Диадический рациональный

Дробь со знаменателем, являющимся степенью двойки

В математике двоично-рациональное или двоично-рациональное число — это число, которое можно выразить дробью, знаменатель которой является степенью двойки . Например, 1/2, 3/2 и 3/8 являются двоично-рациональными числами, а 1/3 — нет. Эти числа важны в информатике , поскольку они единственные, имеющие конечное двоичное представление . Двоично-рациональные числа также применяются в мерах и весах, музыкальных размерах и раннем математическом образовании. Они могут точно приближать любое действительное число .

Сумма, разность или произведение любых двух двоично-рациональных чисел — это другое двоично-рациональное число, заданное простой формулой. Однако деление одного двоично-рационального числа на другое не всегда дает двоично-рациональный результат. Математически это означает, что двоично-рациональные числа образуют кольцо , лежащее между кольцом целых чисел и полем рациональных чисел . Это кольцо можно обозначить . $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$

В высшей математике двоично-рациональные числа играют центральную роль в конструкциях двоичного соленоида , функции вопросительного знака Минковского , вейвлетов Добеши , группы Томпсона , 2-группы Прюфера , сюрреальных чисел и сливаемых чисел . Эти числа изоморфны по порядку рациональным числам; они образуют подсистему 2-адических чисел , а также действительных чисел и могут представлять дробные части 2-адических чисел. Функции от натуральных чисел до двоично-рациональных чисел использовались для формализации математического анализа в обратной математике .

Приложения

В измерении

Многие традиционные системы мер и весов основаны на идее повторного деления пополам, что приводит к двоичным рациональным числам при измерении дробных количеств единиц. Дюйм обычно подразделяется на двоичные рациональные числа, а не на десятичное подразделение. ^[1] Привычные деления галлона на полгаллона, кварты , пинты и чашки также являются двоичными. ^[2] Древние египтяне использовали двоичные рациональные числа при измерении со знаменателем до 64. ^[3] Аналогично, системы весов цивилизации долины Инда по большей части основаны на повторном делении пополам; антрополог Хизер М.-Л. Миллер пишет, что «деление пополам — относительно простая операция с рычажными весами, поэтому, вероятно, так много весовых систем этого периода использовали двоичные системы». ^[4]

В вычислительной технике

Двоичные рациональные числа являются центральными в информатике как тип дробных чисел, которым многие компьютеры могут манипулировать напрямую. ^[5] В частности, как тип данных, используемый компьютерами, числа с плавающей точкой часто определяются как целые числа, умноженные на положительные или отрицательные степени двойки. Числа, которые могут быть точно представлены в формате с плавающей точкой, такие как типы данных с плавающей точкой IEEE , называются его представимыми числами. Для большинства представлений с плавающей точкой представимые числа являются подмножеством двоичных рациональных чисел. ^[6] То же самое верно и для типов данных с фиксированной точкой , которые также неявно используют степени двойки в большинстве случаев. ^[7] Из-за простоты вычислений с двоичными рациональными числами они также используются для точных действительных вычислений с использованием интервальной арифметики , ^[8] и являются центральными для некоторых теоретических моделей вычислимых чисел . ^[9]^[10]^[11]

Генерация случайной величины из случайных битов за фиксированное время возможна только тогда, когда переменная имеет конечное число результатов, вероятности которых являются двоично-рациональными числами. Для случайных величин, вероятности которых не являются двоичными, необходимо либо аппроксимировать их вероятности двоично-рациональными числами, либо использовать процесс случайной генерации, время которого само по себе случайно и неограниченно. ^[12]

В музыке

${ \new PianoStaff << \new Staff \relative c'' { \set Staff.midiInstrument = #"скрипка" \clef treble \tempo 8 = 126 \time 3/16 r16 <dca fis d>\f-! r16\fermata | \time 2/16 r <dca fis d>-! \time 3/16 r <dca fis d>8-! | r16 <dca fis d>8-! | \time 2/8 <dca fis>16-! <ec bes g>->-![ <cis b aes f>-! <ca fis ees>-!] } \new Staff \relative c { \set Staff.midiInstrument = #"скрипка" \clef bass \time 3/16 d,16-! <bes'' ees,>-! r\fermata | \time 2/16 <d,, d,>-! <bes'' ees,>-! | \time 3/16 d16-! <ees cis>8-! | r16 <ees cis>8-! | \time 2/8 d16\sf-! <ees cis>-!->[ <d c>-! <d c>-!] } >> }$

Пять тактов из «Весны священной » Игоря Стравинского с указанием размера.
³
₁₆,²
₁₆,³
₁₆, и²
₈

Тактовые размеры в западной музыкальной нотации традиционно записываются в форме, напоминающей дроби (например:²
₂,⁴
₄, или⁶
₈), ^[13] хотя горизонтальная линия нотного стана, которая разделяет верхнюю и нижнюю цифры, обычно опускается при написании подписи отдельно от ее нотного стана. Как дроби они, как правило, являются диадическими, ^[14] хотя недиадические тактовые размеры также использовались. ^[15] Числовое значение подписи, интерпретируемое как дробь, описывает длину такта как долю целой ноты . Его числитель описывает количество долей в такте, а знаменатель описывает длину каждой доли. ^[13]^[14]

В математическом образовании

В теориях развития концепции дроби в детстве, основанных на работе Жана Пиаже , дробные числа, возникающие из деления пополам и повторного деления пополам, являются одними из самых ранних форм дробей, которые развивались. ^[16] Этот этап развития концепции дробей был назван «алгоритмическим делением пополам». ^[17] Сложение и вычитание этих чисел можно выполнять шагами, которые включают только удвоение, деление пополам, добавление и вычитание целых чисел. Напротив, сложение и вычитание более общих дробей включает целочисленное умножение и факторизацию для достижения общего знаменателя. Поэтому для учащихся может быть проще вычислять двоичные дроби, чем более общие дроби. ^[18]

Определения и арифметика

Двоичные числа — это рациональные числа , которые получаются в результате деления целого числа на степень двойки . ^[9] Рациональное число в простейшем смысле — это двоично-рациональное число, когда — степень двойки. ^[19] Другой эквивалентный способ определения двоично-рациональных чисел заключается в том, что они являются действительными числами , имеющими конечное двоичное представление . ^[9] $п/д$ $д$

Сложение , вычитание и умножение любых двух двоичных рациональных чисел дает еще одно двоичное рациональное число согласно следующим формулам: ^[20]

{\begin{align}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{align}}

Однако результат деления одного двоично-рационального числа на другое не обязательно является двоично-рациональным числом. ^[21] Например, 1 и 3 являются двоично-рациональными числами, но 1/3 — нет.

Дополнительные свойства

{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142} — Двоичные рациональные приближения к квадратному корню из 2 ( ), найденные округлением до ближайшего меньшего целого числа, кратного для Высота розовой области над каждым приближением является его ошибкой. ${\sqrt {2}}\approx 1.4142$ $1/2^{я}$ $i=0,1,2,\точки$

{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}/2^{i}} — Действительные числа без необычно точных диадических рациональных приближений. Красные круги окружают числа, которые приближены в пределах ошибки на . Для чисел во фрактальном множестве Кантора за пределами кругов все диадические рациональные приближения имеют большие ошибки. ${\tfrac {1}{6}}/2^{i}$ $n/2^{я}$

Каждое целое число и каждое полуцелое число являются двоично-рациональными числами. ^[22] Они оба соответствуют определению целого числа, деленного на степень двойки: каждое целое число является целым числом, деленным на единицу (нулевая степень двойки), а каждое полуцелое число является целым числом, деленным на два.

Каждое действительное число может быть произвольно близко аппроксимировано двоичными рациональными числами. В частности, для действительного числа рассмотрим двоичные рациональные числа вида , где может быть любым целым числом и обозначает функцию пола , которая округляет свой аргумент до целого числа. Эти числа аппроксимируются снизу с точностью до погрешности , которую можно сделать произвольно малой, выбрав произвольно большую. Для фрактального подмножества действительных чисел эта граница погрешности находится в пределах постоянного множителя оптимального: для этих чисел не существует приближения с погрешностью, меньшей, чем константа, умноженная на . ^[23]^[24] Существование точных двоичных приближений можно выразить, сказав, что множество всех двоичных рациональных чисел плотно на действительной прямой . ^[22] Более строго, это множество равномерно плотно в том смысле, что двоичные рациональные числа со знаменателем равномерно распределены на действительной прямой. ^[9] $x$ ${\textstyle \lэтаж 2^{i}x\rэтаж /2^{i}}$ $я$ $\lfloor \dots \rfloor$ $x$ $1/2^{я}$ $я$ $n/2^{я}$ $1/2^{я}$ $2^{я}$

Двоичные рациональные числа — это именно те числа, которые обладают конечными двоичными разложениями . ^[9] Их двоичные разложения не являются уникальными; существует одно конечное и одно бесконечное представление каждого двоичного рационального числа, отличного от 0 (игнорируя терминальные нули). Например, 0,11 ₂ = 0,10111... ₂ , что дает два различных представления для 3/4. ^[9]^[25] Двоичные рациональные числа — это единственные числа, двоичные разложения которых не являются уникальными. ^[9]

В высшей математике

Алгебраическая структура

Поскольку они замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления, двоичные рациональные числа являются кольцом , но не полем . ^[26] Кольцо двоичных рациональных чисел можно обозначить , что означает, что его можно сгенерировать путем вычисления многочленов с целыми коэффициентами при аргументе 1/2. ^[27] Как кольцо, двоичные рациональные числа являются подкольцом рациональных чисел и верхним кольцом целых чисел. ^[28] Алгебраически это кольцо является локализацией целых чисел относительно множества степеней двойки . ^[29] $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$

Помимо формирования подкольца действительных чисел , двоично-рациональные числа образуют подкольцо 2-адических чисел , системы чисел, которая может быть определена из двоичных представлений, которые конечны справа от двоичной точки, но могут простираться бесконечно далеко влево. 2-адические числа включают все рациональные числа, а не только двоично-рациональные. Вложение двоично-рациональных чисел в 2-адические числа не меняет арифметику двоично-рациональных чисел, но придает им иную топологическую структуру, чем они имеют в качестве подкольца действительных чисел. Как и в действительных числах, двоично-рациональные числа образуют плотное подмножество 2-адических чисел ^[30] и являются множеством 2-адических чисел с конечными двоичными расширениями. Каждое 2-адическое число можно разложить на сумму 2-адического целого числа и двоично-рационального числа; В этом смысле двоичные рациональные числа могут представлять дробные части 2-адических чисел, но это разложение не является единственным. ^[31]

Сложение двоично-рациональных чисел по модулю 1 ( фактор-группа двоично-рациональных чисел по целым числам) образует 2-группу Прюфера . ^[32] $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z}$

Двойной соленоид

Рассмотрение только операций сложения и вычитания двоично-рациональных чисел дает им структуру аддитивной абелевой группы . Двойственность Понтрягина — это метод понимания абелевых групп путем построения дуальных групп, элементами которых являются характеры исходной группы, групповых гомоморфизмов в мультипликативную группу комплексных чисел , с поточечным умножением в качестве дуальной групповой операции. Дуальная группа аддитивных двоично-рациональных чисел, построенная таким образом, также может рассматриваться как топологическая группа . Она называется двоичным соленоидом и изоморфна топологическому произведению действительных чисел и 2-адических чисел, профакторизованных по диагональному вложению двоично-рациональных чисел в это произведение. ^[30] Это пример протора , соленоида и неразложимого континуума . ^[33]

Функции с двоично-рациональными числами в качестве выделенных точек

Поскольку они являются плотным подмножеством действительных чисел, двоичные рациональные числа с их числовым порядком образуют плотный порядок . Как и в случае с любыми двумя неограниченными счетными плотными линейными порядками, по теореме Кантора об изоморфизме ^[34] двоичные рациональные числа порядково изоморфны рациональным числам. В этом случае функция вопросительного знака Минковского обеспечивает сохраняющую порядок биекцию между множеством всех рациональных чисел и множеством двоичных рациональных чисел. ^[35]

Двоичные рациональные числа играют ключевую роль в анализе вейвлетов Добеши , как набор точек, где масштабирующая функция этих вейвлетов не является гладкой. ^[26] Аналогично, двуличные рациональные числа параметризуют разрывы на границе между устойчивыми и неустойчивыми точками в пространстве параметров отображения Хенона . ^[36]

Множество кусочно-линейных гомеоморфизмов из единичного интервала в себя, которые имеют наклоны степени 2 и двоично-рациональные точки разрыва, образует группу под действием композиции функций . Это группа Томпсона , первый известный пример бесконечной, но конечно представленной простой группы . ^[37] Та же группа может быть также представлена действием на корневых бинарных деревьях, ^[38] или действием на двоично-рациональные числа внутри единичного интервала. ^[32]

Другие родственные конструкции

В обратной математике один из способов построения действительных чисел — это представление их в виде функций от унарных чисел до двоичных рациональных чисел, где значение одной из этих функций для аргумента — двоичное рациональное число со знаменателем , который приближает данное действительное число. Определение действительных чисел таким образом позволяет доказать многие из основных результатов математического анализа в рамках ограниченной теории арифметики второго порядка, называемой «выполнимым анализом» (BTFA). ^[39] $я$ $2^{я}$

Сюрреалистические числа генерируются с помощью принципа итерационного построения, который начинается с генерации всех конечных двоичных рациональных чисел, а затем переходит к созданию новых и странных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел. ^[40] Эта числовая система является основополагающей для теории комбинаторных игр , и двоичные рациональные числа естественным образом возникают в этой теории как набор значений определенных комбинаторных игр. ^[41]^[42]^[19]

Плавкие числа являются подмножеством двоичных рациональных чисел, замыканием множества под действием операции , ограниченного парами с . Они хорошо упорядочены , с типом порядка , равным числу эпсилон . Для каждого целого числа наименьшее плавкое число, которое больше, чем имеет вид . Существование для каждого не может быть доказано в арифметике Пеано , ^[43] и растет так быстро как функция от , что для оно (в обозначении Кнута со стрелкой вверх для больших чисел) уже больше, чем . ^[44] $\{0\}$ $x,y\mapsto (x+y+1)/2$ $x,y$ $|ху|<1$ $\varepsilon _{0}$ $n$ $n$ $n+1/2^{k}$ $к$ $n$ $к$ $n$ $n=3$ $2\uparrow ^{9}16$

Обычное доказательство леммы Урысона использует двоичные дроби для построения разделяющей функции из леммы.

Ссылки

^ Рудман, Питер С. (2009), Как возникла математика: первые 50 000 лет, Prometheus Books, стр. 148, ISBN 978-1-61592-176-8
^ Барнс, Джон (2016), Хорошие цифры, Springer International Publishing, doi : 10.1007/978-3-319-46831-0, ISBN 978-3-319-46830-3, Обратите внимание, что бинарные меры (2, 4, 8, 16) действительно очень распространены. Это особенно очевидно в случае с объемами.
^ Кертис, Лоренцо Дж. (1978), «Концепция экспоненциального закона до 1900 года», American Journal of Physics , 46 (9): 896–906, Bibcode : 1978AmJPh..46..896C, doi : 10.1119/1.11512
^ Миллер, Хизер М.-Л. (2013), «Веские вопросы: доказательства единства и регионального разнообразия из весов цивилизации Инда», в Авраам, Шину Анна; Гуллапалли, Правина; Рачек, Тереза П.; Ризви, Узма З. (ред.), Связи и сложность: новые подходы к археологии Южной Азии , Left Coast Press, стр. 161–177, doi :10.4324/9781315431857, ISBN 978-1-59874-686-0; см. в частности стр. 166
^ Резникофф, Говард Л.; Уэллс , Рэймонд О. младший (1998), "2.2.1: Цифровые компьютеры и измерения", Вейвлет-анализ: масштабируемая структура информации , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 17–18, doi :10.1007/978-1-4612-0593-7, ISBN 0-387-98383-X, г-н 1712468
^ Кирк, Дэвид Б .; Хву, Вэньмэй В. (2013), «7.2 Представимые числа», Программирование массивно-параллельных процессоров: практический подход (2-е изд.), Морган Кауфманн, стр. 155–159, ISBN 978-0-12-391418-7
^ Кнойзель, Рональд Т. (2017), «Глава 6: Числа с фиксированной точкой», Числа и компьютеры (2-е изд.), Springer International Publishing, стр. 183–214, doi :10.1007/978-3-319-50508-4_6
^ Ван дер Хувен, Йорис (2006), «Вычисления с эффективными действительными числами», Теоретическая информатика , 351 (1): 52–60, doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.060 , MR 2201092
^ abcdefg Ko, Ker-I (1991), Теория сложности действительных функций, Progress in Theoretical Computer Science, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. 41–43, doi :10.1007/978-1-4684-6802-1, ISBN 0-8176-3586-6, MR 1137517, S2CID 11758381
^ Чжэн, Сичжун; Реттингер, Роберт (2004), «Слабая вычислимость и представление действительных чисел», Mathematical Logic Quarterly , 50 (4–5): 431–442, doi :10.1002/malq.200310110, MR 2090389, S2CID 15815720
^ Амбос-Шпис, Клаус; Чжэн, Сичжун (2019), «О разностях и суммах сильно вычислимо перечислимых действительных чисел», в Manea, Флорин; Мартин, Барнаби; Паулусма, Даниэль; Примьеро, Джузеппе (ред.), Вычисления с предвидением и промышленностью: 15-я конференция по вычислимости в Европе, CiE 2019, Дарем, Великобритания, 15–19 июля 2019 г., Труды , Заметки лекций по информатике, т. 11558, Cham: Springer, стр. 310–322, doi : 10.1007/978-3-030-22996-2_27, MR 3981892, S2CID 195795492
^ Джеррум, Марк Р .; Валиант, Лесли Г .; Вазирани, Виджай В. (1986), «Случайная генерация комбинаторных структур из равномерного распределения», Теоретическая информатика , 43 (2–3): 169–188, doi : 10.1016/0304-3975(86)90174-X , MR 0855970
^ ab Jones, Shelly M. ; Pearson, Dunn (май 2013 г.), «Музыка: высокоактивные студенты связывают музыку с математикой», General Music Today , 27 (1): 18–23, doi : 10.1177/1048371313486478, S2CID 220604326
^ ab Libbey, Theodore (2006), «Time signature», The NPR Listener's Encyclopedia of Classical Music , Workman Publishing, стр. 873, ISBN 978-0-7611-2072-8
^ Янакиев, Иван К. (2020), «Математические приемы в помощь теории музыки, композиции и исполнению», в Божиковой, Милене (ред.), Музыка между онтологией и идеологией , Cambridge Scholars Publishing, стр. 35–62, ISBN 978-1-5275-4758-2; см. в частности стр. 37.
^ Хиберт, Джеймс; Тоннессен, Лоуэлл Х. (ноябрь 1978 г.), «Развитие концепции дроби в двух физических контекстах: разведывательное исследование», Журнал исследований в области математического образования , 9 (5): 374–378, doi :10.2307/748774, JSTOR 748774
^ Pothier, Yvonne ; Sawada, Daiyo (ноябрь 1983 г.), «Разбиение: возникновение идей о рациональных числах у маленьких детей», Журнал исследований в области математического образования , 14 (5): 307–317, doi :10.2307/748675, JSTOR 748675
^ Уэллс, Дэвид Грэм (2015), Мотивирующая математика: вовлекающие учителя и вовлеченные студенты, World Scientific, стр. 32–33, ISBN 978-1-78326-755-2
^ ab Uiterwijk, Jos WHM; Barton, Michael (2015), «Новые результаты для Domineering из баз данных конечных игр комбинаторной теории игр», Theoretical Computer Science , 592 : 72–86, arXiv : 1506.03949 , doi : 10.1016/j.tcs.2015.05.017, MR 3367582, S2CID 5899577
^ Эквивалентные им формулы, написанные на языке интерактивного доказательного устройства теорем Coq , приведены в работах Кребберса, Робберта; Спиттерса, Баса (2013), «Классы типов для эффективной точной вещественной арифметики в Coq», Логические методы в информатике , 9 (1): 1:01, 27, arXiv : 1106.3448 , doi : 10.2168/LMCS-9(1:1)2013, MR 3029087, S2CID 218627153
^ О'Коннор, Рассел (2007), «Монадическая функциональная реализация действительных чисел», Математические структуры в информатике , 17 (1): 129–159, arXiv : cs/0605058 , doi :10.1017/S0960129506005871, MR 2311089, S2CID 221168970
^ ab Sabin, Malcolm (2010), Анализ и проектирование одномерных схем подразделения, Геометрия и вычисления, т. 6, Springer, стр. 51, ISBN 9783642136481
^ Точнее, для малых положительных значений множество действительных чисел, не имеющих приближения с ошибкой, меньшей константы, умноженной на , образует множество Кантора , хаусдорфова размерность которого , как функция , стремится к единице при приближении к нулю. На рисунке показано это множество для . $\varepsilon$ $n/2^{я}$ $\varepsilon /2^{i}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon = {\tfrac {1}{6}}$
^ Нильссон, Йохан (2009), «О числах, плохо приближаемых двоичными рациональными числами», Israel Journal of Mathematics , 171 : 93–110, doi : 10.1007/s11856-009-0042-9 , MR 2520103
^ Кац, Марк (1959), Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел , Carus Mathematical Monographs , т. 12, Нью-Йорк: John Wiley & Sons для Математической ассоциации Америки, стр. 2–3, MR 0110114
^ ab Поллен, Дэвид (1992), "Масштабирующая функция Добеши на [0,3]", Вейвлеты , Анализ вейвлетов и его приложения, т. 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press, стр. 3–13, MR 1161245
^ Bajnok, Béla (2013), Приглашение к абстрактной математике , Undergraduate Texts in Mathematics, Нью-Йорк: Springer, стр. 186, doi :10.1007/978-1-4614-6636-9, ISBN 978-1-4614-6635-2
^ В обозначениях Эстеса и Ома для колец, которые являются как подкольцами , так и надкольцами , двоичные рациональные числа являются кольцом . См. раздел 7 Эстеса, Денниса; Ома, Джека (1967), "Стабильный диапазон в коммутативных кольцах" (PDF) , Журнал алгебры , 7 (3): 343–362, doi : 10.1016/0021-8693(67)90075-0 , MR 0217052 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{\{2\}}$
^ Люсишин-Райт, Рори BB (2018), «Выпуклые пространства, аффинные пространства и коммутанты для алгебраических теорий», Applied Categical Structures , 26 (2): 369–400, arXiv : 1603.03351 , doi : 10.1007/s10485-017-9496-9, MR 3770912, S2CID 3743682
^ ab Manners, Фредди (2015), «Решение проблемы с пижамой», Inventiones Mathematicae , 202 (1): 239–270, arXiv : 1305.1514 , Bibcode : 2015InMat.202..239M, doi :10.1007/s00222-014-0571-7, MR 3402799, S2CID 119148680 ; см. раздел 6.2.1, «Модельный случай: », стр. 255–257. ${\widehat {\mathbb {Z} [1/2]}}$
^ Роберт, Ален М. (2000), "5.4 Дробные и целые части -адических чисел", Курс -адического анализа , Graduate Texts in Mathematics , т. 198, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 40–43, doi :10.1007/978-1-4757-3254-2, ISBN $p$ $p$ 0-387-98669-3, МР 1760253
^ ab de Cornulier, Yves; Guyot, Luc; Pitsch, Wolfgang (2007), «Об изолированных точках в пространстве групп» (PDF) , Journal of Algebra , 307 (1): 254–277, arXiv : math/0511714 , doi :10.1016/j.jalgebra.2006.02.012, MR 2278053, S2CID 11566447
^ Надлер, СБ младший (1973), «Неразложимость диадического соленоида», The American Mathematical Monthly , 80 (6): 677–679, doi :10.2307/2319174, JSTOR 2319174
^ Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёгнвалдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы по математике, т. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, г-н 1632579
^ Girgensohn, Roland (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR 1412484
^ Cvitanović, Predrag; Gunaratne, Gemunu H.; Procaccia, Itamar (1988), «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Хенона», Physical Review A , Третья серия, 38 (3): 1503–1520, Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C, doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503, MR 0970237, PMID 9900529
^ Брин, Мэтью Г. (1999), «Вездесущность группы Томпсона $F$ в группах кусочно-линейных гомеоморфизмов единичного интервала», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 60 (2): 449–460, arXiv : math/9705205 , doi :10.1112/S0024610799007905, MR 1724861, S2CID 14490692
^ Кэннон, Дж. У .; Флойд, У. Дж. (2011), «Что такое… группа Томпсона?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (8): 1112–1113, MR 2856142
^ Фернандес, Антонио М.; Феррейра, Фернандо (2005), «Основные приложения слабой леммы Кёнига в возможном анализе» (PDF) , Reverse Mathematics 2001 , Lecture Notes in Logic, т. 21, Ла-Хойя, Калифорния: Ассоциация символической логики, стр. 175–188, MR 2185433
^ Конвей, Дж. Х. (2001), О числах и играх (второе издание), Натик, Массачусетс: AK Peters, ISBN 1-56881-127-6, МР 1803095; для двоичных рациональных чисел см. «Числа , , , , и т. д.», стр. 10–12 ${\tfrac {1}{4}}$ ${\tfrac {3}{4}}$ $1\,{\tfrac {1}{2}}$ $3$
↑ Молдон, Дж. Г. (1978), «Нум, вариант Ним без победы первого игрока», The American Mathematical Monthly , 85 (7): 575–578, doi : 10.2307/2320870, JSTOR 2320870, MR 0503877
^ Фланиган, JA (1982), «Полный анализ черно-белого Хакендота», Международный журнал теории игр , 11 (1): 21–25, doi :10.1007/BF01771244, MR 0665515, S2CID 119964871
^ Эриксон, Джефф; Ниваш, Габриэль; Сюй, Цзюньян (июнь 2021 г.), «Плавкие числа и арифметика Пеано», Труды 36-го ежегодного симпозиума ACM/IEEE по логике в информатике (LICS 2021) , IEEE, стр. 1–13, arXiv : 2003.14342 , doi :10.1109/lics52264.2021.9470703, S2CID 214727767
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A188545», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS

[rudman-1] Рудман, Питер С. (2009), Как возникла математика: первые 50 000 лет, Prometheus Books, стр. 148, ISBN 978-1-61592-176-8

[barnes-2] Барнс, Джон (2016), Хорошие цифры, Springer International Publishing, doi : 10.1007/978-3-319-46831-0, ISBN 978-3-319-46830-3, Обратите внимание, что бинарные меры (2, 4, 8, 16) действительно очень распространены. Это особенно очевидно в случае с объемами.

[curtis-3] Кертис, Лоренцо Дж. (1978), «Концепция экспоненциального закона до 1900 года», American Journal of Physics , 46 (9): 896–906, Bibcode : 1978AmJPh..46..896C, doi : 10.1119/1.11512

[miller-4] Миллер, Хизер М.-Л. (2013), «Веские вопросы: доказательства единства и регионального разнообразия из весов цивилизации Инда», в Авраам, Шину Анна; Гуллапалли, Правина; Рачек, Тереза П.; Ризви, Узма З. (ред.), Связи и сложность: новые подходы к археологии Южной Азии , Left Coast Press, стр. 161–177, doi :10.4324/9781315431857, ISBN 978-1-59874-686-0; см. в частности стр. 166

[reswel-5] Резникофф, Говард Л.; Уэллс , Рэймонд О. младший (1998), "2.2.1: Цифровые компьютеры и измерения", Вейвлет-анализ: масштабируемая структура информации , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 17–18, doi :10.1007/978-1-4612-0593-7, ISBN 0-387-98383-X, г-н 1712468

[kirk-hwu-6] Кирк, Дэвид Б .; Хву, Вэньмэй В. (2013), «7.2 Представимые числа», Программирование массивно-параллельных процессоров: практический подход (2-е изд.), Морган Кауфманн, стр. 155–159, ISBN 978-0-12-391418-7

[kneusel-7] Кнойзель, Рональд Т. (2017), «Глава 6: Числа с фиксированной точкой», Числа и компьютеры (2-е изд.), Springer International Publishing, стр. 183–214, doi :10.1007/978-3-319-50508-4_6

[vdh-8] Ван дер Хувен, Йорис (2006), «Вычисления с эффективными действительными числами», Теоретическая информатика , 351 (1): 52–60, doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.060 , MR 2201092

[ko-9] Ko, Ker-I (1991), Теория сложности действительных функций, Progress in Theoretical Computer Science, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. 41–43, doi :10.1007/978-1-4684-6802-1, ISBN 0-8176-3586-6, MR 1137517, S2CID 11758381

[zr-10] Чжэн, Сичжун; Реттингер, Роберт (2004), «Слабая вычислимость и представление действительных чисел», Mathematical Logic Quarterly , 50 (4–5): 431–442, doi :10.1002/malq.200310110, MR 2090389, S2CID 15815720

[asz-11] Амбос-Шпис, Клаус; Чжэн, Сичжун (2019), «О разностях и суммах сильно вычислимо перечислимых действительных чисел», в Manea, Флорин; Мартин, Барнаби; Паулусма, Даниэль; Примьеро, Джузеппе (ред.), Вычисления с предвидением и промышленностью: 15-я конференция по вычислимости в Европе, CiE 2019, Дарем, Великобритания, 15–19 июля 2019 г., Труды , Заметки лекций по информатике, т. 11558, Cham: Springer, стр. 310–322, doi : 10.1007/978-3-030-22996-2_27, MR 3981892, S2CID 195795492

[jvv-12] Джеррум, Марк Р .; Валиант, Лесли Г .; Вазирани, Виджай В. (1986), «Случайная генерация комбинаторных структур из равномерного распределения», Теоретическая информатика , 43 (2–3): 169–188, doi : 10.1016/0304-3975(86)90174-X , MR 0855970

[jon-pea-13] Jones, Shelly M. ; Pearson, Dunn (май 2013 г.), «Музыка: высокоактивные студенты связывают музыку с математикой», General Music Today , 27 (1): 18–23, doi : 10.1177/1048371313486478, S2CID 220604326

[libbey-14] Libbey, Theodore (2006), «Time signature», The NPR Listener's Encyclopedia of Classical Music , Workman Publishing, стр. 873, ISBN 978-0-7611-2072-8

[yanakiev-15] Янакиев, Иван К. (2020), «Математические приемы в помощь теории музыки, композиции и исполнению», в Божиковой, Милене (ред.), Музыка между онтологией и идеологией , Cambridge Scholars Publishing, стр. 35–62, ISBN 978-1-5275-4758-2; см. в частности стр. 37.

[hie-ton-16] Хиберт, Джеймс; Тоннессен, Лоуэлл Х. (ноябрь 1978 г.), «Развитие концепции дроби в двух физических контекстах: разведывательное исследование», Журнал исследований в области математического образования , 9 (5): 374–378, doi :10.2307/748774, JSTOR 748774

[pot-saw-17] Pothier, Yvonne ; Sawada, Daiyo (ноябрь 1983 г.), «Разбиение: возникновение идей о рациональных числах у маленьких детей», Журнал исследований в области математического образования , 14 (5): 307–317, doi :10.2307/748675, JSTOR 748675

[wells-18] Уэллс, Дэвид Грэм (2015), Мотивирующая математика: вовлекающие учителя и вовлеченные студенты, World Scientific, стр. 32–33, ISBN 978-1-78326-755-2

[uit-bar-19] Uiterwijk, Jos WHM; Barton, Michael (2015), «Новые результаты для Domineering из баз данных конечных игр комбинаторной теории игр», Theoretical Computer Science , 592 : 72–86, arXiv : 1506.03949 , doi : 10.1016/j.tcs.2015.05.017, MR 3367582, S2CID 5899577

[kreb-spit-20] Эквивалентные им формулы, написанные на языке интерактивного доказательного устройства теорем Coq , приведены в работах Кребберса, Робберта; Спиттерса, Баса (2013), «Классы типов для эффективной точной вещественной арифметики в Coq», Логические методы в информатике , 9 (1): 1:01, 27, arXiv : 1106.3448 , doi : 10.2168/LMCS-9(1:1)2013, MR 3029087, S2CID 218627153

[oconnor-21] О'Коннор, Рассел (2007), «Монадическая функциональная реализация действительных чисел», Математические структуры в информатике , 17 (1): 129–159, arXiv : cs/0605058 , doi :10.1017/S0960129506005871, MR 2311089, S2CID 221168970

[sabin-22] Sabin, Malcolm (2010), Анализ и проектирование одномерных схем подразделения, Геометрия и вычисления, т. 6, Springer, стр. 51, ISBN 9783642136481

[23] Точнее, для малых положительных значений множество действительных чисел, не имеющих приближения с ошибкой, меньшей константы, умноженной на , образует множество Кантора , хаусдорфова размерность которого , как функция , стремится к единице при приближении к нулю. На рисунке показано это множество для . $\varepsilon$ $n/2^{я}$ $\varepsilon /2^{i}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon = {\tfrac {1}{6}}$

[nilsson-24] Нильссон, Йохан (2009), «О числах, плохо приближаемых двоичными рациональными числами», Israel Journal of Mathematics , 171 : 93–110, doi : 10.1007/s11856-009-0042-9 , MR 2520103

[kac-25] Кац, Марк (1959), Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел , Carus Mathematical Monographs , т. 12, Нью-Йорк: John Wiley & Sons для Математической ассоциации Америки, стр. 2–3, MR 0110114

[pollen-26] Поллен, Дэвид (1992), "Масштабирующая функция Добеши на [0,3]", Вейвлеты , Анализ вейвлетов и его приложения, т. 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press, стр. 3–13, MR 1161245

[bajnok-27] Bajnok, Béla (2013), Приглашение к абстрактной математике , Undergraduate Texts in Mathematics, Нью-Йорк: Springer, стр. 186, doi :10.1007/978-1-4614-6636-9, ISBN 978-1-4614-6635-2

[est-ohm-28] В обозначениях Эстеса и Ома для колец, которые являются как подкольцами , так и надкольцами , двоичные рациональные числа являются кольцом . См. раздел 7 Эстеса, Денниса; Ома, Джека (1967), "Стабильный диапазон в коммутативных кольцах" (PDF) , Журнал алгебры , 7 (3): 343–362, doi : 10.1016/0021-8693(67)90075-0 , MR 0217052 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{\{2\}}$

[lucy-29] Люсишин-Райт, Рори BB (2018), «Выпуклые пространства, аффинные пространства и коммутанты для алгебраических теорий», Applied Categical Structures , 26 (2): 369–400, arXiv : 1603.03351 , doi : 10.1007/s10485-017-9496-9, MR 3770912, S2CID 3743682

[manners-30] Manners, Фредди (2015), «Решение проблемы с пижамой», Inventiones Mathematicae , 202 (1): 239–270, arXiv : 1305.1514 , Bibcode : 2015InMat.202..239M, doi :10.1007/s00222-014-0571-7, MR 3402799, S2CID 119148680 ; см. раздел 6.2.1, «Модельный случай: », стр. 255–257. ${\widehat {\mathbb {Z} [1/2]}}$

[robert-31] Роберт, Ален М. (2000), "5.4 Дробные и целые части -адических чисел", Курс -адического анализа , Graduate Texts in Mathematics , т. 198, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 40–43, doi :10.1007/978-1-4757-3254-2, ISBN $p$ $p$ 0-387-98669-3, МР 1760253

[cor-guy-pit-32] Cornulier, Yves; Guyot, Luc; Pitsch, Wolfgang (2007), «Об изолированных точках в пространстве групп» (PDF) , Journal of Algebra , 307 (1): 254–277, arXiv : math/0511714 , doi :10.1016/j.jalgebra.2006.02.012, MR 2278053, S2CID 11566447

[nadler-33] Надлер, СБ младший (1973), «Неразложимость диадического соленоида», The American Mathematical Monthly , 80 (6): 677–679, doi :10.2307/2319174, JSTOR 2319174

[bmmn-34] Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёгнвалдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы по математике, т. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, г-н 1632579

[girgensohn-35] Girgensohn, Roland (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR 1412484

[cvi-gun-pro-36] Cvitanović, Predrag; Gunaratne, Gemunu H.; Procaccia, Itamar (1988), «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Хенона», Physical Review A , Третья серия, 38 (3): 1503–1520, Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C, doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503, MR 0970237, PMID 9900529

[brin-37] Брин, Мэтью Г. (1999), «Вездесущность группы Томпсона $F$ в группах кусочно-линейных гомеоморфизмов единичного интервала», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 60 (2): 449–460, arXiv : math/9705205 , doi :10.1112/S0024610799007905, MR 1724861, S2CID 14490692

[can-flo-38] Кэннон, Дж. У .; Флойд, У. Дж. (2011), «Что такое… группа Томпсона?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (8): 1112–1113, MR 2856142

[fer-fer-39] Фернандес, Антонио М.; Феррейра, Фернандо (2005), «Основные приложения слабой леммы Кёнига в возможном анализе» (PDF) , Reverse Mathematics 2001 , Lecture Notes in Logic, т. 21, Ла-Хойя, Калифорния: Ассоциация символической логики, стр. 175–188, MR 2185433

[conway-40] Конвей, Дж. Х. (2001), О числах и играх (второе издание), Натик, Массачусетс: AK Peters, ISBN 1-56881-127-6, МР 1803095; для двоичных рациональных чисел см. «Числа , , , , и т. д.», стр. 10–12 ${\tfrac {1}{4}}$ ${\tfrac {3}{4}}$ $1\,{\tfrac {1}{2}}$ $3$

[mauldon-41] Молдон, Дж. Г. (1978), «Нум, вариант Ним без победы первого игрока», The American Mathematical Monthly , 85 (7): 575–578, doi : 10.2307/2320870, JSTOR 2320870, MR 0503877

[flanigan-42] Фланиган, JA (1982), «Полный анализ черно-белого Хакендота», Международный журнал теории игр , 11 (1): 21–25, doi :10.1007/BF01771244, MR 0665515, S2CID 119964871

[eri-niv-xu-43] Эриксон, Джефф; Ниваш, Габриэль; Сюй, Цзюньян (июнь 2021 г.), «Плавкие числа и арифметика Пеано», Труды 36-го ежегодного симпозиума ACM/IEEE по логике в информатике (LICS 2021) , IEEE, стр. 1–13, arXiv : 2003.14342 , doi :10.1109/lics52264.2021.9470703, S2CID 214727767

[A188545-44] Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A188545», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS