Формула локализации для эквивариантных когомологий

В дифференциальной геометрии формула локализации утверждает, что для эквивариантно замкнутой эквивариантной дифференциальной формы на орбифолде M с действием тора и для достаточно малого в алгебре Ли тора T имеем${\displaystyle \альфа}$ ${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle {1 \over d_{M}}\int _{M}\alpha (\xi )=\sum _{F}{1 \over d_{F}}\int _{F}{\alpha (\xi ) \over e_{T}(F)(\xi )}}$

где сумма пробегает все связные компоненты F множества неподвижных точек, — кратность орбифолда ( которая равна , если — многообразие), а — эквивариантная форма Эйлера нормального расслоения .${\displaystyle М^{Т}}$${\displaystyle d_{M}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle М}$${\displaystyle e_{T}(F)}$${\displaystyle F}$

Формула позволяет вычислить эквивариантное когомологическое кольцо орбифолда M (особый вид дифференцируемого стека ) из эквивариантных когомологий его неподвижных точек с точностью до кратностей и форм Эйлера. Аналог таких результатов не выполняется в неэквивариантных когомологиях.

Одним из важных следствий формулы является теорема Дуйстермаата–Хекмана , которая гласит: предположим, что существует действие гамильтоновой окружности (для простоты) на компактном симплектическом многообразии M размерности 2 n ,

${\displaystyle \int _{M}e^{-tH}\omega ^{n}/n!=\sum _{p}{e^{-tH(p)} \over t^{n}\prod \alpha _{j}(p)}.}$

где H — гамильтониан для действия окружности, сумма берется по точкам, фиксированным действием окружности, и является собственными значениями на касательном пространстве в точке p (ср. Действие группы Ли ).${\displaystyle \alpha _{j}(p)}$

Формула локализации может также вычислить преобразование Фурье (симплектической формы Костанта на) коприсоединенной орбите, что дает формулу интегрирования Хариш-Чандры, которая в свою очередь дает формулу характера Кириллова .

Теорема локализации для эквивариантных когомологий в нерациональных коэффициентах обсуждается в работах Дэниела Квиллена .

This section needs expansion. You can help by adding to it. (November 2014)

Теорема локализации утверждает, что эквивариантные когомологии могут быть восстановлены с точностью до торсионных элементов из эквивариантных когомологий подмножества неподвижных точек. Это не распространяется дословно на неабелево действие. Но все еще существует версия теоремы локализации для неабелевых действий.

• Атья, Майкл ; Рауль, Ботт (1984), «Отображение моментов и эквивариантные когомологии», Топология , 23 (1): 1– 28, doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Лю, Кефэн (2006), «Локализация и гипотезы из дуальности струн», в Ge, Mo-Lin; Zhang, Weiping (ред.), Дифференциальная геометрия и физика , Nankai Tracts in Mathematics, т. 10, World Scientific, стр.  63–105 , ISBN 978-981-270-377-4, г-н  2322389
• Майнренкен, Экхард (1998), «Симплектическая хирургия и оператор спина — Дирака», Успехи в математике , 134 (2): 240–277 , doi : 10.1006/aima.1997.1701${\displaystyle ^{c}}$
• Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр эквивариантного кольца когомологий, I», Annals of Mathematics , Вторая серия, 94 (3): 549–572 , doi :10.2307/1970770, JSTOR  1970770; Квиллен, Дэниел (1971), «Спектр эквивариантного кольца когомологий, II», Annals of Mathematics , вторая серия, 94 (3): 573– 602, doi :10.2307/1970771, JSTOR  1970771

Эта статья по дифференциальной геометрии — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e