16-ячеечный

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: Удалить пояснительные сноски. Экранные дикторы могут поместить их в конец статьи, что будет сбивать с толку вне контекста. Объединить с основным текстом или удалить там, где контент уже охвачен связанной статьей. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Май 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

16-клеточный (4-ортоплекс)
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник 4- ортоплекс 4- демикуб
Символ Шлефли	{3,3,4}
Диаграмма Коксетера
Клетки	16 {3,3}
Лица	32 {3}
Края	24
Вершины	8
Вершинная фигура	Октаэдр
Петри полигон	восьмиугольник
Группа Коксетера	B 4 , [3,3,4], порядок 384 D 4 , порядок 192
Двойной	Тессеракт
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный , правильный , многогранник Ханнера
Единый индекс	12

В геометрии 16-ячейка — это правильный выпуклый 4-многогранник (четырехмерный аналог Платонового тела) с символом Шлефли {3,3,4}. Это один из шести правильных выпуклых 4-многогранников, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. ^[1] Его также называют C ₁₆ , гексадекахороном ^[2] или гексдекаэдроидом [ sic ? ] . ^[3]

Это 4-мерный член бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-политопами , ортоплексами или гипероктаэдрами, которые аналогичны октаэдру в трех измерениях. Это многогранник Коксетера. ^[4] Двойственный многогранник — тессеракт (4- куб ), с которым его можно объединить, чтобы сформировать составную фигуру. Ячейки 16-ячейки двойственны 16 вершинам тессеракта.${\displaystyle \beta _{4}}$

16-ячейка является второй в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников (в порядке размера и сложности). ^[a]

Каждый из его 4-х последующих выпуклых правильных 4-мерных многогранников может быть построен как выпуклая оболочка многогранника, состоящего из нескольких 16-ячеек: тессеракт с 16 вершинами как соединение двух 16-ячеек, 24-вершинный 24-ячеечный как соединение трех 16-ячеек, 120-вершинный 600-ячеечный как соединение пятнадцати 16-ячеек и 600-вершинный 120-ячеечный как соединение семидесяти пяти 16-ячеек. ^[b]

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
Группа симметрии	А 4	Б 4		Ф 4	Н 4
Имя	5-ти ячеечный Гипертетраэдр 5 - точечный	16-ячеечный Гипероктаэдр 8- конечный	8-ячеечный Гиперкуб 16 -точечный	24-ячеечный 24-очковый	600-ячеечный Гиперикосаэдр 120 -точечный	120-ячеечный Гипердодекаэдр 600 - точечный
Символ Шлефли	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Зеркала Коксетера
Зеркальные двугранные углы	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
График
Вершины	5 тетраэдрический	8 октаэдрический	16 тетраэдрический	24 кубических	120 икосаэдрический	600 тетраэдрический
Края	10 треугольных	24 квадрата	32 треугольных	96 треугольный	720 пятиугольный	1200 треугольный
Лица	10 треугольников	32 треугольника	24 квадрата	96 треугольников	1200 треугольников	720 пятиугольников
Клетки	5 тетраэдров	16 тетраэдров	8 кубиков	24 октаэдра	600 тетраэдров	120 додекаэдров
Тори	1 5-тетраэдр	2 8-тетраэдр	2 4-кубовый	4 6-октаэдр	20 30-тетраэдр	12 10-додекаэдр
Надписанный	120 в 120-ячеечной	675 в 120-ячеечной	2 16-ти ячеечные	3 8-ячеечные	25 24-ячеечный	10 600-ячеек
Большие полигоны		2 квадрата х 3	4 прямоугольника х 4	4 шестиугольника x 4	12 декагонов x 6	100 неправильных шестиугольников x 4
Петри полигоны	1 пятиугольник x 2	1 восьмиугольник x 3	2 восьмиугольника x 4	2 двенадцатиугольника x 4	4 30-угольника x 6	20 30-угольников x 4
Длинный радиус	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Длина кромки	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0,270}$
Короткий радиус	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$
Область	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\приблизительно 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\приблизительно 27,713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\приблизительно 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\приблизительно 198,48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\приблизительно 90,366}$
Объем	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\приблизительно 2,329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\приблизительно 5,333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\приблизительно 11,314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\приблизительно 16,693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\приблизительно 18,118}$
4-Контент	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\приблизительно 0,146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\приблизительно 0,667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Короткий}}\times {\text{Объем}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

16-ячейка представляет собой 4-мерный крестовый многогранник (4-ортоплекс) , что означает, что его вершины лежат в противоположных парах на 4 осях декартовой системы координат (w, x, y, z).

Восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, за исключением противоположных пар. Длина ребра равна √ 2 .

Координаты вершин образуют 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Квадраты в противоположных плоскостях, которые не имеют общей оси (например, в плоскостях xy и wz ), полностью не пересекаются (они не пересекаются ни в одной вершине). ^[c]

16-ячеечная система представляет собой ортонормальный базис для выбора 4-мерной системы отсчета, поскольку ее вершины точно определяют четыре ортогональные оси.

Символ Шлефли 16-ячейки — {3,3,4}, указывающий, что ее ячейки — правильные тетраэдры {3,3}, а ее вершинная фигура — правильный октаэдр {3,4}. В каждой вершине сходятся 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 ребер. Ее реберная фигура — квадрат. В каждом ребре сходятся 4 тетраэдра и 4 треугольника.

16-ячейка ограничена 16 ячейками , все из которых являются правильными тетраэдрами . ^[e] Она имеет 32 треугольные грани , 24 ребра и 8 вершин . 24 ребра ограничивают 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих на больших окружностях в 6 координатных плоскостях (3 пары полностью ортогональных ^[f] больших квадратов). В каждой вершине перпендикулярно пересекаются 3 больших квадрата. 6 ребер встречаются в вершине так же, как 6 ребер встречаются в вершине канонической октаэдрической пирамиды . ^[d] 6 ортогональных центральных плоскостей 16-ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждое из которых образует октаэдр с 3 ортогональными большими квадратами.

3D-проекция 16-клеточного объекта, выполняющего простое вращение.

3D-проекция 16-клеточного объекта, совершающего двойной поворот.

Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. ^[6] 16-ячеечная система является простой системой, в которой можно наблюдать 4-мерные вращения, поскольку каждый из 6 больших квадратов 16-ячеечной системы имеет другой полностью ортогональный большой квадрат (существует 3 пары полностью ортогональных квадратов). ^[c] Многие вращения 16-ячеечной системы можно охарактеризовать углом поворота в одной из ее плоскостей большого квадрата (например, плоскость xy ) и другим углом поворота в полностью ортогональной плоскости большого квадрата ( плоскость wz ). ^[j] Полностью ортогональные большие квадраты имеют непересекающиеся вершины: 4 из 8 вершин 16-ячеечной системы вращаются в одной плоскости, а другие 4 вращаются независимо в полностью ортогональной плоскости. ^[g]

В 2 или 3 измерениях вращение характеризуется одной плоскостью вращения; этот вид вращения, происходящий в 4-мерном пространстве, называется простым вращением , в котором вращается только одна из двух полностью ортогональных плоскостей (угол вращения в другой плоскости равен 0). В 16-ячеечном пространстве простое вращение в одной из 6 ортогональных плоскостей перемещает только 4 из 8 вершин; остальные 4 остаются неподвижными. (В анимации простого вращения выше все 8 вершин перемещаются, поскольку плоскость вращения не является одной из 6 ортогональных базисных плоскостей.)

При двойном вращении оба набора из 4 вершин движутся, но независимо: углы вращения могут быть разными в 2 полностью ортогональных плоскостях. Если два угла окажутся одинаковыми, то произойдет максимально симметричное изоклиническое вращение . ^[q] В 16-ячейке изоклиническое вращение на 90 градусов любой пары полностью ортогональных квадратных плоскостей переводит каждую квадратную плоскость в ее полностью ортогональную квадратную плоскость. ^[r]

Октаэдр${\displaystyle \beta _{3}}$	16-ячеечный${\displaystyle \beta _{4}}$
Ортогональные проекции на наклонную шестиугольную гиперплоскость

Простейшая конструкция 16-ячейки находится на 3-мерном крестовом многограннике, октаэдре . Октаэдр имеет 3 перпендикулярные оси и 6 вершин в 3 противоположных парах (его многоугольник Петри — шестиугольник ). Добавьте еще одну пару вершин на четвертой оси, перпендикулярной всем 3 другим осям. Соедините каждую новую вершину со всеми 6 исходными вершинами, добавив 12 новых ребер. Это поднимает две октаэдрические пирамиды на общем основании октаэдра, которое лежит в центральной гиперплоскости 16-ячейки. ^[10]

Октаэдр, с которого начинается построение, имеет три перпендикулярных пересекающихся квадрата (которые выглядят как прямоугольники в гексагональных проекциях). Каждый квадрат пересекается с каждым из других квадратов в двух противоположных вершинах, с двумя из квадратов, пересекающихся в каждой вершине. Затем добавляются еще две точки в четвертом измерении (выше и ниже трехмерной гиперплоскости). Эти новые вершины соединяются со всеми вершинами октаэдра, создавая 12 новых ребер и еще три квадрата (которые выглядят как 3 диаметра шестиугольника в проекции) и еще три октаэдра. ^[h]

Также было создано нечто беспрецедентное. Обратите внимание, что каждый квадрат больше не пересекается со всеми другими квадратами: он пересекается с четырьмя из них ( теперь три квадрата пересекаются в каждой вершине), но у каждого квадрата есть один другой квадрат, с которым он не имеет общих вершин: он вообще не связан напрямую с этим квадратом. Эти два отдельных перпендикулярных квадрата (их три пары) подобны противоположным ребрам тетраэдра : перпендикулярны, но не пересекаются. Они лежат друг напротив друга (в некотором смысле параллельны), и они не касаются, но они также проходят друг через друга, как два перпендикулярных звена в цепи (но в отличие от звеньев в цепи у них общий центр). Они являются примером параллельных плоскостей Клиффорда , а 16-ячейный является простейшим правильным многогранником, в котором они встречаются. Параллелизм Клиффорда ^[l] объектов более чем одного измерения (более чем просто кривые линии ) возникает здесь и встречается во всех последующих 4-мерных правильных многогранниках, где его можно рассматривать как определяющее отношение между непересекающимися концентрическими правильными 4-мерными многогранниками и их соответствующими частями. Он может встречаться между конгруэнтными (подобными) многогранниками 2 или более измерений. ^[11] Например, как отмечено выше, все последующие выпуклые правильные 4-мерные многогранники являются соединениями нескольких 16-ячеек; эти 16-ячеек являются параллельными многогранниками Клиффорда .

16-ячейка имеет две конструкции Витхоффа из правильных тетраэдров, правильную форму и чередующуюся форму, показанную здесь как развёртки , вторая представлена ​​тетраэдрическими ячейками двух чередующихся цветов. Чередующаяся форма является конструкцией с более низкой симметрией 16-ячейки, называемой демитессерактом .

Конструкция Витхоффа воспроизводит характерную 5-ячейку 16-ячейки в калейдоскопе зеркал. Каждый правильный 4-политоп имеет свою характерную 4-ортосхему, неправильную 5-ячейку . ^[s] Существует три правильных 4-политопа с тетраэдрическими ячейками: 5-ячейка , 16-ячейка и 600-ячейка . Хотя все они ограничены правильными тетраэдрическими ячейками, их характерные 5-ячейки (4-ортосхемы) являются различными тетраэдрическими пирамидами , все основаны на одном и том же характерном неправильном тетраэдре. Они разделяют один и тот же характерный тетраэдр (3-ортосхема) и характерный прямоугольный треугольник (2-ортосхема), потому что у них один и тот же тип ячейки. ^[t]

Характеристики 16-клеточного [13]
	край [14]	дуга		двугранный [15]
𝒍	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	120°	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$
𝟀	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816}$	60″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝝉 [у]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	45″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$	30″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$

Характерная 5-ячейка обычной 16-ячейки представлена ​​диаграммой Коксетера-Дынкина , который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. Это неправильная тетраэдрическая пирамида , основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Правильный 16-ячейник подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 384 экземпляра его характерного 5-ячейника, которые все встречаются в его центре.

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с его вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре правильной 16-ячейки). ^[v] Если правильная 16-ячейка имеет ребро единичного радиуса и длину ребра 𝒍 = , десять ребер ее характеристической 5-ячейки имеют длины , , вокруг ее внешней прямоугольной треугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[u] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы грани характеристического тетраэдра, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами правильной 16-ячейки). Путь из 4 ребер вдоль ортогональных ребер ортосхемы выглядит следующим образом : сначала от вершины из 16 ячеек к центру ребра из 16 ячеек, затем поворот на 90° к центру грани из 16 ячеек, затем поворот на 90° к центру тетраэдрической ячейки из 16 ячеек, затем поворот на 90° к центру 16 ячеек.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$

16-ячейка может быть построена (тремя различными способами) из двух спиралей Бурдейка–Коксетера из восьми соединенных тетраэдров, каждая из которых изогнута в четвертом измерении в кольцо. ^{[16] [17]} Две круговые спирали закручиваются вокруг друг друга, вкладывают друг в друга и проходят друг через друга, образуя связь Хопфа . 16 треугольных граней можно увидеть в 2D-сети внутри треугольной мозаики с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Фиолетовые ребра представляют собой многоугольник Петри 16-ячейки. Восьмиячейковое кольцо тетраэдров содержит три октаграммы разных цветов, восьмиреберные круговые пути, которые дважды обвивают 16-ячейку на каждой третьей вершине октаграммы. Оранжевые и желтые ребра представляют собой две четырехреберные половины одной октаграммы, которые соединяют свои концы, образуя ленту Мёбиуса .

Таким образом, 16-ячейка может быть разложена на две непересекающиеся ячейки круговые цепи по восемь тетраэдров каждая, длиной четыре ребра, одно спирально закрученное вправо (по часовой стрелке), а другое спирально закрученное влево (против часовой стрелки). Левые и правые кольца ячеек подходят друг другу, вкладывают друг в друга и полностью заполняют 16-ячейку, хотя они имеют противоположную хиральность. Это разложение можно увидеть в конструкции дуоантипризмы 4-4 16-ячейки:или, символ Шлефли {2}⨂{2} или s{2}s{2}, симметрия [4,2 ⁺ ,4], порядок 64.

Три восьмиреберных пути (разных цветов) спиралевидно проходят вдоль каждого восьмиклеточного кольца, образуя углы в 90° в каждой вершине. (В спирали Бурдейка–Коксетера до того, как она сгибается в кольцо, углы в разных путях различаются, но не равны 90°.) Три пути (с тремя разными цветами и видимыми углами) проходят через каждую вершину. Когда спираль сгибается в кольцо, сегменты каждого восьмиреберного пути (разной длины) соединяются своими концами, образуя ленту Мёбиуса длиной восемь ребер вдоль ее односторонней окружности 4𝝅 и шириной одно ребро. ^[p] Шесть четырехреберных половин трех восьмиреберных путей образуют четыре угла в 90°, но они не являются шестью ортогональными большими квадратами: это открытые квадраты, четырехреберные 360° спирали, открытые концы которых являются антиподальными вершинами. Четыре ребра исходят из четырех разных больших квадратов и взаимно ортогональны. Объединенные конец к концу в пары одинаковой хиральности , шесть четырехреберных путей образуют три восьмиреберные петли Мёбиуса, винтовые октаграммы. Каждая октаграмма является как многоугольником Петри 16-ячейки, так и винтовой дорожкой, вдоль которой все восемь вершин вращаются вместе, в одном из отдельных изоклинических вращений 16-ячейки. ^[w]

Пять способов взглянуть на одну и ту же перекошенную октаграмму [x]
Крайний путь	Полигон Петри [18]	16-ячеечный	Дискретное расслоение	Диаметр хорды
Октаграмма {8/3} [19]	Октаграмма {8/1}	Самолет Коксетера B 4	Октаграмма {8/2}=2{4}	Октаграмма {8/4}=4{2}
Восемь √ 2 хорд краевого пути изоклины. [y]	Косой восьмиугольник из восьми √ 2 ребер. 16-ячейка имеет 3 таких 8-вершинных контура.	Все 24 √ 2 ребра и четыре √ 4 ортогональные оси.	Два полностью ортогональных (непересекающихся) больших квадрата с √ 2 ребрами. [g]	Четыре √ 4 хорды изоклины. Каждая четвертая вершина изоклины соединена со своей антиподальной вершиной 16-клеточной осью. [y]

Каждая восьмиреберная спираль представляет собой косую октаграмму _{8/3} , которая трижды обвивается вокруг 16-ячейки и посещает каждую вершину, прежде чем замкнуться в петлю. Ее восемь √ 2 ребер являются хордами изоклины , винтовой дуги, по которой 8 вершин описывают окружность во время изоклинического вращения. ^[p] Все восемь 16-ячейных вершин находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, за исключением противоположных (антиподальных) вершин, которые находятся на расстоянии √ 4 друг от друга. Вершина, движущаяся по изоклине, посещает три другие вершины, которые находятся на расстоянии √ 2 друг от друга, прежде чем достичь четвертой вершины, которая находится на расстоянии √ 4. ^[o]

Восьмиячеечное кольцо хирально : есть правосторонняя форма, которая закручивается по часовой стрелке, и левосторонняя форма, которая закручивается против часовой стрелки. 16-ячеечное кольцо содержит по одному из них, поэтому оно также содержит левую и правую изоклину; изоклина является круговой осью, вокруг которой закручивается восьмиячеечное кольцо. Каждая изоклина посещает все восемь вершин 16-ячеечного кольца. ^[ab] Каждое восьмиячеечное кольцо содержит половину из 16 ячеек, но все 8 вершин; два кольца разделяют вершины, поскольку они вложены друг в друга и подходят друг другу. Они также разделяют 24 ребра, хотя левые и правые спирали октаграммы являются различными путями восьми ребер. ^[ac]

Поскольку существует три пары полностью ортогональных больших квадратов, ^[c] существует три конгруэнтных способа составить 16-ячеечный из двух восьмиячеечных колец. 16-ячеечный содержит три лево-правые пары восьмиячеечных колец в разных ориентациях, причем каждое ячеечное кольцо содержит свою осевую изоклину. ^[w] Каждая лево-правая пара изоклин является следом лево-правой пары различных изоклинных вращений: вращений в одной паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей вращения. ^[g] В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть октаграммных изоклин, которые пересекаются в вершине и разделяют 16-ячеечную осевую хорду. ^[ad]

Эта матрица конфигурации представляет собой 16-ячейку. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 16-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Можно разбить 4-мерное евклидово пространство на правильные 16-ячейки. Это называется 16-ячеечными сотами и имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Следовательно, 16-ячейка имеет двугранный угол 120°. ^[21] Каждая 16-ячейка имеет 16 соседей, с которыми она делит тетраэдр, 24 соседа, с которыми она делит только ребро, и 72 соседа, с которыми она делит только одну точку. Двадцать четыре 16-ячейки встречаются в любой заданной вершине в этой разбивке.

Двойственная мозаика, 24-ячеистая сота , {3,4,3,3}, состоит из правильных 24 -ячеек . Вместе с тессерактическими сотами {4,3,3,4} это единственные три правильные мозаики R ⁴ .

ортографические проекции

самолет Коксетера	Б 4	Б 3 / Д 4 / А 2	Б 2 / Д 3
График
Диэдральная симметрия	[8]	[6]	[4]
самолет Коксетера	Ф 4	А 3
График
Диэдральная симметрия	[12/3]	[4]

Параллельная проекция ячейки-первая 16-ячейки в 3-пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшая и самая дальняя ячейки проецируются на вписанные тетраэдры внутри куба, что соответствует двум возможным способам вписать правильный тетраэдр в куб. Вокруг каждого из этих тетраэдров находятся 4 других (неправильных) тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 окружающих тетраэдрических ячеек, заполняя пространство между вписанным тетраэдром и кубом. Оставшиеся 6 ячеек проецируются на квадратные грани куба. В этой проекции 16-ячейки все ее ребра лежат на гранях кубической оболочки.

Перспективная проекция ячейки-первой 16-ячейки в 3-пространство имеет оболочку из триакистетраэдра . Расположение ячеек внутри этой оболочки аналогично параллельной проекции ячейки-первой.

Вершинно-первая параллельная проекция 16-ячейки в 3-пространство имеет октаэдрическую оболочку . Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезав по координатным плоскостям. Каждый из этих объемов является изображением пары ячеек в 16-ячейке. Ближайшая к наблюдателю вершина 16-ячейки проецируется на центр октаэдра.

Наконец, параллельная проекция, ориентированная ребром, имеет укороченную октаэдрическую оболочку, а параллельная проекция, ориентированная гранью, имеет гексагональную бипирамидальную оболочку.

Трехмерная проекция 16-ячеечной и 4 пересекающихся сфер ( диаграмма Венна из 4 множеств) топологически эквивалентны.

Группа симметрии 16-клеточного кристалла обозначается B ₄ .

Существует более низкосимметричная форма 16-ячеечного куба , называемая полутессерактом или 4-демикубом , членом семейства полугиперкубов , представленная диаграммами h{4,3,3} и Коксетера. или. Его можно нарисовать двухцветным с чередующимися тетраэдрическими ячейками.

Его также можно увидеть в форме с более низкой симметрией как тетраэдрическую антипризму , построенную двумя параллельными тетраэдрами в дуальных конфигурациях, соединенными восемью (возможно, удлиненными) тетраэдрами. Он представлен s{2,4,3} и диаграммой Коксетера:.

Его также можно рассматривать как плосконосый 4- ортотоп , представленный s{2 ^1,1,1 }, и диаграмму Коксетера:или.

Поскольку тессеракт построен как дуопризма 4-4 , 16-ячейку можно рассматривать как ее двойственную — дуопирамиду 4-4 .

Имя	Диаграмма Коксетера	Символ Шлефли	нотация Коксетера	Заказ	Вершинная фигура
Обычный 16-ячеечный		{3,3,4}	[3,3,4]	384
Демитессеракт Квазирегулярный 16-ячеечный	= =	ч{4,3,3} {3,3 1,1 }	[3 1,1,1 ] = [1 + ,4,3,3]	192
Альтернативная 4-4 дуопризма		2с{4,2,4}	[[4,2 + ,4]]	64
Тетраэдрическая антипризма		с{2,4,3}	[2 + ,4,3]	48
Перемежающаяся квадратная призма призма		ср{2,2,4}	[(2,2) + ,4]	16
Курносый 4- ортотоп	=	с{2 1,1,1 }	[2,2,2] + = [2 1,1,1 ] +	8
4- фузил
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4}+{4} или 2{4}	[[4,2,4]] = [8,2 + ,8]	128
		{3,4}+{ }	[4,3,2]	96
		{4}+2{ }	[4,2,2]	32
		{ }+{ }+{ }+{ } или 4{ }	[2,2,2]	16

Многоугольник Мёбиуса –Кантора — это правильный комплексный многоугольник ₃ {3} ₃ ,, в разделяет те же вершины, что и 16-ячейка. Имеет 8 вершин и 8 3-ребер. ^{[22] [23]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Правильный комплексный многоугольник, ₂ {4} ₄ ,, в имеет действительное представление как 16-ячейка в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-ребрами, только половина ребер 16-ячейки. Его симметрия ₄ [4] ₂ , порядок 32. ^[24]${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Ортографические проекции ₂ {4} ₄ многоугольника

В плоскости Коксетера B 4 2 {4} 4 имеет 8 вершин и 16 2-ребер, показанных здесь с 4 наборами цветов.

8 вершин сгруппированы в 2 набора (показаны красным и синим цветом), каждый из которых соединен ребрами только с вершинами в другом наборе, что делает этот многоугольник полным двудольным графом , K 4,4 . [25]

Правильный 16-ячейник и тессеракт являются правильными членами набора из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией B ₄ . 16-ячейник также является одним из однородных многогранников симметрии D ₄ .

16-ячеечная мозаика также связана с кубическими сотами , додекаэдрическими сотами порядка 4 и гексагональными мозаичными сотами порядка 4 , все из которых имеют октаэдрические вершинные фигуры .

Он принадлежит к последовательности {3,3,p} 4-политопов , имеющих тетраэдрические ячейки. Последовательность включает три правильных 4-политопа евклидова 4-пространства, 5-клеточный {3,3,3}, 16-клеточный {3,3,4} и 600-клеточный {3,3,5}), а также тетраэдрические соты порядка 6 {3,3,6} гиперболического пространства.

Он является первым в последовательности квазирегулярных многогранников и сот h{4,p,q} и последовательности полусимметрии для регулярных форм {p,3,4}.

• 24-ячеечный
• 4-многогранник
• Многогранник D4

• Вайсштейн, Эрик В. «16-клеточный». MathWorld .
• Der 16-Zeller (16-клеточные) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• Описание и схемы 16-клеточных проекций
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x3o3o4o – hex».