Изоморфизм порядка
Эквивалентность частично упорядоченных множеств

В математической области теории порядка изоморфизм порядка — это особый вид монотонной функции , которая представляет собой подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (посетов). Всякий раз, когда два посета являются порядково изоморфными, их можно считать «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто переименованием элементов. Два строго более слабых понятия, которые относятся к изоморфизмам порядка, — это вложения порядка и связи Галуа . [1]

Определение

Формально, если заданы два частично упорядоченных множества и , изоморфизм порядка из в является биективной функцией из в со свойством, что для любого и в , тогда и только тогда, когда . То есть, это биективное вложение порядка . [2] ( С , ≤ С ) {\displaystyle (S,\leq _{S})} ( Т , ≤ Т ) {\displaystyle (T,\leq _{T})} ( С , ≤ С ) {\displaystyle (S,\leq _{S})} ( Т , ≤ Т ) {\displaystyle (T,\leq _{T})} ф {\displaystyle f} С {\displaystyle S} Т {\displaystyle Т} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} С {\displaystyle S} х ≤ С у {\displaystyle x\leq _{S}y} ф ( х ) ≤ Т ф ( у ) {\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений, которые охватывают все элементы и что он сохраняет упорядочения, достаточно, чтобы гарантировать, что также является однозначным, поскольку если то (по предположению, что сохраняет порядок) это будет следовать, что и , подразумевая по определению частичного порядка, что . ф {\displaystyle f} Т {\displaystyle Т} ф {\displaystyle f} ф ( х ) = ф ( у ) {\displaystyle f(x)=f(y)} ф {\displaystyle f} х ≤ у {\displaystyle x\leq y} у ≤ х {\displaystyle y\leq x} х = у {\displaystyle x=y}

Еще одна характеристика порядковых изоморфизмов состоит в том, что они являются в точности монотонными биекциями , имеющими монотонную обратную. [3]

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества на себя называется порядковым автоморфизмом . [4]

Когда дополнительная алгебраическая структура накладывается на частично упорядоченные множества и , функция из в должна удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы рассматриваться как изоморфизм. Например, если заданы две частично упорядоченные группы (po-группы) и , изоморфизм po-групп из в является изоморфизмом порядка, который также является изоморфизмом группы , а не просто биекцией, которая является вложением порядка . [5] ( С , ≤ С ) {\displaystyle (S,\leq _{S})} ( Т , ≤ Т ) {\displaystyle (T,\leq _{T})} ( С , ≤ С ) {\displaystyle (S,\leq _{S})} ( Т , ≤ Т ) {\displaystyle (T,\leq _{T})} ( Г , ≤ Г ) {\displaystyle (G,\leq _{G})} ( ЧАС , ≤ ЧАС ) {\displaystyle (H,\leq _{H})} ( Г , ≤ Г ) {\displaystyle (G,\leq _{G})} ( ЧАС , ≤ ЧАС ) {\displaystyle (H,\leq _{H})}

Примеры

  • Функция тождества на любом частично упорядоченном множестве всегда является порядковым автоморфизмом.
  • Отрицание является порядковым изоморфизмом от до (где — множество действительных чисел , а обозначает обычное числовое сравнение), поскольку − x ≥ − y тогда и только тогда, когда x ≤ y . [6] ( Р , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )} ( Р , ≥ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )} Р {\displaystyle \mathbb {R} } ≤ {\displaystyle \leq}
  • Открытый интервал (опять же, упорядоченный численно) не имеет порядкового изоморфизма с или из замкнутого интервала : замкнутый интервал имеет наименьший элемент, а открытый интервал — нет, и порядковые изоморфизмы должны сохранять существование наименьших элементов. [7] ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
  • По теореме Кантора об изоморфизме , любой неограниченный счетный плотный линейный порядок изоморфен порядку рациональных чисел . [8] Явные изоморфизмы порядка между квадратичными алгебраическими числами, рациональными числами и двоично-рациональными числами обеспечиваются функцией вопросительного знака Минковского . [9]

Типы заказов

Если — изоморфизм порядка, то также является его обратной функцией . Кроме того, если — изоморфизм порядка из в и — изоморфизм порядка из в , то композиция функций и сама является изоморфизмом порядка из в . [10] ф {\displaystyle f} ф {\displaystyle f} ( С , ≤ С ) {\displaystyle (S,\leq _{S})} ( Т , ≤ Т ) {\displaystyle (T,\leq _{T})} г {\displaystyle г} ( Т , ≤ Т ) {\displaystyle (T,\leq _{T})} ( У , ≤ У ) {\displaystyle (U,\leq _{U})} ф {\displaystyle f} г {\displaystyle г} ( С , ≤ С ) {\displaystyle (S,\leq _{S})} ( У , ≤ У ) {\displaystyle (U,\leq _{U})}

Говорят, что два частично упорядоченных множества являются упорядоченно изоморфными , когда существует упорядоченный изоморфизм одного из них на другой. [11] Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют, соответственно, трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, упорядоченный изоморфизм является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен им на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются упорядоченными типами .

Смотрите также

  • Шаблон перестановки — перестановка, которая по порядку изоморфна подпоследовательности другой перестановки.

Примечания

  1. ^ Блох (2011); Чесельский (1997).
  2. ^ Это определение использовал Цесельски (1997). Для Блоха (2011) и Шредера (2003) это следствие другого определения.
  3. ^ Это определение использовали Блох (2011) и Шредер (2003).
  4. ^ Шредер (2003), стр. 13.
  5. ^ Это определение эквивалентно определению, данному в работе Фукса (1963).
  6. ^ См. пример 4 в Ciesielski (1997), стр. 39, где представлен аналогичный пример с целыми числами вместо действительных чисел.
  7. ^ Ciesielski (1997), пример 1, с. 39.
  8. ^ Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёгнвалдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и чтения по математике, т. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, г-н  1632579
  9. ^ Girgensohn, Roland (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
  10. ^ Чесельский (1997); Шредер (2003).
  11. ^ Цесельский (1997).

Ссылки

  • Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: Первый курс абстрактной математики, Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265.
  • Цесельский, Кшиштоф (1997), Теория множеств для практикующего математика, Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 39, Cambridge University Press, стр. 38–39, ISBN 9780521594653.
  • Шрёдер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: Введение, Springer, стр. 11, ISBN 9780817641283.
  • Фукс, Ласло (1963), Частично упорядоченные алгебраические системы, Dover Publications; Переиздание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN 0486483878.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Порядковый_изоморфизм&oldid=1127632952"