Диагональный морфизм

В теории категорий , разделе математики , для каждого объекта в каждой категории , где существует произведение , существует диагональный морфизм [1] [2] [3] [4] [5] [6] а {\displaystyle а} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} а × а {\displaystyle а\раз а}

δ а : а → а × а {\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}

удовлетворяющий

π к ∘ δ а = идентификатор а {\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=\operatorname {id} _{a}} для к ∈ { 1 , 2 } , {\displaystyle к\в \{1,2\},}

где — канонический морфизм проекции на -ю компоненту. Существование этого морфизма является следствием универсального свойства , характеризующего произведение ( с точностью до изоморфизма ). Ограничение бинарными произведениями здесь сделано для простоты обозначений; диагональные морфизмы существуют аналогично для произвольных произведений. Образ диагонального морфизма в категории множеств , как подмножество декартова произведения , представляет собой отношение на области определения , а именно равенство . π к {\displaystyle \пи _{к}} к {\displaystyle к}

Для конкретных категорий диагональный морфизм может быть просто описан его действием на элементы объекта . А именно, , упорядоченная пара, образованная из . Причина названия в том, что образ такого диагонального морфизма является диагональным (всякий раз, когда это имеет смысл), например, образ диагонального морфизма на действительной прямой задается прямой, которая является графиком уравнения . Диагональный морфизм в бесконечное произведение может обеспечить инъекцию в пространство последовательностей со значениями в ; каждый элемент отображается в постоянную последовательность в этом элементе. Однако большинство понятий пространств последовательностей имеют ограничения сходимости , которым образ диагонального отображения не сможет удовлетворить. х {\displaystyle x} а {\displaystyle а} δ а ( х ) = ⟨ х , х ⟩ {\displaystyle \delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle} х {\displaystyle x} Р → Р 2 {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}} у = х {\displaystyle у=х} Х ∞ {\displaystyle X^{\infty}} Х {\displaystyle X}

Двойственное понятие диагонального морфизма — это кодиагональный морфизм . Для каждого объекта в категории , где существуют копроизведения , кодиагональный [3] [2] [7] [5] [6] является каноническим морфизмом б {\displaystyle б} С {\displaystyle {\mathcal {C}}} б ⊔ б {\displaystyle b\sqcup b}

δ б : б ⊔ б → [ я г , я г ] б {\displaystyle \delta _{b}\colon b\sqcup b{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}b}

удовлетворяющий

δ б ∘ τ л = идентификатор б {\displaystyle \delta _{b}\circ \tau _{l} =\operatorname {id} _{b}} для л ∈ { 1 , 2 } . {\displaystyle л\в \{1,2\}.}

где — морфизм инъекции в -й компонент. τ л {\displaystyle \tau _{l}} л {\displaystyle л}

Пусть будет морфизмом в категории с выталкиванием, является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда кодиагональ является изоморфизмом. [8] ф : Х → И {\displaystyle f:X\to Y} С {\displaystyle {\mathcal {C}}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ (Картер и др., 2008)
  2. ^ ab (Вера 1973)
  3. ^ ab (Попеску и Попеску 1979, упражнение 7.2.)
  4. ^ (Диагональ в nlab)
  5. ^ ab (Лоран 2013)
  6. ^ ab (Масакацу 1972, определение 4.)
  7. ^ (кодиагональ в nlab)
  8. ^ (Муро 2016)

Библиография

  • Awodey, s. (1996). «Структура в математике и логике: категориальная перспектива». Philosophia Mathematica . 4 (3): 209–237. doi :10.1093/philmat/4.3.209.
  • Baez, John C. (2004). «Квантовые затруднения: категория-теоретическая перспектива». Структурные основы квантовой гравитации . С. 240–265. arXiv : quant-ph/0404040 . Bibcode :2004quant.ph..4040B. doi :10.1093/acprof:oso/9780199269693.003.0008. ISBN 978-0-19-926969-3.
  • Картер, Дж. Скотт; Кранс, Алисса; Эльхамдади, Мохамед; Сайто, Масахико (2008). «Когомологии категорической самораспределяемости» (PDF) . Журнал гомотопии и родственных структур . 3 (1): 13–63. arXiv : math/0607417 . Bibcode :2006math......7417C.
  • Фейт, Карл (1973). «Продукт и копродукт». Алгебра. стр. 83–109. doi :10.1007/978-3-642-80634-6_4. ISBN 978-3-642-80636-0.
  • Кашивара, Мсакиа; Шапира, Пьер (2006). «Пределы». Категории и пучки. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 332. стр. 35–69. дои : 10.1007/3-540-27950-4_3. ISBN 978-3-540-27949-5.
  • Митчелл, Барри (1965). Теория категорий. Academic Press. ISBN 978-0-12-499250-4.
  • Муро, Фернандо (2016). «Гомотопические единицы в алгебрах A-бесконечности». Trans. Amer. Math. Soc . 368 : 2145–2184. arXiv : 1111.2723 . doi :10.1090/tran/6545.
  • Масакацу, Удзава (1972). «Некоторые категориальные свойства комплексных пространств. Часть II» (PDF) . Вестник педагогического факультета Университета Тиба . 21 : 83–93. ISSN  0577-6856.
  • Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). «Категории и функторы». Теория категорий. стр. 1–148. дои : 10.1007/978-94-009-9550-5_1. ISBN 978-94-009-9552-9.
  • Пупье, Р. (1964). «Маленький путеводитель по категориям». Публикации Департамента математики (Лион) (на французском языке). 1 (1): 1–18.
  • Обер, Клеман (2019). «Категории для меня и тебя?». arXiv : 1910.05172 .
  • Херскович, Эстанислао (2020). «Лекции по основам гомологической алгебры» (PDF) .
  • Лоран, Оливье (2013). «Категории для меня [примечание]» (PDF) . perso.ens-lyon.fr .
  • "кодиагональ". ncatlab.org .
  • "диагональный морфизм". ncatlab.org .
Значок заглушки

Эта статья по теории категорий — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Диагональный_морфизм&oldid=1194294730"