.; Шенфельд , Л. (1962), «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел», Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, doi : 10.1215/ijm/1255631807 , MR  0137689
  • Saouter, Yannick; Demichel, Patrick (2010), «Острая область, где положительно», Mathematics of Computation , 79 (272): 2395–2405, doi : 10.1090/S0025-5718-10-02351-3 , MR  2684372 π ( х ) − ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}
  • Рубинштейн, М.; Сарнак, П. (1994), «Смещение Чебышева», Experimental Mathematics , 3 (3): 173–197, doi :10.1080/10586458.1994.10504289, MR  1329368
  • Скьюз, С. (1933), «О различии », Журнал Лондонского математического общества , 8 : 277–283, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM  59.0370.02, Zbl  0007.34003 π ( х ) − ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}
  • Скьюз, С. (1955), «О различии (II)», Труды Лондонского математического общества , 5 : 48–70, doi :10.1112/plms/s3-5.1.48, MR  0067145 π ( х ) − ли ⁡ ( х ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}
  • Столл, Дуглас; Демишель, Патрик (2011), «Влияние комплексных нулей на for », Математика вычислений , 80 (276): 2381–2394, doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4 , MR  2813366 ζ ( с ) {\displaystyle \дзета (с)} π ( х ) {\displaystyle \пи (x)} х < 10 10 13 {\displaystyle х<10^{10^{13}}}
  • Tóth, László (2019), "Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда" (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 25 (3), doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID  203836016.
  • Винтнер, А. (1941), «О функции распределения остаточного члена теоремы о простых числах», American Journal of Mathematics , 63 (2): 233–248, doi :10.2307/2371519, JSTOR  2371519, MR  0004255
  • Вольф, Марек (2011), «Число Скьюза для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2(x) − C2Li2(x)» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 17 : 87–92, doi :10.12921/cmst.2011.17.01.87-92, S2CID  59578795.
  • Zegowitz, Stefanie (2010), О положительной области π ( x ) − li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} (магистры), Магистерская работа, Манчестерский институт математических наук, Математическая школа, Манчестерский университет
  • Демичелс, Патрик. "Функция подсчета простых чисел и связанные с ней предметы" (PDF) . Демичел . Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2006 г. . Получено 29 сентября 2009 г. .
  • Азимов, И. (1976). «Пронзенный!». О делах больших и малых . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Skewes%27s_number&oldid=1235492159"