Эквивариантный пучок

В математике, если задано действие групповой схемы G на схеме X над базовой схемой S , то эквивариантный пучок F на X является пучком -модулей вместе с изоморфизмом -модулей σ : Г × С Х → Х {\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X} О Х {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} О Г × С Х {\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}

ϕ : σ ∗ Ф → ≃ п 2 ∗ Ф {\displaystyle \phi :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F}  

который удовлетворяет условию коцикла: [1] [2] запись m для умножения,

п 23 ∗ ϕ ∘ ( 1 Г × σ ) ∗ ϕ = ( м × 1 Х ) ∗ ϕ {\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi } .

Примечания к определению

На уровне стебля условие коцикла говорит, что изоморфизм совпадает с композицией ; т. е. ассоциативность действия группы. Условие, что единица группы действует как тождество, также является следствием: применим к обеим сторонам, чтобы получить и, следовательно, тождество. Ф г час ⋅ х ≃ Ф х {\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}} Ф г ⋅ час ⋅ х ≃ Ф час ⋅ х ≃ Ф х {\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}} ( е × е × 1 ) ∗ , е : С → Г {\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G} ( е × 1 ) ∗ ϕ ∘ ( е × 1 ) ∗ ϕ = ( е × 1 ) ∗ ϕ {\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi } ( е × 1 ) ∗ ϕ {\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }

Заметим, что — дополнительные данные; это «подъем» действия G на X до пучка F. Более того, когда G — связная алгебраическая группа, F — обратимый пучок, а X — приведенный, условие коцикла выполняется автоматически: любой изоморфизм автоматически удовлетворяет условию коцикла (этот факт отмечен в конце доказательства гл. 1, § 3., предложения 1.5. «геометрической инвариантной теории» Мамфорда). ϕ {\displaystyle \фи} σ ∗ Ф ≃ п 2 ∗ Ф {\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}

Если действие G свободно, то понятие эквивариантного пучка упрощается до пучка на фактор-пространстве X / G из-за спуска по торсорам .

По лемме Йонеды , задать структуру эквивариантного пучка -модулю F - то же самое, что задать групповые гомоморфизмы для колец R над , О Х {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} С {\displaystyle S}

Г ( Р ) → Авт ⁡ ( Х × С Спецификация ⁡ Р , Ф ⊗ С Р ) {\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)} . [3]

Существует также определение эквивариантных пучков в терминах симплициальных пучков . В качестве альтернативы можно определить эквивариантный пучок как эквивариантный объект в категории, скажем, когерентных пучков.

Линеаризованные линейные пучки

Структура эквивариантного пучка на обратимом пучке или линейном расслоении также называется линеаризацией .

Пусть X — полное многообразие над алгебраически замкнутым полем, на которое действует связная редуктивная группа G , а L — обратимый пучок на нем. Если X нормально, то некоторая тензорная степень L линеаризуема . [4] Л н {\displaystyle L^{n}}

Кроме того, если L очень обильно и линеаризовано, то существует G -линейное замкнутое погружение из X в такое, что линеаризовано, а линеаризация на L индуцируется линеаризацией . [5] П Н {\displaystyle \mathbf {P} ^{N}} О П Н ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)} О П Н ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}

Тензорные произведения и обратные линеаризованных обратимых пучков снова линеаризуются естественным образом. Таким образом, классы изоморфизма линеаризованных обратимых пучков на схеме X образуют абелеву группу. Существует гомоморфизм в группу Пикара схемы X , который забывает линеаризацию; этот гомоморфизм не является ни инъективным, ни сюръективным в общем случае, и его ядро ​​можно отождествить с классами изоморфизма линеаризаций тривиального линейного расслоения.

См. пример 2.16 из [1] для примера многообразия, для которого большинство линейных расслоений не линеаризуемы.

Двойственное действие на сечениях эквивариантных пучков

Дана алгебраическая группа G и G -эквивариантный пучок F на X над полем k , пусть будет пространством глобальных сечений . Тогда оно допускает структуру G -модуля; т.е. V является линейным представлением G следующим образом. Записывая для действия группы, для каждого g в G и v в V , пусть В = Г ( Х , Ф ) {\displaystyle V=\Гамма (X,F)} σ : Г × Х → Х {\displaystyle \sigma :G\times X\to X}

π ( г ) в = ( φ ∘ σ ∗ ) ( в ) ( г − 1 ) {\displaystyle \pi (g)v = (\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}

где и — изоморфизм, заданный структурой эквивариантного пучка на F. Условие коцикла тогда гарантирует, что — гомоморфизм групп (т. е. — представление). σ ∗ : В → Г ( Г × Х , σ ∗ Ф ) {\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)} φ : Г ( Г × Х , σ ∗ Ф ) → ∼ Г ( Г × Х , п 2 ∗ Ф ) = к [ Г ] ⊗ к В {\displaystyle \varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F) {\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*} F)=k[G]\otimes _{k}V} π : Г → Г Л ( В ) {\displaystyle \pi:G\to GL (V)} π {\displaystyle \пи}

Пример : взять и действие G на себя. Тогда и Х = Г , Ф = О Г {\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}} σ = {\displaystyle \sigma =} V = k [ G ] {\displaystyle V=k[G]} ( φ ∘ σ ∗ ) ( f ) ( g , h ) = f ( g h ) {\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}

( π ( g ) f ) ( h ) = f ( g − 1 h ) {\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)} ,

значение — это левое регулярное представление G. π {\displaystyle \pi }

Представление, определенное выше, является рациональным представлением : для каждого вектора v в V существует конечномерный G -подмодуль V , содержащий v . [6] π {\displaystyle \pi }

Эквивариантное векторное расслоение

Определение проще для векторного расслоения (т. е. многообразия, соответствующего локально свободному пучку постоянного ранга). Мы говорим, что векторное расслоение E на алгебраическом многообразии X, действующее под действием алгебраической группы G, является эквивариантным, если G действует послойно: т. е. является «линейным» изоморфизмом векторных пространств. [7] Другими словами, эквивариантное векторное расслоение — это пара, состоящая из векторного расслоения и поднятия действия до действия так, что проекция эквивариантна. g : E x → E g x {\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}} G × X → X {\displaystyle G\times X\to X} G × E → E {\displaystyle G\times E\to E} E → X {\displaystyle E\to X}

Так же, как и в неэквивариантной ситуации, можно определить эквивариантный характеристический класс эквивариантного векторного расслоения.

Примеры

  • Касательное расслоение многообразия или гладкого многообразия является эквивариантным векторным расслоением.
  • Пучок эквивариантных дифференциальных форм .
  • Пусть G — полупростая алгебраическая группа, а λ:H→ C — характер на максимальном торе H . Он продолжается до борелевской подгруппы λ:B→ C , давая одномерное представление W λ группы B . Тогда GxW λ — тривиальное векторное расслоение над G, на которое действует B. Фактор L λ =Gx B W λ по действию B — это линейное расслоение над многообразием флагов G/B . Заметим, что G→G/B — это расслоение B , так что это всего лишь пример конструкции ассоциированного расслоения. Теорема Бореля–Вейля–Ботта утверждает, что все представления G возникают как когомологии таких линейных расслоений.
  • Если X=Spec(A) — аффинная схема, то действие G m на X — это то же самое, что и градуировка Z на A. Аналогично, эквивариантный квазикогерентный пучок G m на X — это то же самое, что и модуль A с градуировкой Z. [ требуется ссылка ]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ МФК 1994, Гл. 1. § 3. Определение 1.6.
  2. ^ Гайцгори 2005, § 6.
  3. ^ Томпсон 1987, § 1.2.
  4. ^ MFK 1994, Гл. 1. § 3. Следствие 1.6.
  5. ^ МФК 1994, Гл. 1. § 3. Предложение 1.7.
  6. ^ MFK 1994, Ch. 1. § 1. лемма сразу после определения 1.3.
  7. ^ Если E рассматривать как пучок, то g необходимо заменить на . g − 1 {\displaystyle g^{-1}}

Ссылки

  • Дж. Бернштейн, В. Лунц, «Эквивариантные пучки и функторы», Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994).
  • Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.
  • Gaitsgory, D. (2005). "Geometric Representation theory, Math 267y, Fall 2005" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 января 2015 г.
  • Томпсон, Р. У. (1987). "Алгебраическая K-теория действий групповых схем". В Browser, Уильям (ред.). Алгебраическая топология и алгебраическая K-теория: труды конференции, 24-28 октября 1983 г. в Принстонском университете, посвященной Джону К. Муру в день его 60-летия . Том 113. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 539-563. ISBN 9780691084268.
  • Эквивариантные пучки
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Equivariant_sheaf&oldid=1156761899"