Классическая задача центральной силы

Часть серии статей о
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} {dt}}}$ Второй закон движения
История Хронология Учебники
Филиалы Применяемый Небесный Континуум Динамика Теория поля Кинематика Кинетика Статика Статистическая механика
Основы Ускорение Угловой момент импульса Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Система отсчета Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механические работы Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Формулировки Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианские механики Уравнение Гамильтона–Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана–фон Неймана
Основные темы Демпфирование Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Твёрдое тело динамика Уравнения Эйлера Простое гармоническое движение Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся система отсчета Центростремительная сила Центробежная сила реактивный сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Частота вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Мопертюи Даниил Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Клеро Лагранж Лаплас Пуассон Гамильтон Якоби Коши Раут Лиувилль Аппель Гиббс Купман фон Нейман
Физический портал  Категория
в т е

В классической механике проблема центральной силы заключается в определении движения частицы в одном центральном потенциальном поле . Центральная сила — это сила (возможно, отрицательная), которая направлена ​​от частицы прямо к фиксированной точке в пространстве, центру, и величина которой зависит только от расстояния объекта до центра. В нескольких важных случаях задача может быть решена аналитически, т. е. в терминах хорошо изученных функций, таких как тригонометрические функции .

Решение этой проблемы важно для классической механики , поскольку многие силы естественного происхождения являются центральными. Примерами служат гравитация и электромагнетизм, описанные законом всемирного тяготения Ньютона и законом Кулона соответственно. Проблема также важна, поскольку некоторые более сложные проблемы классической физики (например, задача двух тел с силами вдоль линии, соединяющей два тела) можно свести к задаче центральной силы. Наконец, решение задачи центральной силы часто дает хорошее начальное приближение истинного движения, как при расчете движения планет в Солнечной системе .

Суть задачи о центральной силе состоит в определении положения r ^{[примечание 1]} частицы, движущейся под действием центральной силы F , либо как функции времени t , либо как функции угла φ относительно центра силы и произвольной оси.

Консервативная центральная сила F имеет два определяющих свойства. ^[1] Во-первых, она должна двигать частицы либо прямо к фиксированной точке пространства, либо прямо от нее, центра силы, который часто обозначается как O. Другими словами, центральная сила должна действовать вдоль линии, соединяющей O с текущим положением частицы. Во-вторых, консервативная центральная сила зависит только от расстояния r между O и движущейся частицей; она не зависит явно от времени или других дескрипторов положения.

Это двойное определение может быть выражено математически следующим образом. Центр силы O может быть выбран в качестве начала системы координат. Вектор r, соединяющий O с текущим положением частицы, известен как вектор положения . Следовательно, центральная сила должна иметь математическую форму ^[2] где r — векторная величина | r | (расстояние до центра силы), а r̂ = r /r — соответствующий единичный вектор . Согласно второму закону движения Ньютона , центральная сила F создает параллельное ускорение a, масштабируемое массой m частицы ^{[примечание 2]}$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Для сил притяжения F ( r ) отрицательна, поскольку она работает на сокращение расстояния r до центра. Наоборот, для сил отталкивания F ( r ) положительна.

Если центральная сила является консервативной , то величина F ( r ) центральной силы всегда может быть выражена как производная не зависящей от времени функции потенциальной энергии U ( r ) ^[3]$${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$$

Таким образом, полная энергия частицы — сумма ее кинетической энергии и потенциальной энергии U — является постоянной; говорят, что энергия сохраняется . Чтобы показать это, достаточно, что работа W, совершаемая силой, зависит только от начального и конечного положений, а не от пути, пройденного между ними.

$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})}$$

Эквивалентно, достаточно, чтобы ротор силового поля F был равен нулю; используя формулу для ротора в сферических координатах , поскольку частные производные равны нулю для центральной силы; величина F не зависит от угловых сферических координат θ и φ.$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$$

Поскольку скалярный потенциал V ( r ) зависит только от расстояния r до начала координат, он имеет сферическую симметрию . В этом отношении проблема центральной силы аналогична геодезическим Шварцшильда в общей теории относительности и квантово-механическим трактовкам частиц в потенциалах сферической симметрии .

Если начальная скорость v частицы совпадает с вектором положения r , то движение навсегда остается на линии, определяемой r . Это следует из того, что сила — а по второму закону Ньютона также и ускорение a — также совпадает с r . Чтобы определить это движение, достаточно решить уравнение$${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$$

Одним из методов решения является использование закона сохранения полной энергии.$${\displaystyle |{\dot {r}}|={\Big |}{\frac {dr}{dt}}{\Big |}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}$$

Взяв обратную величину и интегрируя, получаем:$${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}}$$

В оставшейся части статьи предполагается, что начальная скорость v частицы не совпадает с вектором положения r , т. е. что вектор момента импульса L = r × m v не равен нулю.

Каждая центральная сила может производить равномерное круговое движение при условии, что начальный радиус r и скорость v удовлетворяют уравнению для центростремительной силы$${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$$

Если это уравнение выполняется в начальные моменты времени, оно будет выполняться и во все последующие моменты времени; частица будет продолжать двигаться по окружности радиуса r со скоростью v вечно.

Проблема центральной силы касается идеальной ситуации («задача одного тела»), в которой одна частица притягивается или отталкивается от неподвижной точки O , центра силы. ^[4] Однако физические силы, как правило, существуют между двумя телами; и по третьему закону Ньютона, если первое тело прикладывает силу ко второму, второе тело прикладывает равную и противоположную силу к первому. Следовательно, оба тела ускоряются, если между ними присутствует сила; нет совершенно неподвижного центра силы. Однако, если одно тело в подавляющем большинстве массивнее другого, его ускорением относительно другого можно пренебречь; центр более массивного тела можно рассматривать как приблизительно фиксированный. ^[5] Например, Солнце в подавляющем большинстве массивнее планеты Меркурий; следовательно, Солнце можно аппроксимировать как неподвижный центр силы, сводя проблему к движению Меркурия в ответ на силу, приложенную Солнцем. В действительности, однако, Солнце также движется (хотя и незначительно) в ответ на силу, приложенную планетой Меркурий.

Однако такие приближения не нужны. Законы движения Ньютона позволяют преобразовать любую классическую задачу двух тел в соответствующую точную задачу одного тела. ^[6] Чтобы продемонстрировать это, пусть x ₁ и x ₂ будут положениями двух частиц, а r = x ₁ − x ₂ будет их относительным положением. Тогда, по второму закону Ньютона,$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}}$$

Окончательное уравнение вытекает из третьего закона Ньютона ; сила второго тела, действующая на первое тело ( F ₂₁ ), равна и противоположна силе первого тела, действующей на второе ( F ₁₂ ). Таким образом, уравнение движения для r можно записать в виде где - приведенная масса$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

Как частный случай, задачу о двух телах, взаимодействующих посредством центральной силы, можно свести к задаче о центральной силе одного тела.

Движение частицы под действием центральной силы F всегда остается в плоскости, определяемой ее начальным положением и скоростью. ^[7] Это можно увидеть с помощью симметрии. Поскольку положение r , скорость v и сила F лежат в одной плоскости, никогда не существует ускорения, перпендикулярного этой плоскости, поскольку это нарушило бы симметрию между «над» плоскостью и «под» плоскостью.

Чтобы продемонстрировать это математически, достаточно показать, что момент импульса частицы постоянен. Этот момент импульса L определяется уравнением , где m — масса частицы, а p — ее линейный импульс . В этом уравнении символ × обозначает векторное векторное произведение , а не умножение. Поэтому вектор момента импульса L всегда перпендикулярен плоскости, определяемой вектором положения частицы r и вектором скорости v . ^{[примечание 3]}$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$$

В общем случае скорость изменения момента импульса L равна чистому крутящему моменту r × F ^[8]$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$

Первый член m v × v всегда равен нулю, поскольку векторное векторное произведение всегда равно нулю для любых двух векторов, направленных в одном или противоположных направлениях. Однако, когда F является центральной силой, оставшийся член r × F также равен нулю, поскольку векторы r и F направлены в одном или противоположных направлениях. Следовательно, вектор углового момента L постоянен. Тогда$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$$

Следовательно, положение частицы r (и, следовательно, скорость v ) всегда лежит в плоскости, перпендикулярной L. [ ^9]

Поскольку движение плоское, а сила радиальная, принято переходить к полярным координатам . ^[9] В этих координатах радиус-вектор r представлен через радиальное расстояние r и азимутальный угол φ .

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

Взяв первую производную по времени, получаем вектор скорости частицы v$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$$

Аналогично, вторая производная положения частицы r равна ее ускорению a$${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$$

Скорость v и ускорение a можно выразить через радиальный и азимутальный единичные векторы. Радиальный единичный вектор получается путем деления вектора положения r на его величину r , как описано выше$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

Азимутальный единичный вектор определяется как ^{[примечание 4]}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$$

Таким образом, скорость можно записать как, тогда как ускорение равно$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

Поскольку F = m a по второму закону движения Ньютона и поскольку F является центральной силой, то только радиальная составляющая ускорения a может быть ненулевой; угловая составляющая a _φ должна быть равна нулю.$${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$$

Поэтому,$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)=r(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }})=ra_{\varphi }=0}$$

Это выражение в скобках обычно обозначается h$${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}}$$

что равно скорости v, умноженной на r _⊥ , компоненту радиуса-вектора, перпендикулярного скорости. h — это величина удельного момента импульса , поскольку она равна величине L момента импульса, деленной на массу m частицы.

Для краткости угловую скорость иногда записывают как ω.$${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$$

Однако не следует предполагать, что ω постоянна. Поскольку h постоянна, ω изменяется с радиусом r согласно формуле ^[10]$${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$$

Поскольку h постоянна, а r ² положителен, угол φ изменяется монотонно в любой задаче с центральной силой, либо непрерывно увеличиваясь ( h положительна), либо непрерывно уменьшаясь ( h отрицательна). ^[11]

Величина h также равна удвоенной скорости площади , которая является скоростью, с которой площадь выметается частицей относительно центра. ^[12] Таким образом, скорость площади постоянна для частицы, на которую действует любая центральная сила; это второй закон Кеплера . ^[13] И наоборот, если движение под действием консервативной силы F является плоским и имеет постоянную скорость площади для всех начальных условий радиуса r и скорости v , то азимутальное ускорение a _φ всегда равно нулю. Следовательно, по второму закону Ньютона, F = m a , сила является центральной силой.

Постоянство скорости площади можно проиллюстрировать равномерным круговым и линейным движением. При равномерном круговом движении частица движется с постоянной скоростью v по окружности радиуса r . Поскольку угловая скорость ω = v / r постоянна, площадь, выметенная за время Δ t, равна ω r ² Δ ​​t ; следовательно, равные площади выметаются за равное время Δ t . При равномерном линейном движении (т. е. движении в отсутствие силы, по первому закону движения Ньютона) частица движется с постоянной скоростью, то есть с постоянной скоростью v вдоль линии. За время Δ t частица выметает площадь 1 ⁄ 2 v Δ tr _⊥ ( параметр удара ). ^{[примечание 5]} Расстояние r _⊥ не изменяется по мере движения частицы вдоль линии; оно представляет собой расстояние наибольшего приближения линии к центру O ( параметр удара ). Поскольку скорость v также неизменна, площадная скорость 1 ⁄ 2 vr _⊥ является константой движения; частица заметает равные площади за равное время.

Путем преобразования переменных ^[14] любую задачу с центральной силой можно преобразовать в эквивалентную задачу с параллельной силой. ^{[примечание 6]} Вместо обычных декартовых координат x и y определяются две новые переменные положения ξ = x / y и η = 1/ y , а также новая временная координата τ.$${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$$

Соответствующие уравнения движения для ξ и η имеют вид$${\displaystyle {\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h}$$$${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}}$$

Поскольку скорость изменения ξ постоянна, ее вторая производная равна нулю.$${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$$

Поскольку это ускорение в направлении ξ и поскольку F = ma по второму закону Ньютона, то отсюда следует, что сила в направлении ξ равна нулю. Следовательно, сила действует только вдоль направления η , что является критерием для задачи о параллельных силах. Явно, ускорение в направлении η равно , поскольку ускорение в направлении y равно$${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)}$$$${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$$

Здесь F _y обозначает y -компоненту центральной силы, а y / r равен косинусу угла между осью y и радиальным вектором r .

Поскольку центральная сила F действует только вдоль радиуса, то ненулевой является только радиальная составляющая ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, величина F равна массе m частицы, умноженной на величину ее радиального ускорения ^[15]$${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$$

Это уравнение имеет интеграционный коэффициент${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\frac {dr}{dt}}\,dt\\&=m\left({\frac {dr}{dt}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\right)\,dt\\&={\frac {m}{2}}\,d\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$$

Интеграция урожайности$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Если h не равно нулю, независимую переменную можно изменить с t на ϕ ^[16], что даст новое уравнение движения ^[17]$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$$$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Сделав замену переменных на обратный радиус u = 1/ r ^[17], получим

$${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=C-u^{2}-G\left(u\right)}$$

1

где C — константа интегрирования, а функция G ( u ) определяется как$${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$$

Это уравнение становится квазилинейным при дифференцировании по ϕ$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$$

Это известно как уравнение Бине . Интегрирование ( 1 ) дает решение для ϕ ^[18] , где ϕ ₀ — еще одна константа интегрирования. Задача центральной силы называется «интегрируемой», если это окончательное интегрирование может быть решено в терминах известных функций.$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$$

Возьмите скалярное произведение второго закона движения Ньютона со скоростью частицы, где сила получается из потенциальной энергии, дает где предполагается суммирование по пространственному декартову индексу , и мы использовали тот факт, что и использовали цепное правило . Перестановка Член в скобках с левой стороны является константой, обозначим это как , полная механическая энергия. Очевидно, что это сумма кинетической энергии и потенциальной энергии. ^[19]$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\qquad \left/\;\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right.}$$$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)=-{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}={\frac {dU}{dt}}}$$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(x,y,z)=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )\right)=0}$$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }}$

Кроме того, если потенциал центральный, и поэтому сила направлена ​​вдоль радиального направления. В этом случае перекрестное произведение второго закона движения Ньютона с вектором положения частицы должно исчезнуть, поскольку перекрестное произведение двух параллельных векторов равно нулю: но (перекрестное произведение параллельных векторов), поэтому Член в скобках в левой части является константой, обозначим это как угловой момент, В частности, в полярных координатах, или Далее, , поэтому уравнение энергии может быть упрощено с угловым моментом как Это указывает на то, что угловой момент вносит вклад в эффективную потенциальную энергию ^[20] Решите это уравнение для которого можно преобразовать в производную по азимутальному углу как Это разделяемое дифференциальное уравнение первого порядка. Интегрирование и дает формулу ^[21]${\displaystyle U(x,y,z)=U(r)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}=0}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L=mrv_{\varphi }=r^{2}{\dot {\varphi }}}$$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}={\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\varphi }})^{2}}$$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)}$$$${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }(r)=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {dr/dt}{d\varphi /dt}}={\frac {\dot {r}}{\dot {\varphi }}}={\frac {mr^{2}}{L}}{\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}}}$$

Изменение переменной интегрирования на обратный радиус дает интеграл ^[22] , который выражает указанные выше константы C = 2 mE _tot / L ² и G ( u ) = 2 mU (1/ u )/ L ² через полную энергию E _tot и потенциальную энергию U ( r ).$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$$

Скорость изменения r равна нулю, когда эффективная потенциальная энергия равна полной энергии ^[23]$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

Точки, в которых это уравнение выполняется, называются точками поворота . ^[23] Орбита по обе стороны от точки поворота симметрична; другими словами, если азимутальный угол определен таким образом, что φ = 0 в точке поворота, то орбита одинакова в противоположных направлениях, r ( φ ) = r (− φ ). ^[24]

Если имеются две точки поворота, такие, что радиус r ограничен между r _min и r _max , то движение заключено в кольце этих радиусов. ^[23] Поскольку радиус изменяется от одной точки поворота к другой, изменение азимутального угла φ равно ^[23]$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

Орбита замкнется сама на себя ^{[примечание 7]} при условии, что Δφ равно рациональной дроби 2π , т.е. ^[23] где m и n — целые числа. В этом случае радиус колеблется ровно m раз, в то время как азимутальный угол φ совершает ровно n оборотов. Однако в общем случае Δφ/2π не будет таким рациональным числом , и, таким образом, орбита не будет замкнутой. В этом случае частица в конечном итоге пройдет произвольно близко к каждой точке внутри кольца. Два типа центральной силы всегда создают замкнутые орбиты: F ( r ) = αr ( линейная сила) и ^F ( r ) = α/ r2 ( закон обратных квадратов ). Как показал Бертран, эти две центральные силы являются единственными, которые гарантируют замкнутые орбиты. ^[25]$${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$$

В общем случае, если угловой момент L не равен нулю, то член L ² /2 mr ² препятствует падению частицы в начало координат, если только эффективная потенциальная энергия не стремится к отрицательной бесконечности в пределе r, стремящегося к нулю. ^[26] Поэтому, если имеется одна точка поворота, орбита, как правило, стремится к бесконечности; точка поворота соответствует точке минимального радиуса.

В классической физике многие важные силы подчиняются закону обратных квадратов, например, гравитация или электростатика . Общая математическая форма таких центральных сил с обратными квадратами — константа , которая отрицательна для силы притяжения и положительна для силы отталкивания.$${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$$${\displaystyle \alpha }$

Этот частный случай классической проблемы центральной силы называется проблемой Кеплера . Для силы, обратной квадрату, уравнение Бине, полученное выше, является линейным$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$$

Решение этого уравнения есть которое показывает, что орбита является коническим сечением эксцентриситета e ; здесь φ ₀ — начальный угол, а центр силы находится в фокусе конического сечения. Используя формулу половинного угла для синуса , это решение можно также записать как$${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$$$${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$$

где u ₁ и u ₂ — константы, причем u ₂ больше u _1. Две версии решения связаны уравнениями и$${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {-2\alpha }{mh^{2}}}}$$$${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$$

Так как функция sin ² всегда больше нуля, u ₂ является наибольшим возможным значением u и обратным наименьшему возможному значению r , т. е. расстоянию наибольшего сближения ( перицентру ). Так как радиальное расстояние r не может быть отрицательным числом, то и обратное ему u ; следовательно, u ₂ должно быть положительным числом. Если u ₁ также положительно, то это наименьшее возможное значение u , которое соответствует наибольшему возможному значению r , расстоянию наибольшего сближения ( апоцентру ). Если u ₁ равно нулю или отрицательно, то наименьшее возможное значение u равно нулю (орбита стремится к бесконечности); в этом случае единственные соответствующие значения φ — это те, которые делают u положительным.

Для силы притяжения (α < 0) орбита представляет собой эллипс , гиперболу или параболу , в зависимости от того, является ли u ₁ положительным, отрицательным или нулевым соответственно; это соответствует эксцентриситету e меньше единицы, больше единицы или равному единице. Для силы отталкивания (α > 0) u ₁ должен быть отрицательным, так как u ₂ по определению положительно, а их сумма отрицательна; следовательно, орбита представляет собой гиперболу. Естественно, если сила отсутствует (α = 0), орбита представляет собой прямую линию.

Уравнение Бине для u ( φ ) может быть решено численно для почти любой центральной силы F (1/ u ). Однако только несколько сил приводят к формулам для u в терминах известных функций. Как выведено выше, решение для φ может быть выражено как интеграл по u$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$$

Задача с центральной силой называется «интегрируемой», если эта интеграция может быть решена в терминах известных функций.

Если сила является степенным законом, т. е. если F ( r ) = α r ⁿ , то u может быть выражена в терминах круговых функций и/или эллиптических функций, если n равно 1, -2, -3 (круговые функции) и -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 и -7/3 (эллиптические функции). ^[27] Аналогично, только шесть возможных линейных комбинаций степенных законов дают решения в терминах круговых и эллиптических функций ^{[28] [29]}$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$$

Следующие особые случаи первых двух типов сил всегда приводят к круговым функциям.$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$$

Этот особый случай был упомянут Ньютоном в следствии 1 к предложению VII «Начал», как сила, подразумеваемая круговыми орбитами, проходящими через точку притяжения.$${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$$

Член r ⁻³ встречается во всех законах силы выше, указывая на то, что добавление силы обратного куба не влияет на разрешимость задачи в терминах известных функций. Ньютон показал, что с корректировками начальных условий добавление такой силы не влияет на радиальное движение частицы, но умножает ее угловое движение на постоянный коэффициент k . Расширение теоремы Ньютона было обнаружено в 2000 году Магомедом и Ваудой. ^[29]

Предположим, что частица движется под действием произвольной центральной силы F ₁ ( r ), и пусть ее радиус r и азимутальный угол φ будут обозначены как r ( t ) и φ ₁ ( t ) как функции времени t . Теперь рассмотрим вторую частицу с той же массой m , которая разделяет то же радиальное движение r ( t ), но чья угловая скорость в k раз больше, чем у первой частицы. Другими словами, азимутальные углы двух частиц связаны уравнением φ ₂ ( t ) = k  φ ₁ ( t ). Ньютон показал, что сила, действующая на вторую частицу, равна силе F ₁ ( r ), действующей на первую частицу, плюс обратная кубическая центральная сила ^[30] , где L ₁ — величина углового момента первой частицы .$${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$

Если k ² больше единицы, F ₂ − F ₁ — отрицательное число; таким образом, добавленная сила обратного куба является притягивающей . Наоборот, если k ² меньше единицы, F ₂ − F ₁ — положительное число; добавленная сила обратного куба является отталкивающей . Если k — целое число, например 3, то орбита второй частицы называется гармоникой орбиты первой частицы; напротив, если k — обратное целое число, например 1 ⁄ 3 , то вторая орбита называется субгармоникой первой орбиты.

Классическая проблема центральной силы была решена геометрически Исааком Ньютоном в его Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , в котором Ньютон ввел свои законы движения . Ньютон использовал эквивалент интегрирования скачком, чтобы преобразовать непрерывное движение в дискретное, так что можно было бы применять геометрические методы. При таком подходе положение частицы рассматривается только в равномерно разнесенных временных точках. Для иллюстрации частица на рисунке 10 находится в точке A в момент времени t  = 0, в точке B в момент времени t  = Δ t , в точке C в момент времени t  = 2Δ t и так далее для всех моментов времени t  =  n Δ t , где n — целое число. Предполагается, что скорость постоянна между этими временными точками. Таким образом, вектор r _AB  =  r _B  −  r _A равен Δ t, умноженному на вектор скорости v _AB (красная линия), тогда как r _BC  =  r _C  −  r _B равен v _BC Δ t (синяя линия). Поскольку скорость постоянна между точками, предполагается, что сила действует мгновенно в каждом новом положении; например, сила, действующая на частицу в точке B, мгновенно изменяет скорость с v _AB на v _BC . Вектор разности Δ r  =  r _BC  −  r _AB равен Δ v Δ t (зеленая линия), где Δ v  =  v _BC  −  v _AB — это изменение скорости в результате действия силы в точке B . Поскольку ускорение a параллельно Δ v и поскольку F  =  m a , сила F должна быть параллельна Δ v и Δ r . Если F — центральная сила, она должна быть параллельна вектору r _B из центра O в точку B (штриховая зеленая линия); в этом случае Δ r также параллелен r _B.

Если в точке B не действует никакая сила , скорость не меняется, и частица прибывает в точку K в момент времени t  = 2Δ t . Площади треугольников OAB и OBK равны, поскольку они имеют одинаковое основание ( r _AB ) и высоту ( r _⊥ ). Если Δ r параллельна r _B , треугольники OBK и OBC также равны, поскольку они имеют одинаковое основание ( r _B ), а высота не меняется. В этом случае площади треугольников OAB и OBC одинаковы, и частица заметает равные площади за одинаковое время. И наоборот, если площади всех таких треугольников равны, то Δ r должна быть параллельна r _B , из чего следует, что F является центральной силой. Таким образом, частица заметает равные площади за одинаковое время тогда и только тогда, когда F является центральной силой.

Формула для радиальной силы может быть также получена с использованием механики Лагранжа . В полярных координатах лагранжиан L отдельной частицы в потенциальном поле энергии U ( r ) определяется как$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$$

Тогда уравнения движения Лагранжа принимают вид, поскольку величина F ( r ) радиальной силы равна отрицательной производной потенциальной энергии U ( r ) в радиальном направлении.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$$$${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$$

Формула радиальной силы может быть также выведена с использованием гамильтоновой механики . В полярных координатах гамильтониан можно записать как$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)+U(r)}$$

Поскольку азимутальный угол φ не появляется в гамильтониане, его сопряженный импульс p _φ является константой движения. Этот сопряженный импульс является величиной L углового момента, как показано в гамильтоновом уравнении движения для φ$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

Соответствующее уравнение движения для r имеет вид$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$$

Взяв вторую производную от r по времени и используя уравнение движения Гамильтона для p _r, получаем уравнение радиальной силы$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{r}}{dt}}=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)}$$

Орбитальное уравнение может быть получено непосредственно из уравнения Гамильтона-Якоби . ^[31] Принимая радиальное расстояние r и азимутальный угол φ в качестве координат, уравнение Гамильтона-Якоби для задачи центральной силы можно записать , где S = S _φ ( φ ) + S _r ( r ) − E _tot t — главная функция Гамильтона , а E _tot и t представляют собой полную энергию и время соответственно. Это уравнение может быть решено путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений , начиная с уравнения φ , где p _φ — константа движения, равная величине углового момента L . Таким образом, S _φ (φ) = L φ и уравнение Гамильтона-Якоби становится$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$$${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

Интегрирование этого уравнения для S _r дает$${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$$

Взяв производную от S по L, получаем орбитальное уравнение, выведенное выше:$${\displaystyle \varphi _{0}={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

• Геодезические линии Шварцшильда , аналог в общей теории относительности
• Частица в сферически симметричном потенциале , аналог в квантовой механике
• Водородоподобный атом , задача Кеплера в квантовой механике
• Обратный квадрат потенциала

• Goldstein, H. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (1976). Механика . Курс теоретической физики (3-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. ISBN 0-08-029141-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Misner, CW , Thorne, K. и Wheeler, JA (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Зоммерфельд, А. (1970). Механика . Лекции по теоретической физике . Т. I (4-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0-12-654670-5.
• Symon KR (1971). Механика (3-е изд.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Уиттекер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в задачу трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-521-35883-5.

• Задачи двух тел с центральной силой, Д. Э. Гэри из Технологического института Нью-Джерси
• Движение в поле центральной силы. Архивировано 21 сентября 2018 г. в Wayback Machine А. Бризардом из колледжа Святого Михаила.
• Движение под действием центральной силы, автор GW Collins, II, Университет Кейс Вестерн Резерв
• Видеолекция WHG Lewin из Массачусетского технологического института