6-демикуб
Однородный 6-многогранник
Демигексеракт
(6-демикуб)

Проекция полигона Петри
ТипОднородный 6-многогранник
Семьяполугиперкуб
Символ Шлефли{3,3 3,1 } = ч{4,3 4 }
с{2 1,1,1,1,1 }
Диаграммы Коксетера=
=





символ Коксетера1 31
5-гранный4412  {3 1,2,1 }
32 {3 4 }
4-х гранный25260 {3 1,1,1 }
192 {3 3 }
Клетки640160 {3 1,0,1 }
480 {3,3}
Лица640{3}
Края240
Вершины32
Вершинная фигураВыпрямленный 5-симплекс
Группа симметрииД 6 , [3 3,1,1 ] = [1 + ,4,3 4 ]
[2 5 ] +
Петри полигондекагон
Характеристикивыпуклый

В геометрии 6-демикуб или демигексеракт — это однородный 6-многогранник , построенный из 6-куба ( гексеракта ) с удаленными чередующимися вершинами. Он является частью размерно бесконечного семейства однородных многогранников , называемых демигиперкубами .

В 1912 году Э. Л. Элте определил его как полуправильный многогранник, обозначив его как HM 6 для 6-мерного многогранника с половинной мерой .

Коксетер назвал этот многогранник 1 31 из-за его диаграммы Коксетера с кольцом на одной из ветвей длины 1,. Его можно назвать аналогичным образом с помощью трехмерного экспоненциального символа Шлефли или {3,3 3,1 }. { 3 3 , 3 , 3 3 } {\displaystyle \left\{3{\begin{array}{l}3,3,3\\3\end{array}}\right\}}

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин полугексагонального треугольника с центром в начале координат представляют собой чередующиеся половины гексагонального треугольника :

(±1,±1,±1,±1,±1,±1)

с нечетным числом знаков плюс.

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет 6-демикуб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням и 5-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 6-демикубе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. [1] [2]

Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , разделяющего полный групповой порядок на подгрупповой порядок путем удаления одного зеркала за раз. [3]

Д 6к-лицоф кф 0ф 1ф 2ф 3ф 4ф 5к -цифрапримечания
А 4( )ф 03215602060153066г{3,3,3,3}Д 6 /А 4 = 32*6!/5! = 32
А 3 А 1 А 1{ }ф 1224084126842{}x{3,3}Д 6 /А 3 А 1 А 1 = 32*6!/4!/2/2 = 240
А 3 А 2{3}ф 233640133331{3}в( )Д 6 /А 3 А 2 = 32*6!/4!/3! = 640
А 3 А 1ч{4,3}ф 3464160*3030{3}Д 6 /А 3 А 1 = 32*6!/4!/2 = 160
А 3 А 2{3,3}464*4801221{}в( )Д 6 /А 3 А 2 = 32*6!/4!/3! = 480
Д 4 А 1ч{4,3,3}ф 4824328860*20{ }Д 6 /Д 4 А 1 = 32*6!/8/4!/2 = 60
А 4{3,3,3}5101005*19211Д 6 /А 4 = 32*6!/5! = 192
Д 5ч{4,3,3,3}ф 516801604080101612*( )Д 6 /Д 5 = 32*6!/16/5! = 12
А 5{3,3,3,3}6152001506*32Д 6 /А 5 = 32*6!/6! = 32

Изображения

ортографические проекции
самолет КоксетераБ 6
График
Диэдральная симметрия[12/2]
самолет КоксетераД 6Д 5
График
Диэдральная симметрия[10][8]
самолет КоксетераД 4Д 3
График
Диэдральная симметрия[6][4]
самолет КоксетераА 5А 3
График
Диэдральная симметрия[6][4]

Существует 47 однородных многогранников с симметрией D6 , 31 из них имеют симметрию B6 , а 16 являются уникальными:

Многогранники D6

ч{4,34}
ч 2 {4,3 4 }
ч 3 {4,3 4 }
ч 4 {4,3 4 }
ч 5 {4,3 4 }
ч 2,3 {4,3 4 }
ч 2,4 {4,3 4 }
ч 2,5 {4,3 4 }

ч 3,4 {4,3 4 }
ч 3,5 {4,3 4 }
ч 4,5 {4,3 4 }
ч 2,3,4 {4,3 4 }
ч 2,3,5 {4,3 4 }
ч 2,4,5 {4,3 4 }
ч 3,4,5 {4,3 4 }
ч 2,3,4,5 {4,3 4 }

6-демикуб, 1 31 является третьим в размерной серии однородных многогранников, выраженной Коксетером как серия k 31. Пятая фигура — это евклидовы соты, 3 31 , а последняя — некомпактные гиперболические соты, 4 31 . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершинной фигуры .

к 31 объемным фигурам
н456789

Группа Коксетера		А 3 А 1А 5Д 6Е 7 Э ~ 7 {\displaystyle {\tilde {E}}_{7}} = Е 7 + Т ¯ 8 {\displaystyle {\bar {T}}_{8}} =Э 7 ++

Диаграмма Коксетера
Симметрия[3 −1,3,1 ][3 0,3,1 ][3 1,3,1 ][3 2,3,1 ][3 3,3,1 ][3 4,3,1 ]
Заказ4872023,0402,903,040∞
График--
Имя−1 310 311312 313 314 31

Это также вторая фигура в размерной серии однородных многогранников и сот, выраженная Коксетером как серия 1 3k . Четвертая фигура — евклидовы соты 1 33 , а последняя — некомпактные гиперболические соты 1 34 .

1 3k- мерные фигуры
КосмосКонечныйЕвклидовГиперболический
н456789

Группа Коксетера		А 3 А 1А 5Д 6Е 7 Э ~ 7 {\displaystyle {\tilde {E}}_{7}} =Э 7 + Т ¯ 8 {\displaystyle {\bar {T}}_{8}} =Э 7 ++

Диаграмма Коксетера
Симметрия[3 −1,3,1 ][3 0,3,1 ][3 1,3,1 ][3 2,3,1 ][[3 3,3,1 ]][3 4,3,1 ]
Заказ4872023,0402,903,040∞
График--
Имя1 3,-11 301311 321 33134

Косой икосаэдр

Коксетер определил подмножество из 12 вершин, которые образуют правильный косой икосаэдр {3, 5} с теми же симметриями, что и сам икосаэдр, но под другими углами. Он назвал это правильным косым икосаэдром . [4] [5]

Ссылки

  1. ^ Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8 Конфигурации
  2. ^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
  3. ^ Клитцинг, Ричард. "x3o3o *b3o3o3o - hax".
  4. ^ Коксетер, Х. С. М. Красота геометрии: двенадцать эссе (ред. Дувра). Dover Publications. стр.  450–451 . ISBN 9780486409191.
  5. ^ Деза, Майкл; Штогрин, Михаил (2000). «Вложение графов регулярных мозаик и звездных сот в графы гиперкубов и кубических решеток». Advanced Studies in Pure Mathematics . Arrangements – Tokyo 1998: 77. doi : 10.2969/aspm/02710073 . ISBN 978-4-931469-77-8. Получено 4 апреля 2020 г. .
  • HSM Коксетер :
    • Коксетер, Правильные многогранники , (3-е издание, 1973), издание Дувра, ISBN 0-486-61480-8 , стр.296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерности (n≥5) 
    • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3-е издание, Dover New York, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Regular Polytopes, три regular polytopes в n-мерностях (n≥5)
    • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
      • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 n1 ) 
  • Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты) x3o3o *b3o3o3o – hax».
  • Ольшевский, Джордж. "Demihexeract". Глоссарий для Hyperspace . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
  • Многомерный глоссарий
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерностях 2–10
СемьяА нБ нЯ 2 (п) / Д нЕ 6 / Е 7 / Е 8 / Ф 4 / Соль 2Н н
Правильный многоугольникТреугольникКвадратп-гонШестиугольникПентагон
Однородный многогранникТетраэдрОктаэдр • КубДемикубДодекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихоронПентахорон16-ячеечный • ТессерактДемитессеракт24-ячеечный120-ячеечный • 600-ячеечный
Однородный 5-многогранник5-симплекс5-ортоплекс • 5-куб5-демикуб
Однородный 6-многогранник6-симплекс6-ортоплекс • 6-куб6-демикуб1 22 • 2 21
Однородный 7-многогранник7-симплекс7-ортоплекс • 7-куб7-демикуб1 32 • 2 31 • 3 21
Однородный 8-многогранник8-симплекс8-ортоплекс • 8-куб8-демикуб1 42 • 2 41 • 4 21
Однородный 9-многогранник9-симплекс9-ортоплекс • 9-куб9-демикуб
Однородный 10-многогранник10-симплекс10-ортоплекс • 10-куб10-демикуб
Однородный n - многогранникн - симплексn - ортоплекс • n - кубн - демикуб1 к2 • 2 к1 • к 21n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=6-demicube&oldid=1269908552"