Карта Энона

В математике отображение Хенона , иногда называемое аттрактором/отображением Хенона–Помо , ^[1] представляет собой динамическую систему с дискретным временем . Это один из наиболее изученных примеров динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение . Отображение Хенона берет точку ( x _n , y _n ) на плоскости и отображает ее в новую точку

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{cases}}}$

Карта зависит от двух параметров, a и b , которые для классической карты Эно имеют значения a = 1,4 и b = 0,3 . Для классических значений карта Эно является хаотичной. Для других значений a и b карта может быть хаотичной , прерывистой или сходиться к периодической орбите . Обзор типа поведения карты при различных значениях параметров можно получить из ее диаграммы орбит .

Карта была введена Мишелем Эноном как упрощенная модель сечения Пуанкаре модели Лоренца . Для классической карты начальная точка плоскости будет либо приближаться к набору точек, известному как странный аттрактор Энона , либо расходиться в бесконечность. Аттрактор Энона — это фрактал , гладкий в одном направлении и множество Кантора в другом. Численные оценки дают корреляционную размерность 1,21 ± 0,01 или 1,25 ± 0,02 ^[2] (в зависимости от размерности пространства вложения) и размерность подсчета ящиков 1,261 ± 0,003 ^[3] для аттрактора классической карты.

Отображение Хенона отображает две точки в себя: это инвариантные точки. Для классических значений a и b отображения Хенона одна из этих точек находится на аттракторе:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {609}}-7}{28}}\approx 0.631354477,}$

${\displaystyle y={\frac {3\left({\sqrt {609}}-7\right)}{280}}\approx 0.189406343.}$

Эта точка неустойчива. Точки, близкие к этой неподвижной точке и расположенные вдоль наклона 1,924, будут приближаться к неподвижной точке, а точки, расположенные вдоль наклона -0,156, будут удаляться от неподвижной точки. Эти наклоны возникают из-за линеаризаций устойчивого многообразия и неустойчивого многообразия неподвижной точки. Неустойчивое многообразие неподвижной точки в аттракторе содержится в странном аттракторе отображения Хенона.

Отображение Хенона не имеет странного аттрактора для всех значений параметров a и b . Например, удерживая b фиксированным на уровне 0,3, бифуркационная диаграмма показывает, что при a = 1,25 отображение Хенона имеет устойчивую периодическую орбиту в качестве аттрактора.

Цвитанович и др. показали, как структуру странного аттрактора Хенона можно понять с точки зрения нестабильных периодических орбит внутри аттрактора.

Если построить несколько карт Хенона, для каждой карты изменяя значение b , а затем, сложив все карты вместе, получим диаграмму бифуркации . Диаграмма бифуркации, сложенная как тако. Отсюда ее форма бумеранга, если смотреть в 2D сверху.

Отображение Энона можно разложить на композицию трех функций, действующих на область определения одна за другой.

1) изгиб, сохраняющий площадь:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(x,1-ax^{2}+y)\,}$,

2) сокращение в направлении x :

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=(bx_{1},y_{1})\,}$,

3) отражение относительно линии y  =  x :

${\displaystyle (x_{3},y_{3})=(y_{2},x_{2})\,}$.

Карту Энона можно также разложить на одномерную карту, определенную аналогично последовательности Фибоначчи .

${\displaystyle x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}}$

Хотя карту Хенона можно построить на осях x и y , варьируя a и b , мы получаем два дополнительных измерения для построения графика. Таким образом, карту Хенона можно построить в четырехмерном пространстве . Мы можем визуализировать такой график, рассматривая одну гиперплоскость (т. е. один куб пространства) за раз, представляющую три оси, а затем перемещаясь вдоль четвертой оси с течением времени.

В примере видео справа три оси для каждого изображения в видео — это x , y и b . С течением времени перемещается ось a .

Если решить одномерное отображение Энона для частного случая:

${\displaystyle X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}}$

Приходим к простому квадратному уравнению:

${\displaystyle X=1-aX^{2}+bX}$

Или

${\displaystyle 0=-aX^{2}+(b-1)X+1}$

Квадратичная формула дает:

${\displaystyle X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}}$

В частном случае b=1 это упрощается до

${\displaystyle X={\pm {\sqrt {a}} \over a}}$

Если, кроме того, a находится в форме, формула еще больше упрощается до ${\displaystyle {1 \over c^{n}}}$

${\displaystyle X=\pm c^{n/2}}$

На практике начальная точка (X,X) будет следовать по 4-точечному контуру в двух измерениях, проходящему через все квадранты.

${\displaystyle (X,X)=(X,-X)}$

${\displaystyle (X,-X)=(-X,-X)}$

${\displaystyle (-X,-X)=(-X,X)}$

${\displaystyle (-X,X)=(X,X)}$

В 1976 году во Франции физик Ив Помо проанализировал аттрактор Лоренца , который провел ряд численных расчетов совместно с Ж. Л. Ибаньесом. ^[4] Анализ является своего рода дополнением к работе Рюэлля (и Ланфорда), представленной в 1975 году. Их интересовал именно аттрактор Лоренца, то есть тот, который соответствует исходным дифференциальным уравнениям, и его геометрическая структура. Помо и Ибаньес объединяют свои численные расчеты с результатами математического анализа, основанного на использовании сечений Пуанкаре. Растяжение, складывание, чувствительность к начальным условиям естественным образом приводятся в этом контексте в связи с аттрактором Лоренца. Если анализ в конечном итоге очень математический, Помо и Ибаньес следуют, в некотором смысле, физическому подходу, экспериментируя с системой Лоренца численно.

Два открытия привносятся именно этими опытами. Они позволяют выделить сингулярное поведение системы Лоренца: существует переход, характеризующийся критическим значением параметров системы, для которого система переключается из положения странного аттрактора в конфигурацию в предельном цикле. Важность будет раскрыта самим Помо (и его соавтором Полем Манневилем) через «сценарий» Перемежаемости , предложенный в 1979 году.

Второй путь, предложенный Помо и Ибаньесом, заключается в идее реализации динамических систем, еще более простых, чем у Лоренца, но имеющих схожие характеристики, и которые позволили бы более четко доказать «доказательства», выявленные численными расчетами. Поскольку рассуждения основаны на сечении Пуанкаре, он предлагает создать приложение плоскости самой по себе, а не дифференциальное уравнение, имитирующее поведение Лоренца и его странного аттрактора. Он строит его ad hoc способом, что позволяет ему лучше обосновать свои рассуждения.

В январе 1976 года Помо представил свою работу на семинаре в обсерватории Лазурного берега, на котором присутствовал Мишель Энон. Мишель Энон использует предложение Помо для получения простой системы со странным аттрактором. ^{[5] [6]}

В динамической системе оператор Купмана является естественным линейным оператором в пространстве скалярных полей. Для общих нелинейных систем собственные функции этого оператора не могут быть выражены в какой-либо удобной форме. Вместо этого их необходимо вычислять численно. Эти режимы могут дать представление о символической динамике хаотических отображений, таких как отображение Хенона. ^[7] В представленном режиме можно ясно увидеть устойчивое многообразие странного аттрактора .

Трехмерное обобщение для карты Хенона было предложено Хитцем и Зеле. ^[8] Оно задается как

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$.

Для и можно показать, что почти все начальные условия внутри единичной сферы генерируют хаотические сигналы с наибольшим показателем Ляпунова . ^[8]${\displaystyle \alpha =1.07}$${\displaystyle \beta =0.3}$ ${\displaystyle 0.23}$

В литературе было предложено много других обобщений. Например, можно генерировать хаотические сигналы с ограниченной полосой пропускания , используя цифровые фильтры в контуре обратной связи системы. ^{[9] [10]}

• Карта-подкова
• Теорема Такенса

• M. Hénon (1976). «Двумерное отображение со странным аттрактором». Communications in Mathematical Physics . 50 (1): 69–77. Bibcode :1976CMaPh..50...69H. doi :10.1007/BF01608556. S2CID  12772992.
• Предраг Цвитанович; Джемуну Гунаратне; Итамар Прокачча (1988). «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Хенона». Physical Review A. 38 ( 3): 1503–1520. Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C. doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID  9900529.
• Карлес Симо (1979). «Об аттракторе Энона-Помо». Журнал статистической физики . 21 (4): 465–494. дои : 10.1007/BF01009612. S2CID  122545201.
• Мишель Хенон и Ив Помо (1976). «Два странных аттрактора с простой структурой». Турбулентность и уравнения Навье-Стокса . Springer: 29–68.
• М. Мишелич; О. Э. Рёсслер (1989). «Новая особенность на карте Энона». Компьютеры и графика . 13 (2): 263–265. дои : 10.1016/0097-8493(89)90070-8.. Перепечатано в: Хаос и фракталы, компьютерное графическое путешествие: десятилетний сборник передовых исследований (ред. CA Pickover). Амстердам, Нидерланды: Elsevier, стр. 69–71, 1998
• Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Cham: Springer.

• Интерактивная карта Хенона и аттрактор Хенона в Chaotic Maps
• Еще одна интерактивная версия карты Хенона от А. Луна
• Диаграмма орбиты карты Энона, составленная К. Пеллисером-Лостао и Р. Лопесом-Руисом после работы Эда Пегга-младшего, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Код Matlab для карты Хенона от M.Suzen
• Моделирование карты Хенона в javascript (experiences.math.cnrs.fr) Марка Монтичелли.