3 31 соты

3 31 соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Шлефли	{3,3,3,3 3,1 }
символ Коксетера	3 31
Диаграмма Коксетера-Дынкина
7-ми гранные типы	3 21 {3 6 }
6-ти гранные типы	2 21 {3 5 }
5-ти гранные типы	2 11 {3 4 }
4-х сторонний тип	{3 3 }
Тип ячейки	{3 2 }
Тип лица	{3}
Фигура лица	0 31
Крайняя фигура	1 31
Вершинная фигура	2 31
Группа Коксетера	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$, [3 3,3,1 ]
Характеристики	вершинно-транзитивный

В 7-мерной геометрии соты 3 ₃₁ являются однородными сотами, также задаваемыми символом Шлефли {3,3,3,3 ^3,1 } и состоят из 3 ₂₁ и 7-симплексных граней , по 56 и 576 из них соответственно вокруг каждой вершины.

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 8 гиперплоских зеркал в 7-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера-Дынкина .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплексную грань:

Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет грань 3 ₂₁ :

Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это дает многогранник 2 _{31 .}

Фигура края определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это дает 6-демикуб ( 1 ₃₁ ).

Фигура лица определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это дает выпрямленный 5-симплекс ( 0 ₃₁ ).

Фигура ячейки определяется путем удаления кольцевого узла фигуры грани и кольцевания соседних узлов. Это дает тетраэдрическую призму  {}×{3,3}.

Каждая вершина этой мозаики является центром 6-сферы в самой плотной известной упаковке в 7 измерениях; ее число соприкосновения равно 126, представленное вершинами ее вершинной фигуры 2 ₃₁ .

Расположение вершин сот 3 ₃₁ называется решеткой E ₇ . ^[1]

${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$содержит как подгруппу индекса 144. ^[2] Оба можно рассматривать как аффинное расширение из разных узлов:${\displaystyle {\тильда {A}}_{7}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$${\displaystyle {\тильда {A}}_{7}}$${\displaystyle A_{7}}$

Решетку E ₇ можно также выразить как объединение вершин двух решеток A ₇ , также называемых A ₇ ² :

=∪

Решетка E ₇ ^* (также называемая E ₇ ² ) ^[3] имеет двойную симметрию, представленную как [[3,3 ^3,3 ]]. Ячейка Вороного решетки E ₇ ^* — это многогранник 1 ₃₂ , а мозаика Вороного — это соты 1 33 . [4] Решетка E 7 * _{построена} двумя ^{копиями} вершин решетки _E ⁷ , _по одной из каждой длинной ветви диаграммы Коксетера, и может быть построена как объединение четырех решеток A ₇ ^* , также называемых A ₇ ⁴ :

∪=∪∪∪= двойственное из.

Он находится в размерной серии однородных многогранников и сот, выраженной Коксетером как серия 3 _k1 . Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдральный осоэдр .

3 _к1 объемные фигуры

Космос	Конечный				Евклидов	Гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Группа Коксетера	А 3 А 1	А 5	Д 6	Е 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=Э 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=Э 7 ++
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
Заказ	48	720	46,080	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	3 1,-1	3 10	3 11	3 21	331	341

• 8-многогранник
• 1 ₃₃ соты

• HSM Coxeter , Правильные многогранники , 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973
• Коксетер Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook 
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• RT Worley, Область Вороного E7* . SIAM J. Discrete Math., 1.1 (1988), 134-141.
• Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Упаковки сфер, решетки и группы ((3-е изд.) ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.стр. 124-125, 8.2 7-мерные решётки: E7 и E7*
• Клитцинг, Ричард. «7D гептакомбы x3o3o3o3o3o3o *d3o - naquoh».

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
Космос	Семья	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\тильда {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\тильда {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
Э 2	Равномерная укладка плитки	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
Е 3	Равномерные выпуклые соты	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
Е 4	Равномерный 4-сотовый	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
Э 5	Равномерный 5-сотовый	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
Е 6	Равномерный 6-сотовый	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
Е 7	Равномерный 7-сотовый	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 331
Е 8	Равномерный 8-сотовый	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Е 9	Равномерный 9-сотовый	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
Е 10	Равномерный 10-сотовый	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
Э н -1	Равномерный ( n -1)- соты	0 [ н ]	δ н	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21