Уравнение Гамильтона–Якоби

Часть серии статей о
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} {dt}}}$ Второй закон движения
История Хронология Учебники
Филиалы Применяемый Небесный Континуум Динамика Теория поля Кинематика Кинетика Статика Статистическая механика
Основы Ускорение Угловой момент импульса Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Система отсчета Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механические работы Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Формулировки Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианские механики Уравнение Гамильтона–Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана–фон Неймана
Основные темы Демпфирование Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Твёрдое тело динамика Уравнения Эйлера Простое гармоническое движение Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся система отсчета Центростремительная сила Центробежная сила реактивный сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Частота вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Мопертюи Даниил Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Клеро Лагранж Лаплас Пуассон Гамильтон Якоби Коши Раут Лиувилль Аппель Гиббс Купман фон Нейман
Физический портал  Категория
в т е

Part of a series of articles about
Calculus
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Fundamental theorem Limits Continuity Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В физике уравнение Гамильтона — Якоби , названное в честь Уильяма Роуэна Гамильтона и Карла Густава Якоба Якоби , является альтернативной формулировкой классической механики , эквивалентной другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , механика Лагранжа и механика Гамильтона .

Уравнение Гамильтона–Якоби — это формулировка механики, в которой движение частицы можно представить в виде волны. В этом смысле оно выполнило давнюю цель теоретической физики (возникшую, по крайней мере, еще во времена Иоганна Бернулли в восемнадцатом веке) — найти аналогию между распространением света и движением частицы. Волновое уравнение, которому следуют механические системы, похоже на уравнение Шредингера , но не идентично ему , как описано ниже; по этой причине уравнение Гамильтона–Якоби считается «ближайшим приближением» классической механики к квантовой механике . ^{[1] [2]} Качественная форма этой связи называется оптико-механической аналогией Гамильтона .

В математике уравнение Гамильтона–Якоби является необходимым условием , описывающим экстремальную геометрию в обобщениях задач вариационного исчисления . Его можно понимать как частный случай уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана из динамического программирования . ^[3]

Уравнение Гамильтона–Якоби — это нелинейное уравнение в частных производных первого порядка.

для системы частиц с координатами ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {q} }$ . Функция — это гамильтониан системы, дающий энергию системы. Решением этого уравнения является действие , ⁠ ⁠ , называемое главной функцией Гамильтона . ^{[4] :  291} . Решение может быть связано с лагранжианом системы неопределенным интегралом формы, используемой в принципе наименьшего действия : ^{[5] : 431} Геометрические поверхности постоянного действия перпендикулярны траекториям системы, создавая волноподобный вид динамики системы. Это свойство уравнения Гамильтона–Якоби связывает классическую механику с квантовой механикой. ^{[6] : 175}${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$$${\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \operatorname {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~}$$

Выделенные жирным шрифтом переменные, такие как представляют собой список обобщенных координат ,${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$$

Точка над переменной или списком обозначает производную по времени (см. обозначение Ньютона ). Например,$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}$$

Запись скалярного произведения двух списков с одинаковым числом координат является сокращением для суммы произведений соответствующих компонентов, например:$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

Пусть матрица Гессе обратима. Соотношение показывает, что уравнения Эйлера–Лагранжа образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Обращение матрицы преобразует эту систему в${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H_{\cal {L}}}$$${\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}$$

Пусть зафиксированы момент времени и точка в конфигурационном пространстве. Теоремы существования и единственности гарантируют, что для каждого начальная задача с условиями и имеет локально единственное решение Кроме того, пусть существует достаточно малый интервал времени такой, что экстремали с различными начальными скоростями не пересекались бы за Последнее означает, что для любого и любого может быть не более одной экстремали , для которой и Подстановка в функционал действия приводит к главной функции Гамильтона (ГФГ)${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}$${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$${\displaystyle \mathbf {q} \in M}$${\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$

где

• ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$

Импульсы определяются как величины В этом разделе показано , что зависимость от исчезает , как только становится известен HPF.${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\cal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

Действительно, пусть момент времени и точка в конфигурационном пространстве фиксированы. Для каждого момента времени и точки пусть будет (единственной) экстремалью из определения главной функции Гамильтона ⁠ ⁠ . Назовем скорость в ⁠ ⁠ . Тогда${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {q} ,}$${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$${\displaystyle \tau =t}$

Учитывая гамильтониан механической системы, уравнение Гамильтона–Якоби является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка для главной функции Гамильтона , ^[7]${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle S}$

В качестве альтернативы, как описано ниже, уравнение Гамильтона–Якоби может быть выведено из гамильтоновой механики путем рассмотрения в качестве производящей функции для канонического преобразования классического гамильтониана${\displaystyle S}$$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}$$

Сопряженные импульсы соответствуют первым производным по обобщенным координатам${\displaystyle S}$$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$$

Как решение уравнения Гамильтона–Якоби, главная функция содержит неопределенные константы, первая из которых обозначается как , а последняя получается в результате интегрирования .${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$

Связь между и затем описывает орбиту в фазовом пространстве в терминах этих констант движения . Более того, величины также являются константами движения, и эти уравнения можно инвертировать, чтобы найти как функцию всех и констант и времени. ^[8]${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N}$$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Уравнение Гамильтона–Якоби представляет собой простое частное дифференциальное уравнение первого порядка для функции обобщенных координат и времени . Обобщенные импульсы не появляются, за исключением производных , классического действия .${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$

Для сравнения, в эквивалентных уравнениях движения Эйлера–Лагранжа механики Лагранжа сопряженные импульсы также не появляются; однако эти уравнения представляют собой систему , как правило, уравнений второго порядка для временной эволюции обобщенных координат. Аналогично, уравнения движения Гамильтона представляют собой другую систему из 2 N уравнений первого порядка для временной эволюции обобщенных координат и их сопряженных импульсов .${\displaystyle N}$${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}$

Поскольку уравнение Гамильтона-Якоби является эквивалентным выражением интегральной задачи минимизации, такой как принцип Гамильтона , уравнение Гамильтона-Якоби может быть полезным в других задачах вариационного исчисления и, в более общем плане, в других разделах математики и физики , таких как динамические системы , симплектическая геометрия и квантовый хаос . Например, уравнения Гамильтона-Якоби могут быть использованы для определения геодезических на римановом многообразии , важной вариационной задачи в римановой геометрии . Однако как вычислительный инструмент уравнения в частных производных, как известно, сложны для решения, за исключением случаев, когда возможно разделить независимые переменные; в этом случае уравнение Гамильтона-Якоби становится вычислительно полезным. ^{[5] : 444}

Любое каноническое преобразование, включающее производящую функцию типа 2, приводит к соотношениям , а уравнения Гамильтона в терминах новых переменных и нового гамильтониана имеют одинаковую форму:${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} },\quad \mathbf {Q} ={\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}}$$${\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }$${\displaystyle K}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}$$

Для вывода уравнения Гамильтона-Якоба производящая функция выбирается таким образом, что она сделает новый гамильтониан . Следовательно, все его производные также равны нулю, а преобразованные уравнения Гамильтона становятся тривиальными , поэтому новые обобщенные координаты и импульсы являются константами движения . Поскольку они являются константами, в этом контексте новые обобщенные импульсы обычно обозначаются , то есть , а новые обобщенные координаты обычно обозначаются как , поэтому .${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$${\displaystyle K=0}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$${\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}$

Присвоение производящей функции основной функции Гамильтона плюс произвольной константе : автоматически возникает уравнение Гамильтона-Якоба${\displaystyle A}$$${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,}$$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.}$$

При решении для они также дают нам полезные уравнения или записаны в компонентах для ясности${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}$$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},}$$$${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}$$

В идеале эти N уравнений можно инвертировать, чтобы найти исходные обобщенные координаты как функцию констант и , тем самым решив исходную задачу.${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}$${\displaystyle t}$

Когда задача допускает аддитивное разделение переменных , уравнение Гамильтона–Якоби приводит непосредственно к константам движения . Например, время t может быть разделено, если гамильтониан явно не зависит от времени. В этом случае производная по времени в уравнении Гамильтона–Якоби должна быть константой, обычно обозначаемой ( ), что дает разделенное решение , где независимая от времени функция иногда называется сокращенным действием или характеристической функцией Гамильтона ^{[5] : 434} и иногда ^{[9] : 607} в письменной форме (см. названия принципов действия ). Затем можно записать сокращенное уравнение Гамильтона–Якоби${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$${\displaystyle -E}$$${\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et}$$${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$$${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E.}$$

Чтобы проиллюстрировать разделимость для других переменных, предполагается, что определенная обобщенная координата и ее производная появляются вместе как одна функция в гамильтониане${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}$$$${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$$

В этом случае функцию S можно разбить на две функции, одна из которых зависит только от q _k , а другая — только от остальных обобщенных координат.$${\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}$$

Подстановка этих формул в уравнение Гамильтона–Якоби показывает, что функция ψ должна быть константой (обозначенной здесь как ), что дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle S_{k}(q_{k}),}$

$${\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}.}$$

В удачных случаях функцию можно полностью разделить на функции${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S_{m}(q_{m}),}$$${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}$$

В таком случае задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений .${\displaystyle N}$

Разделимость S зависит как от гамильтониана, так и от выбора обобщенных координат . Для ортогональных координат и гамильтонианов, которые не зависят от времени и квадратичны по обобщенным импульсам, будет полностью разделимой, если потенциальная энергия аддитивно разделима по каждой координате, где член потенциальной энергии для каждой координаты умножается на зависящий от координаты множитель в соответствующем импульсном члене гамильтониана (условия Штекеля ) . Для иллюстрации в следующих разделах рассматриваются несколько примеров в ортогональных координатах .${\displaystyle S}$

В сферических координатах гамильтониан свободной частицы, движущейся в консервативном потенциале U, можно записать в виде$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$$

Уравнение Гамильтона–Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что существуют функции , которые можно записать в аналогичной форме${\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$$

Подстановка полностью разделенного раствора в HJE дает$${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$$

Это уравнение можно решить путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений , начиная с уравнения для , где — константа движения , устраняющая зависимость от уравнения Гамильтона–Якоби${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$$${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }\right]=E.}$$

Следующее обыкновенное дифференциальное уравнение включает обобщенную координату , где снова является константой движения , которая устраняет зависимость и сводит уравнение ГЯ к окончательному обыкновенному дифференциальному уравнению, интегрирование которого завершает решение для .${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }=\Gamma _{\theta }}$$${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$$${\displaystyle S}$

Гамильтониан в эллиптических цилиндрических координатах можно записать , где фокусы эллипсов расположены на оси . Уравнение Гамильтона–Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что имеет аналогичный вид , где , и — произвольные функции. Подстановка полностью разделенного решения в уравнение Гамильтона–Якоби дает$${\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$$${\displaystyle \pm a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$$${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$${\displaystyle U_{z}(z)}$$${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.}$$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения приводит к редуцированному уравнению Гамильтона–Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель), которое само может быть разделено на два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения , которые при решении дают полное решение для .$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}$$${\displaystyle S}$

Гамильтониан в параболических цилиндрических координатах можно записать$${\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$$

Уравнение Гамильтона–Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что имеет аналогичный вид , где , , и — произвольные функции. Подстановка полностью разделенного решения в уравнение Гамильтона–Якоби дает${\displaystyle U}$$${\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$$${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$${\displaystyle U_{z}(z)}$$${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E.}$$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения приводит к редуцированному уравнению Гамильтона–Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель), которое само может быть разделено на два независимых обыкновенных дифференциальных уравнения , которые при решении дают полное решение для .$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}$$$${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}$$${\displaystyle S}$

HJE устанавливает дуальность между траекториями и волновыми фронтами . ^[10] Например, в геометрической оптике свет можно рассматривать либо как «лучи», либо как волны. Волновой фронт можно определить как поверхность , которую свет, испущенный в момент времени, достиг в момент времени . Световые лучи и волновые фронты дуальны: если известно одно, другое можно вывести.${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$${\textstyle t=0}$${\textstyle t}$

Точнее, геометрическая оптика — это вариационная задача, где «действие» — это время прохождения по пути, где — показатель преломления среды , а — бесконечно малая длина дуги. Из приведенной выше формулы можно вычислить траектории лучей, используя формулу Эйлера–Лагранжа; в качестве альтернативы можно вычислить волновые фронты, решив уравнение Гамильтона–Якоби. Знание одного приводит к знанию другого.${\textstyle T}$$${\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}$$${\textstyle n}$${\textstyle ds}$

Вышеуказанная двойственность является весьма общей и применима ко всем системам, которые выводятся из вариационного принципа: либо вычисляйте траектории с помощью уравнений Эйлера–Лагранжа, либо волновые фронты с помощью уравнения Гамильтона–Якоби.

Фронт волны в момент времени для системы, изначально находящейся в момент времени , определяется как совокупность точек, таких что . Если известно, импульс немедленно выводится.${\textstyle t}$${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$${\textstyle t_{0}}$${\textstyle \mathbf {q} }$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}$$

Как только известно, касательные к траекториям вычисляются путем решения уравнения для , где — лагранжиан. Затем траектории восстанавливаются из знания .${\textstyle \mathbf {p} }$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}$$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$${\textstyle {\cal {L}}}$${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

Изоповерхности функции могут быть определены в любой момент времени t . Движение -изоповерхности как функция времени определяется движениями частиц, начинающихся в точках на изоповерхности. Движение такой изоповерхности можно рассматривать как волну, движущуюся через -пространство, хотя она не подчиняется волновому уравнению в точности. Чтобы показать это, пусть S представляет фазу волны , где - константа ( постоянная Планка ), введенная для того, чтобы сделать экспоненциальный аргумент безразмерным; изменения амплитуды волны можно представить, имея - комплексное число . Затем уравнение Гамильтона-Якоби переписывается как , что является уравнением Шредингера .${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Наоборот, исходя из уравнения Шредингера и нашего анзаца для , можно вывести, что ^[11]${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}$$

Классический предел ( ) уравнения Шредингера выше становится идентичным следующему варианту уравнения Гамильтона–Якоби:${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$$

Используя соотношение энергии-импульса в форме ^[12] для частицы с массой покоя, движущейся в искривленном пространстве, где — контравариантные координаты метрического тензора (т.е. обратной метрики ), решенные из уравнений поля Эйнштейна , а — скорость света . Приравнивая 4-импульс к 4-градиенту действия , получаем уравнение Гамильтона–Якоби в геометрии, определяемой метрикой : другими словами, в гравитационном поле .$${\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0}$$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}}$$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,}$$

Для частицы с массой покоя и электрическим зарядом, движущейся в электромагнитном поле с четырехмерным потенциалом в вакууме, уравнение Гамильтона–Якоби в геометрии, определяемой метрическим тензором, имеет вид и может быть решено относительно главной функции действия Гамильтона для получения дальнейшего решения для траектории и импульса частицы: ^[13] где и со средним циклом векторного потенциала.${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}$${\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}$$${\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle x=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,}$$$${\displaystyle y=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,}$$$${\displaystyle z=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$$${\displaystyle \xi =ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int (\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$$$${\displaystyle p_{x}=-{\frac {e}{c}}A_{x},\quad p_{y}=-{\frac {e}{c}}A_{y},}$$$${\displaystyle p_{z}={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$$${\displaystyle {\mathcal {E}}=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}),}$$${\displaystyle \xi =ct-z}$${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$