Стек модулей основных пучков

В алгебраической геометрии, если заданы гладкая проективная кривая X над конечным полем и гладкая аффинная групповая схема G над ней, то стек модулей главных расслоений над X , обозначаемый как , является алгебраическим стеком, заданным формулой: [1] для любой -алгебры R , Ф д {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)} Ф д {\displaystyle \mathbf {F} _{q}}

Булочка Г ⁡ ( Х ) ( Р ) = {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)(R)=} категория главных G -расслоений над относительной кривой . Х × Ф д Спецификация ⁡ Р {\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}

В частности, категория -точек , то есть , является категорией G -расслоений над X . Ф д {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)} Булочка Г ⁡ ( Х ) ( Ф д ) {\displaystyle \operatorname {булочка} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}

Аналогично, можно также определить, когда кривая X находится над полем комплексных чисел. Грубо говоря, в комплексном случае можно определить как фактор-стек пространства голоморфных связностей на X по калибровочной группе . Замена фактор-стека (который не является топологическим пространством) гомотопическим фактором (который является топологическим пространством) дает гомотопический тип . Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)} Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)} Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)}

В случае конечного поля гомотопический тип не принято определять . Но все равно можно определить ( гладкие ) когомологии и гомологии . Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)} Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)}

Основные свойства

Известно, что — гладкий стек размерности , где — род X. Он не конечного типа, но локально конечного типа; поэтому обычно используется стратификация открытыми подстеками конечного типа (ср. стратификацию Хардера–Нарасимхана ), также для парахорического G над кривой X см. [2] и для G только плоская групповая схема конечного типа над X см. [3]. Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)} ( г ( Х ) − 1 ) тусклый ⁡ Г {\displaystyle (g(X)-1)\dim G} г ( Х ) {\displaystyle g(X)}

Если G — расщепляемая редуктивная группа, то множество связных компонент находится в естественной биекции с фундаментальной группой . [4] π 0 ( Булочка Г ⁡ ( Х ) ) {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Бун} _{G}(X))} π 1 ( Г ) {\displaystyle \пи _{1}(Г)}

Формула Атьи–Ботта

Формула следа Беренда

Это (предполагаемая) версия формулы следа Лефшеца для случая, когда X находится над конечным полем, введенная Берендом в 1993 году. [5] Она утверждает: [6] если G — гладкая аффинная групповая схема с полупростым связным общим слоем , то Булочка Г ⁡ ( Х ) {\displaystyle \operatorname {Бун} _{G}(X)}

# Булочка Г ⁡ ( Х ) ( Ф д ) = д тусклый ⁡ Булочка Г ⁡ ( Х ) тр ⁡ ( ϕ − 1 | ЧАС ∗ ( Булочка Г ⁡ ( Х ) ; З л ) ) {\displaystyle \#\operatorname {булочка} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {булочка} _{G}(X)}\operatorname { tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}

где (см. также формулу следа Беренда для подробностей)

  • l — простое число, отличное от p , а кольцо l-адических целых чисел рассматривается как подкольцо . З л {\displaystyle \mathbb {Z} _{l}} С {\displaystyle \mathbb {C} }
  • ϕ {\displaystyle \фи} является геометрическим Фробениусом .
  • # Булочка Г ⁡ ( Х ) ( Ф д ) = ∑ П 1 # Авт ⁡ ( П ) {\displaystyle \#\operatorname {Бун} _{Г}(X)(\mathbf {Ф} _{q})=\сумма _{П}{1 \over \#\operatorname {Авт} (П)}} , сумма пробегает все классы изоморфизма G-расслоений на X и сходится.
  • тр ⁡ ( ϕ − 1 | В ∗ ) = ∑ я = 0 ∞ ( − 1 ) я тр ⁡ ( ϕ − 1 | В я ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} ( \phi ^{-1}|V_{i})} для градуированного векторного пространства , при условии, что ряд справа абсолютно сходится. В ∗ {\displaystyle V_{*}}

Априори ни левая, ни правая часть формулы не сходятся. Таким образом, формула утверждает, что обе стороны сходятся к конечным числам и что эти числа совпадают.

Примечания

  1. ^ Лури, Якоб (3 апреля 2013 г.), Числа Тамагавы в случае поля функций (лекция 2) (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 2013-04-11 , извлечено 2014-01-30
  2. ^ Хайнлот 2010, Предложение 2.1.2
  3. ^ Арасте Рад, Э.; Хартл, Урс (2021), «Унификация стеков модулей глобальных G-штук», Международные уведомления по математическим исследованиям (21): 16121–16192, arXiv : 1302.6351 , doi : 10.1093/imrn/rnz223, MR  4338216; см. теорему 2.5
  4. ^ Хайнлот 2010, Предложение 2.1.2
  5. ^ Беренд, Кай А. (1991), Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений (PDF) (диссертация доктора философии), Калифорнийский университет в Беркли
  6. ^ Gaitsgory & Lurie 2019, Глава 5: Формула следа для Bun G (X), стр. 260

Ссылки

  • Хайнлот, Йохен (2010), «Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой» (PDF) , в Шмитте, Александре (ред.), Аффинные флаговые многообразия и главные расслоения , Тенденции в математике, Базель: Birkhäuser/Springer, стр. 123–153, doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7, МР  3013029
  • J. Heinloth, AHW Schmitt, The Cohomology Ring of Moduli Stacks of Principal Bundles over Curves, препринт 2010 г., доступен по адресу http://www.uni-essen.de/~hm0002/.
  • Гейтсгори, Деннис; Лурье, Якоб (2019), Гипотеза Вейля для функциональных полей, т. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, т. 199, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-18214-8, г-н  3887650

Дальнейшее чтение

  • К. Зоргер, Лекции о модулях главных G-расслоений над алгебраическими кривыми

Смотрите также

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Moduli_stack_of_principal_bundles&oldid=1221476360"