Демигиперкуб

В геометрии полугиперкубы (также называемые n - демикубами , n-гемикубами и многогранниками с половинной мерой ) — это класс n - многогранников, построенных путем чередования n - гиперкуба , обозначенный как hγ _{n ,} так как он является половиной семейства гиперкубов, γ _n . Половина вершин удаляется, и образуются новые грани. 2 n граней становятся 2 n ( n −1)-демикубами , а 2 n ⁽ n −1 )-симплексные грани образуются на месте удаленных вершин. ^[1]

Они были названы с префиксом demi- к каждому имени гиперкуба : demi cube , demi tesseract и т. д. Demicube идентичен правильному тетраэдру , а demitesseract идентичен правильному 16-ячеечному . Demipenteract считается полуправильным, так как имеет только правильные грани. Более высокие формы не имеют всех правильных граней, но все являются однородными многогранниками .

Вершины и ребра полугиперкуба образуют две копии графа половинного куба .

n -демикуб имеет инверсионную симметрию , если n четно .

Торольд Госсет описал демипентеракт в своей публикации 1900 года, в которой перечислил все правильные и полуправильные фигуры в n -мерностях выше трех. Он назвал его 5-ic полуправильным . Он также существует в семействе полуправильных k ₂₁ многогранников .

Полугиперкубы могут быть представлены расширенными символами Шлефли вида h{4,3,...,3} как половина вершин {4,3,...,3}. Вершинные фигуры полугиперкубов являются выпрямленными n - симплексами .

Они представлены диаграммами Кокстера-Дынкина трех конструктивных форм:

1. ... (Как альтернативный ортотоп ) s{2 ^1,1,...,1 }
2. ...(Как альтернативный гиперкуб ) h{4,3 ^{n −1} }
3. .... (Как полугиперкуб) {3 ^{1, n −3,1} }

HSM Coxeter также обозначил третьи бифуркационные диаграммы как 1 _{k 1,} представляющие длины трех ветвей и возглавляемые кольцевой ветвью.

n -demicube , n больше 2, имеет n ( n −1)/2 ребер, сходящихся в каждой вершине. Графики ниже показывают меньше ребер в каждой вершине из-за перекрывающихся ребер в проекции симметрии.

н	1 к 1	Петри полигон	Символ Шлефли	Диаграммы Кокстера A 1 n B n D n	Элементы										Грани : полугиперкубы и симплексы	Вершинная фигура
					Вершины	Края	Лица	Клетки	4-х гранный	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-гранный
2	1 −1,1	полуквадрат ( двуугольник )	с{2} ч{4} {3 1,−1,1 }		2	2									2 ребра	--
3	1 01	полукуб ( тетраэдр )	с{2 1,1 } ч{4,3} {3 1,0,1 }		4	6	4								(6 двуугольников ) 4 треугольника	Треугольник (Выпрямленный треугольник)
4	1 11	демитессеракт ( 16-клеточный )	с{2 1,1,1 } ч{4,3,3} {3 1,1,1 }		8	24	32	16							8 полукубов (тетраэдров) 8 тетраэдров	Октаэдр (выпрямленный тетраэдр)
5	1 21	демипентеракт	с{2 1,1,1,1 } ч{4,3 3 }{3 1,2,1 }		16	80	160	120	26						10 16-ячеек 16 5-ячеек	Выпрямленный 5-ти ячеечный
6	1 31	полугексацикл	с{2 1,1,1,1,1 } ч{4,3 4 }{3 1,3,1 }		32	240	640	640	252	44					12 демипентерактов 32 5- симплексов	Гексатерон ректифицированный
7	1 41	полугептеракт	с{2 1,1,1,1,1,1 } ч{4,3 5 }{3 1,4,1 }		64	672	2240	2800	1624	532	78				14 полугексерактов 64 6- симплексов	Выпрямленный 6-симплекс
8	1 51	демиоктеракт	с{2 1,1,1,1,1,1,1 } ч{4,3 6 }{3 1,5,1 }		128	1792	7168	10752	8288	4032	1136	144			16 полугептерактов 128 7- симплексов	Выпрямленный 7-симплекс
9	1 61	demienneract	с{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1 } ч{4,3 7 }{3 1,6,1 }		256	4608	21504	37632	36288	23520	9888	2448	274		18 демиоктерактов 256 8- симплексов	Выпрямленный 8-симплекс
10	1 71	демидекеракт	с{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 } ч{4,3 8 }{3 1,7,1 }		512	11520	61440	122880	142464	115584	64800	24000	5300	532	20 деменнерактов 512 9- симплексов	Выпрямленный 9-симплекс
...
н	1 н −3,1	n-демикуб	с{2 1,1,...,1 } ч{4,3 n −2 }{3 1, n −3,1 }	... ... ...	2 n −1										2 n ( n −1)-полукубы 2 n −1 ( n −1)- симплексы	Выпрямленный ( n −1)-симплекс

В общем случае элементы полукуба можно определить из исходного n -куба: (при C _{n , m} = m -е количество ^граней в n -кубе = 2 ^{n − m} n !/( m !( n − m )!))

• Вершины: D _{n ,0} = 1/2 C _{n ,0} = 2 ^{n −1} ( Остается половина вершин n -куба)
• Ребра: D _{n ,1} = C _{n ,2} = 1/2 n ( n −1) 2 ^{n −2} (Все исходные ребра потеряны, каждая квадратная грань создает новое ребро)
• Грани: D _{n ,2} = 4 * C _{n ,3} = 2/3 n ( n −1)( n −2) 2 ^{n −3} (Все исходные грани потеряны, каждый куб создает 4 новые треугольные грани)
• Ячейки: D _{n ,3} = C _{n ,3} + 2 ³ C _{n ,4} (тетраэдры из исходных ячеек плюс новые)
• Гиперячейки: D _{n ,4} = C _{n ,4} + 2 ⁴ C _{n ,5} (16-ячейки и 5-ячейки соответственно)
• ...
• [Для m = 3,..., n −1]: D _{n , m} = C _{n , m} + 2 ^m C _{n , m +1} ( m -демикубы и m -симплексы соответственно)
• ...
• Грани: D _{n , n −1} = 2 n + 2 ^{n −1} (( n −1)-демикубы и ( n −1)-симплексы соответственно)

Стабилизатор полугиперкуба в гипероктаэдрической группе ( группа Коксетера [4,3 ^{n −1} ]) имеет индекс 2. Это группа Коксетера [3 ^{n −3,1,1} ] порядка , и она генерируется перестановками осей координат и отражениями вдоль пар осей координат. ^[2]${\displaystyle BC_{n}}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle 2^{n-1}n!}$

Конструкции в виде чередующихся ортотопов имеют одинаковую топологию, но могут быть растянуты на разные длины по n -осям симметрии.

Ромбический двуклиноид является трехмерным примером альтернированного кубоида. Он имеет три набора длин ребер и грани в виде разносторонних треугольников.

• Гиперкубические соты
• Полуправильный E-многогранник

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900
• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 ) 
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

• Ольшевский, Джордж. "Полумерный многогранник". Глоссарий для гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 г.