Список тригонометрических тождеств

В тригонометрии тригонометрические тождества — это равенства , которые включают тригонометрические функции и верны для каждого значения встречающихся переменных, для которых определены обе стороны равенства. Геометрически это тождества , включающие определенные функции одного или нескольких углов . Они отличаются от тождеств треугольников , которые являются тождествами, потенциально включающими углы, но также включающими длины сторон или другие длины треугольника .

Эти тождества полезны всякий раз, когда выражения, включающие тригонометрические функции, необходимо упростить. Важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Пифагорейские тождества

{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta } — Тригонометрические функции и их обратные величины на единичной окружности. Все прямоугольные треугольники подобны, т. е. соотношения между их соответствующими сторонами одинаковы. Для sin, cos и tan единичный радиус образует гипотенузу треугольника, который их определяет. Обратные тождества возникают как соотношения сторон в треугольниках, где эта единичная линия больше не является гипотенузой. Треугольник, закрашенный синим цветом, иллюстрирует тождество , а красный треугольник показывает, что . $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$ $\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

Основное соотношение между синусом и косинусом определяется тождеством Пифагора:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

где средства и средства $\sin^{2}\theta$ $(\sin \theta )^{2}$ $\cos ^{2}\theta$ $(\cos \theta)^{2}.$

Это можно рассматривать как версию теоремы Пифагора , и следует из уравнения для единичной окружности . Это уравнение можно решить либо относительно синуса, либо относительно косинуса: $x^{2}+y^{2}=1$

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$

где знак зависит от квадранта $\тета .$

Разделив это тождество на , или на оба, получим следующие тождества: $\sin^{2}\theta$ $\cos ^{2}\theta$ ${\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}$

Используя эти тождества, можно выразить любую тригонометрическую функцию через любую другую ( с точностью до знака плюс или минус):

Каждая тригонометрическая функция через каждую из пяти других. ^[1]
с точки зрения	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

Отражения, сдвиги и периодичность

Рассматривая единичную окружность, можно установить следующие свойства тригонометрических функций.

Размышления

{\displaystyle \альфа} — Преобразование координат ( a , b ) при смещении угла отражения с шагом $\alpha$ ${\frac {\pi }{4}}$

Когда направление евклидова вектора представлено углом, это угол, определяемый свободным вектором (начинающимся в начале координат) и положительным единичным вектором. То же самое понятие может быть применено к линиям в евклидовом пространстве, где угол определяется параллельной данной линии, проходящей через начало координат и положительную ось. Если линия (вектор) с направлением отражается относительно линии с направлением, то угол направления этой отраженной линии (вектора) имеет значение $\theta ,$ $x$ $x$ $\theta$ $\alpha ,$ $\theta ^{\prime }$ $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$

Значения тригонометрических функций этих углов для конкретных углов удовлетворяют простым тождествам: они либо равны, либо имеют противоположные знаки, либо используют дополнительную тригонометрическую функцию. Они также известны как формулы редукции . ^[2] $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ $\alpha$

$\theta$ отражено в ^[3]четно/нечетных тождествах $\alpha =0$	$\theta$ отражено в $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$	$\theta$ отражено в $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$	$\theta$ отражено в $\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$	$\theta$ отражено в сравнении с $\alpha =\pi$ $\alpha =0$
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Смены и периодичность

{\displaystyle \тета} — Преобразование координат ( a , b ) при смещении угла с шагом $\theta$ ${\frac {\pi }{2}}$

Сдвиг на одну четверть периода	Сдвиг на половину периода	Сдвиг на полные периоды ^[4]	Период
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Знаки

Знак тригонометрических функций зависит от квадранта угла. Если и $sgn$ — знаковая функция , ${-\pi }<\theta \leq \pi$

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Тригонометрические функции являются периодическими с общим периодом, поэтому для значений $θ$ вне интервала они принимают повторяющиеся значения (см. § Сдвиги и периодичность выше). $2\pi ,$ $({-\pi },\pi ],$

Тождества суммы и разности углов

Иллюстрация формул сложения углов для синуса и косинуса острых углов. Выделенный отрезок имеет единичную длину.

{\displaystyle \sin(\альфа -\бета )} — Диаграмма, показывающая тождества разности углов для и $\sin(\alpha -\beta )$ $\cos(\alpha -\beta )$

Они также известны как теоремы (или формулы ) сложения и вычитания углов . ${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

Тождества разности углов для и могут быть выведены из версий суммы углов путем замены и использования фактов, что и . Их также можно вывести, используя слегка измененную версию рисунка для тождеств суммы углов, оба из которых показаны здесь. $\sin(\alpha -\beta )$ $\cos(\alpha -\beta )$ $-\beta$ $\beta$ $\sin(-\beta )=-\sin(\beta )$ $\cos(-\beta )=\cos(\beta )$

Эти тождества обобщены в первых двух строках следующей таблицы, которая также включает тождества сумм и разностей для других тригонометрических функций.

Синус	$\sin(\alpha \pm \beta )$	$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ^[5]^[6]
Косинус	$\cos(\alpha \pm \beta )$	$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ ^[6]^[7]
Тангенс	$\tan(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$ ^[6]^[8]
Косеканс	$\csc(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$ ^[9]
Секущая	$\sec(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$ ^[9]
Котангенс	$\cot(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$ ^[6]^[10]
Арксинус	$\arcsin x\pm \arcsin y$	$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)$ ^[11]
Арккосинус	$\arccos x\pm \arccos y$	$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$ ^[12]
Арктангенс	$\arctan x\pm \arctan y$	$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$ ^[13]
Арккотангенс	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$	$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Синусы и косинусы сумм бесконечного числа углов

Когда ряд сходится абсолютно, то ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

${\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}$

Поскольку ряд сходится абсолютно, то обязательно имеет место и В частности, в этих двух тождествах появляется асимметрия, которая не наблюдается в случае сумм конечного числа углов: в каждом произведении имеется только конечное число синусных множителей, но имеется коконечное число косинусных множителей. Члены с бесконечным числом синусных множителей обязательно будут равны нулю. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

Когда только конечное число углов не равно нулю, то только конечное число членов в правой части не равно нулю, поскольку все, кроме конечного числа синусных множителей, равны нулю. Более того, в каждом члене все, кроме конечного числа косинусных множителей, равны единице. $\theta _{i}$

Тангенсы и котангенсы сумм

Пусть (для ) будет элементарным симметрическим многочленом степени $k$ от переменных для , то есть, $e_{k}$ $k=0,1,2,3,\ldots$ $x_{i}=\tan \theta _{i}$ $i=0,1,2,3,\ldots ,$

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}$

Затем

${\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

используя приведенные выше формулы суммы синуса и косинуса.

Количество членов в правой части зависит от количества членов в левой части.

Например: ${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

и так далее. Случай только конечного числа членов может быть доказан с помощью математической индукции . ^[14] Случай бесконечного числа членов может быть доказан с помощью некоторых элементарных неравенств. ^[15]

Секансы и косекансы сумм

${\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

где — элементарный симметрический многочлен степени $k$ от $n$ переменных , а число членов в знаменателе и число множителей в произведении в числителе зависят от числа членов в сумме слева. ^[16] Случай только конечного числа членов может быть доказан методом математической индукции по числу таких членов. $e_{k}$ $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\ldots ,n,$

Например,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея важна в истории тригонометрических тождеств, поскольку именно так были впервые доказаны результаты, эквивалентные формулам суммы и разности для синуса и косинуса. Она утверждает, что во вписанном четырехугольнике , как показано на прилагаемом рисунке, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. В особых случаях, когда одна из диагоналей или сторон является диаметром окружности, эта теорема приводит непосредственно к тригонометрическим тождествам суммы и разности углов. ^[17] Соотношение следует проще всего, когда окружность построена так, чтобы иметь диаметр длины один, как показано здесь. $ABCD$

По теореме Фалеса , и оба являются прямыми углами. Прямоугольные треугольники и оба имеют общую гипотенузу длины 1. Таким образом, сторона , , и . $\angle DAB$ $\angle DCB$ $DAB$ $DCB$ ${\overline {BD}}$ ${\overline {AB}}=\sin \alpha$ ${\overline {AD}}=\cos \alpha$ ${\overline {BC}}=\sin \beta$ ${\overline {CD}}=\cos \beta$

По теореме о вписанном угле центральный угол, опирающийся на хорду в центре окружности, в два раза больше угла , то есть . Следовательно, симметричная пара красных треугольников имеет угол в центре. Каждый из этих треугольников имеет гипотенузу длиной , поэтому длина равна , то есть просто . Другая диагональ четырехугольника является диаметром длиной 1, поэтому произведение длин диагоналей также равно . ${\overline {AC}}$ $\angle ADC$ $2(\alpha +\beta )$ $\alpha +\beta$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\overline {AC}}$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin(\alpha +\beta )$

Когда эти значения подставляются в утверждение теоремы Птолемея, что , это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: . Формула разности углов для может быть получена аналогичным образом, если вместо брать сторону в качестве диаметра . ^[17] $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$ $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\sin(\alpha -\beta )$ ${\overline {CD}}$ ${\overline {BD}}$

Формулы кратного угла и половинного угла

$T n$ — $n$ -й полином Чебышева	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$ ^[18]
Формула де Муавра , $i$ — мнимая единица	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$ ^[19]

Формулы множественных углов

Формулы двойного угла

{\displaystyle 2\тета} — Визуальная демонстрация формулы двойного угла для синуса. Для приведенного выше равнобедренного треугольника с единичными сторонами и углом площадь ⁠ $2\theta$ 1/2⁠ × основание × высота вычисляется в двух ориентациях. В вертикальном положении площадь равна . В положении на боку та же площадь равна . Следовательно, $\sin \theta \cos \theta$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$ $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Формулы для удвоенного угла. ^[20]

$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$
$\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
$\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

Формулы тройного угла

Формулы для тройных углов. ^[20]

$\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
$\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
$\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}$
$\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}$

Формулы множественных углов

Формулы для нескольких углов. ^[21]

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=\sin(\theta )\cdot \sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}\cdot {(2\cdot \cos(\theta ))}^{n-2k-1}\cdot {n-k-1 \choose k}\\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \\{}&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}\cdot {(2\cdot \cos(\theta ))}^{n-2k}\cdot {n-k \choose k}\cdot {\frac {n}{2n-2k}}\end{aligned}}$
$\cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )$
$\cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )$
$\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}$

метод Чебышева

Метод Чебышева представляет собой рекурсивный алгоритм для нахождения формулы $n-$ го кратного угла, зная значения th и th. ^[22] $(n-1)$ $(n-2)$

$\cos(nx)$ можно вычислить из , , и с помощью $\cos((n-1)x)$ $\cos((n-2)x)$ $\cos(x)$

$\cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).$

Это можно доказать, сложив формулы

${\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}$

По индукции следует, что является многочленом так называемого многочлена Чебышёва первого рода, см. Многочлены Чебышёва#Тригонометрическое определение . $\cos(nx)$ $\cos x,$

Аналогично, можно вычислить из и с помощью Это можно доказать, добавив формулы для и $\sin(nx)$ $\sin((n-1)x),$ $\sin((n-2)x),$ $\cos x$ $\sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$ $\sin((n-1)x+x)$ $\sin((n-1)x-x).$

Служа целям, аналогичным целям метода Чебышева, для касательной можно записать:

$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.$

Формулы половинного угла

${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}$ ^[23]^[24]

Также ${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$

Стол

Их можно показать, используя либо тождества суммы и разности, либо формулы множественных углов.

	Синус	Косинус	Тангенс	Котангенс
Формула двойного угла ^[25]^[26]	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
Формула тройного угла ^[18]^[27]	${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
Формула половинного угла ^[23]^[24]	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left\|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right\|}{\left\|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right\|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

Тот факт, что формула тройного угла для синуса и косинуса содержит только степени одной функции, позволяет связать геометрическую задачу построения трисекции угла с помощью циркуля и линейки с алгебраической задачей решения кубического уравнения , что позволяет доказать, что трисекция в общем случае невозможна с использованием данных инструментов.

Формула для вычисления тригонометрических тождеств для угла в одну треть существует, но она требует нахождения нулей кубического уравнения $4 x 3 - 3 x + d = 0$ , где — значение косинуса при угле в одну треть, а $d$ — известное значение косинуса при полном угле. Однако дискриминант этого уравнения положителен, поэтому это уравнение имеет три действительных корня (из которых только один является решением для косинуса угла в одну треть). Ни одно из этих решений не сводится к действительному алгебраическому выражению , поскольку они используют промежуточные комплексные числа под кубическими корнями . $x$

Формулы снижения мощности

Получено путем решения второй и третьей версии формулы косинуса двойного угла.

Синус	Косинус	Другой
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

{\displaystyle {\overline {AD}}} — Формула приведения косинуса к степени: наглядная диаграмма. Красный, оранжевый и синий треугольники подобны, а красный и оранжевый треугольники конгруэнтны. Гипотенуза синего треугольника имеет длину . Угол равен , поэтому основание этого треугольника имеет длину . Эта длина также равна сумме длин и , то есть . Следовательно, . Разделив обе стороны на, получаем формулу приведения косинуса к степени: . Формулу половинного угла для косинуса можно получить, заменив на и извлекая квадратный корень из обеих сторон: ${\overline {AD}}$ $2\cos \theta$ $\angle DAE$ $\theta$ ${\overline {AE}}$ $2\cos ^{2}\theta$ ${\overline {BD}}$ ${\overline {AF}}$ $1+\cos(2\theta )$ $2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )$ $2$ $\cos ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ $\theta$ $\theta /2$ ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

{\displaystyle EBD} — Формула понижения степени синуса: наглядная диаграмма. Заштрихованные синий и зеленый треугольники, а также треугольник с красной рамкой — все прямоугольные и подобны, и все содержат угол . Гипотенуза треугольника с красной рамкой имеет длину , поэтому его сторона имеет длину . Отрезок прямой имеет длину и сумму длин и равен длине , которая равна 1. Следовательно, . Вычитание из обеих сторон и деление на 2 на два дает формулу понижения степени для синуса: . Формулу половинного угла для синуса можно получить, заменив на и извлекая квадратный корень из обеих сторон: Обратите внимание, что этот рисунок также иллюстрирует в вертикальном отрезке прямой , что . $EBD$ $\theta$ ${\overline {BD}}$ $2\sin \theta$ ${\overline {DE}}$ $2\sin ^{2}\theta$ ${\overline {AE}}$ $\cos 2\theta$ ${\overline {AE}}$ ${\overline {DE}}$ ${\overline {AD}}$ $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$ $\cos 2\theta$ $\sin ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ $\theta$ $\theta /2$ ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ ${\overline {EB}}$ $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

В общих чертах для степеней или справедливо следующее утверждение, которое можно вывести с помощью формулы Муавра , формулы Эйлера и биномиальной теоремы . $\sin \theta$ $\cos \theta$

если н это ...	$\cos ^{n}\theta$	$\sin ^{n}\theta$
n нечетное	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
n четное	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Тождества «произведение-сумма» и «сумма-произведение»

Тождества произведения в сумму ^[28] или формулы простеаферезиса можно доказать, разложив их правые части с помощью теорем сложения углов. Исторически первые четыре из них были известны как формулы Вернера , в честь Иоганнеса Вернера , который использовал их для астрономических расчетов. ^[29] См. амплитудную модуляцию для применения формул произведения в сумму и биение (акустика) и фазовый детектор для применения формул суммы в произведение.

Идентификации произведения в сумму

${\begin{aligned}\cos \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )}\\[3mu]\sin \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )}\\[3mu]\sin \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}\\[3mu]\cos \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}\end{aligned}}$
$\tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
$\tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$
${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$
$\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}$

Идентификации суммы и произведения

Тождества суммы и произведения следующие: ^[30]

$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}$

Котангенс тождество Эрмита

Чарльз Эрмит продемонстрировал следующее тождество. ^[31] Предположим, что являются комплексными числами , никакие два из которых не отличаются на целое число, кратное $π$ . Пусть $a_{1},\ldots ,a_{n}$

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

(в частности, будучи пустым произведением , равно 1). Тогда $A_{1,1},$

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

Простейшим нетривиальным примером является случай $n = 2$ :

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$

Конечные произведения тригонометрических функций

Для взаимно простых целых чисел $n$ , $m$

$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$

где $T n$ — полином Чебышева . ^{[ требуется ссылка ]}

Для синусоидальной функции справедливо следующее соотношение:

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$

В более общем случае для целого числа $n > 0$ ^[32]

$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).$

или записано в терминах функции аккорда , ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).$

Это происходит из-за разложения многочлена на линейные множители (ср. корень из единицы ): Для любого комплексного $z$ и целого числа $n$ $> 0$ , ${\textstyle z^{n}-1}$

$z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).$

Линейные комбинации

Для некоторых целей важно знать, что любая линейная комбинация синусоидальных волн с одинаковым периодом или частотой, но разными фазовыми сдвигами также является синусоидальной волной с одинаковым периодом или частотой, но разными фазовыми сдвигами. Это полезно при подгонке данных синусоиды , поскольку измеренные или наблюдаемые данные линейно связаны с неизвестными $a$ и $b базиса$ синфазных и квадратурных компонентов ниже, что приводит к более простому якобиану по сравнению с и . $c$ $\varphi$

Синус и косинус

Линейная комбинация или гармоническое сложение синусоидальных и косинусоидальных волн эквивалентно одной синусоидальной волне со сдвигом фазы и масштабированной амплитудой, ^[33]^[34]

$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$

где и определяются следующим образом: $c$ $\varphi$

${\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}$

при условии $a\neq 0.$

Произвольный сдвиг фаз

В более общем случае для произвольных фазовых сдвигов мы имеем

$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$

где и удовлетворяют: $c$ $\varphi$

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$

Более двух синусоид

Общий случай выглядит так ^[34]

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$ где и $a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$ $\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$

Тригонометрические тождества Лагранжа

Эти тождества, названные в честь Жозефа Луи Лагранжа , таковы: ^[35]^[36]^[37] для ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}$ $\theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.$

Связанная функция — ядро Дирихле :

$D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.$

Подобная идентичность ^[38]

$\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.$

Доказательство следующее. Используя тождества суммы и разности углов, давайте рассмотрим следующую формулу: $\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.$

$2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha$ и эту формулу можно записать, используя указанное выше тождество,

${\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}$

Итак, деление этой формулы на завершает доказательство. $2\sin \alpha$

Некоторые дробно-линейные преобразования

Если задано дробно-линейным преобразованием и аналогично , то $f(x)$ $f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$ $g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$ $f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

Говоря короче, если мы оставим все как есть , то, что мы назвали выше, тогда $\alpha$ $f_{\alpha }$ $f$ $f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$

Если - наклон прямой, то - наклон ее поворота на угол $x$ $f(x)$ $-\alpha .$

Связь с комплексной показательной функцией

Формула Эйлера гласит, что для любого действительного числа x : ^[39] где i — мнимая единица . Подстановка − x вместо x дает нам: $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ $e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$

Эти два уравнения можно использовать для решения косинуса и синуса в терминах экспоненциальной функции . В частности, ^[40]^[41] $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Эти формулы полезны для доказательства многих других тригонометрических тождеств. Например, то, что $e i (θ + φ) = e iθ e iφ$ означает, что

соз(θ + φ) + я грех (θ + φ) = ( соз θ + я грех θ) ( соз φ + я грех φ) = ( соз θ соз φ - грех θ грех φ) + я ( соз θ грех φ + грех θ соз φ)

.

То, что действительная часть левой стороны равна действительной части правой стороны, является формулой сложения углов для косинуса. Равенство мнимых частей дает формулу сложения углов для синуса.

В следующей таблице тригонометрические функции и обратные им функции выражены через показательную функцию и комплексный логарифм .

Функция	Обратная функция ^[42]
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Отношение к сложным гиперболическим функциям

Тригонометрические функции могут быть выведены из гиперболических функций с комплексными аргументами. Формулы для соотношений приведены ниже ^[43]^[44] . ${\begin{aligned}\sin x&=-i\sinh(ix)\\\cos x&=\cosh(ix)\\\tan x&=-i\tanh(ix)\\\cot x&=i\coth(ix)\\\sec x&=\operatorname {sech} (ix)\\\csc x&=i\operatorname {csch} (ix)\\\end{aligned}}$

Расширение серии

При использовании разложения в степенной ряд для определения тригонометрических функций получаются следующие тождества: ^[45]

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.

Формулы бесконечного произведения

Для приложений к специальным функциям полезны следующие формулы бесконечного произведения для тригонометрических функций: ^[46]^[47]

${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Обратные тригонометрические функции

Следующие тождества дают результат составления тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией. ^[48]

${\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$

Взяв мультипликативную инверсию обеих сторон каждого из приведенных выше уравнений, получим уравнения для Правая сторона приведенной выше формулы всегда будет перевернута. Например, уравнение для имеет вид: в то время как уравнения для и имеют вид: $\csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.$ $\cot(\arcsin x)$ $\cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$ $\csc(\arccos x)$ $\sec(\arccos x)$ $\csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.$

Следующие тождества подразумеваются тождествами отражения. Они выполняются всякий раз, когда находятся в областях соответствующих функций. $x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s$ ${\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}$

Также, ^[49] ${\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}$ $\arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$ $\arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

Функцию арктангенса можно разложить в ряд: ^[50] $\arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}$

Идентичности без переменных

В терминах функции арктангенса имеем ^[49] $\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

Любопытное тождество, известное как закон Морри , $\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$

является частным случаем тождества, содержащего одну переменную: $\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.$

Аналогично, есть частный случай тождества с : $\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$ $x=20^{\circ }$ $\sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.$

Для этого случая , $x=15^{\circ }$ ${\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$

Для этого случая , $x=10^{\circ }$ $\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

То же самое тождество косинуса $\cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.$

Сходным образом, ${\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$

Сходным образом, ${\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}$

Следующее утверждение, возможно, не так легко обобщить на тождество, содержащее переменные (но см. объяснение ниже): $\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

Градусная мера перестает быть более удачной, чем радианная мера, если учесть это тождество с 21 в знаменателе: $\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.$

Множители 1, 2, 4, 5, 8, 10 могут начать прояснять закономерность: это те целые числа, которые меньше ⁠21/2⁠ которые взаимно просты (или не имеют общих простых множителей с) 21. Последние несколько примеров являются следствиями основного факта о неприводимых циклотомических многочленах : косинусы являются действительными частями нулей этих многочленов; сумма нулей является функцией Мёбиуса , вычисленной в (в самом последнем случае выше) 21; только половина нулей присутствует выше. Два тождества, предшествующие этому последнему, возникают таким же образом с заменой 21 на 10 и 15 соответственно.

Другие тождества косинуса включают в себя: ^[51] и так далее для всех нечетных чисел, и, следовательно, ${\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}$ $\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.$

Многие из этих любопытных идентичностей вытекают из более общих фактов, таких как следующие: ^[52] и $\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$ $\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.$

Объединив их, мы получаем $\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}$

Если $n$ — нечетное число ( ), мы можем использовать симметрии, чтобы получить $n=2m+1$ $\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}$

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта может быть выражена через полином и полюса. Задавая частоту как частоту среза, можно доказать следующее тождество: $\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$

Вычислительная техника $π$

Эффективный способ вычисления $π$ с большим количеством цифр основан на следующем тождестве без переменных, предложенном Мачиным . Это известно как формула типа Мачиного : или, альтернативно, с использованием тождества Леонарда Эйлера : или с использованием пифагорейских троек : ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ ${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$ $\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.$

Другие включают: ^[53]^[49] ${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},$ $\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,$ ${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

В общем случае для чисел $t 1, ..., t n -1 \in (-1, 1),$ для которых $θ n = Σ n -1 к =1 arctan t k \in (π /4, 3 π /4)$ , пусть $t n = tan(π /2 - θ n) = cot θ n$ . Это последнее выражение можно вычислить напрямую, используя формулу для котангенса суммы углов, тангенсы которых равны $t 1, ..., t n -1 ,$ и его значение будет в $(-1, 1)$ . В частности, вычисленное $t n$ будет рациональным, если все значения $t 1, ..., t n -1$ рациональны. С этими значениями, ${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}$

где во всех выражениях, кроме первого, мы использовали формулы тангенса половинного угла. Первые две формулы работают, даже если одно или несколько значений $t k$ не находятся в пределах $(-1, 1)$ . Обратите внимание, что если $t = p / q$ рационально, то значения $(2 t, 1 - t 2, 1 + t 2)$ в приведенных выше формулах пропорциональны пифагоровой тройке $(2 pq, q 2 - p 2, q 2 + p 2)$ .

Например, для $n = 3$ членов, для любых $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $,$ $d$ $> 0$ . ${\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)$

Тождество Евклида

Евклид показал в Книге XIII, Предложении 10 своих Элементов , что площадь квадрата на стороне правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей квадратов на сторонах правильного шестиугольника и правильного десятиугольника, вписанных в ту же окружность. На языке современной тригонометрии это звучит так: $\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.$

Птолемей использовал это предложение для вычисления некоторых углов в своей таблице хорд в книге I, главе 11 Альмагеста .

Состав тригонометрических функций

Эти тождества включают тригонометрическую функцию тригонометрической функции: ^[54]

\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}

\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}

где $J i$ — функции Бесселя .

Дальнейшие «условные» тождества для делаα+β+γ= 180°

Условное тригонометрическое тождество — это тригонометрическое тождество, которое выполняется, если выполняются указанные условия для аргументов тригонометрических функций. ^[55] Следующие формулы применимы к произвольным плоским треугольникам и вытекают из того, что функции, встречающиеся в формулах, хорошо определены (последнее применимо только к формулам, в которых встречаются тангенсы и котангенсы). $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ ${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}$

Исторические стенографии

Версинус , коверсинус , гаверсинус и экссеканс использовались в навигации. Например, формула гаверсинуса использовалась для вычисления расстояния между двумя точками на сфере. Сегодня они используются редко .

Разнообразный

ядро Дирихле

Ядро Дирихле $D n (x)$ — это функция, встречающаяся по обе стороны от следующего тождества: $1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.$

Свертка любой интегрируемой функции периода с ядром Дирихле совпадает с Фурье-аппроксимацией функции th-й степени. То же самое справедливо для любой меры или обобщенной функции . $2\pi$ $n$

Замена половинного угла тангенса

Если мы установим то ^[56] , где иногда сокращается до $цис$ $x$ . $t=\tan {\frac {x}{2}},$ $\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},$ $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

Когда эта замена на $tan$ $⁠$ $t$ $х / 2 ⁠$ используется в исчислении , следует, чтозаменяется на $⁠$ $\sin x$ $2 т / 1 + т 2 ⁠$ ,заменяется на $⁠$ $\cos x$ $1 - т 2 / 1 + т 2 ⁠$ и дифференциал $d x$ заменяется на $⁠$ $2 д т / 1 + т 2 ⁠$ . Таким образом, рациональные функцииив рациональные функциидля того, чтобы найти их первообразные . $\sin x$ $\cos x$ $t$

Бесконечное произведение Виета

$\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .$

Смотрите также

Неравенство Аристарха
Производные тригонометрических функций
Точные тригонометрические значения (значения синуса и косинуса, выраженные в иррациональных числах)
Экссекант
Формула полусферы
Гиперболическая функция
Законы решения треугольников:
Список интегралов тригонометрических функций
Мнемоника в тригонометрии
Pentagramma mirificum
Доказательства тригонометрических тождеств
Простаферез
Теорема Пифагора
Формула половинного угла тангенса
Тригонометрическое число
Тригонометрия
Применение тригонометрии
Версин и гаверсин

Ссылки

^ Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4, уравнение 4.3.45". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
^ Селби 1970, стр. 188
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.13–15
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.7–9
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.16
^ abcd Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения». MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.17
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.18
^ ab "Тождества суммы и разности углов". www.milefoot.com . Получено 12 октября 2019 г.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.19
^ Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.32
^ Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.33
^ Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.34
^ Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение действительных элементарных функций». В Gonnet, GH (ред.). Труды Международного симпозиума ACM- SIGSAM 1989 по символическим и алгебраическим вычислениям . ISSAC '89 (Портленд, США, штат Орегон, 1989-07). Нью-Йорк: ACM . С. 207–211 . doi :10.1145/74540.74566. ISBN 0-89791-325-6.
^ Майкл Харди. (2016). «О касательных и секущих бесконечных сумм». The American Mathematical Monthly , том 123, номер 7, 701–703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701
^ Харди, Майкл (2016). «О касательных и секущих бесконечных сумм». American Mathematical Monthly . 123 (7): 701– 703. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.7.701.
^ ab «Синус, косинус и теорема Птолемея».
^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Формулы нескольких углов». Математический мир .
^ Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.48
^ ab Selby 1970, стр. 190
^ Weisstein, Eric W. "Multiple-Angle Formulas". mathworld.wolfram.com . Получено 2022-02-06 .
^ Уорд, Кен. "Рекурсивная формула для нескольких углов". Страницы математики Кена Уорда .
^ ab Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4, уравнение 4.3.20-22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 72. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Формулы половинного угла». Математический мир .
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.24–26
^ Вайсштейн, Эрик В. «Формулы двойного угла». MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.27–28
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.31–33
^ Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Филадельфия: Saunders College Pub. стр. 309. ISBN 0-03-029558-0. OCLC 20842510.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.34–39
^ Джонсон, Уоррен П. (апрель 2010 г.). «Тригонометрические тождества в духе Эрмита». American Mathematical Monthly . 117 (4): 311– 327. doi :10.4169/000298910x480784. S2CID 29690311.
^ «Идентификация продукта под разными углами».
^ Апостол, ТМ (1967) Исчисление. 2-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Wiley. С. 334-335.
^ ab Weisstein, Eric W. «Теорема о гармоническом сложении». MathWorld .
^ Ортис Муньис, Эдди (февраль 1953 г.). «Метод вывода различных формул в электростатике и электромагнетизме с использованием тригонометрических тождеств Лагранжа». American Journal of Physics . 21 (2): 140. Bibcode : 1953AmJPh..21..140M. doi : 10.1119/1.1933371.
^ Агарвал, Рави П.; О'Реган, Донал (2008). Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения: со специальными функциями, рядами Фурье и граничными задачами (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 185. ISBN 978-0-387-79146-3.Выдержка из страницы 185
^ Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-хуэй (2008). "Раздел 2.4.1.6". Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Academic Press. ISBN 978-0-12-374288-9.
^ Фэй, Темпл Х.; Клопперс, П. Хендрик (2001). «Феномен Гиббса». Международный журнал математического образования в науке и технике . 32 (1): 73– 89. doi :10.1080/00207390117151.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.47
^ Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.2
^ Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.1
^ Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.26–31
^ Хокинс, Фейт Мэри; Хокинс, Дж. К. (1 марта 1969 г.). Комплексные числа и элементарные комплексные функции. Лондон: MacDonald Technical & Scientific London (опубликовано в 1968 г.). стр. 122. ISBN 978-0356025056.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
^ Маркушевич, А.И. (1966). Замечательная функция синуса. Нью-Йорк: American Elsevier Publishing Company, Inc. стр. 35–37 , 81. ISBN 978-1483256313.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.65–66
^ Абрамовиц и Стегун, с. 75, 4.3.89–90
^ Абрамовиц и Стегун, с. 85, 4.5.68–69
^ Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 73, 4.3.45
^ abc Wu, Rex H. «Доказательство без слов: тождество арктангенса Эйлера», Mathematics Magazine 77(3), июнь 2004 г., стр. 189.
^ SM Abrarov, RK Jagpal, R. Siddiqui и BM Quine (2021), «Алгоритмическое определение большого целого числа в двухчленной формуле типа Мачина для π», Mathematics , 9 (17), 2162, arXiv : 2107.01027 , doi : 10.3390/math9172162{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Хамбл, Стив (ноябрь 2004 г.). «Идентичность бабушки». Mathematical Gazette . 88 : 524– 525. doi :10.1017/s0025557200176223. S2CID 125105552.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Синус». MathWorld .
^ Харрис, Эдвард М. «Суммы арктангенсов», в книге Роджера Б. Нельсона « Доказательства без слов» (1993, Математическая ассоциация Америки), стр. 39.
↑ Милтон Абрамовиц и Ирен Стиган, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Dover Publications , Нью-Йорк, 1972, формулы 9.1.42–9.1.45
^ Эр. К.С. Джоши, ИИТ Кришны МАТЕМАТИКА . Кришна Пракашан Медиа. Меерут, Индия. страница 636.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.23

Библиография

Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.
Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы до пяти знаков (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 61-9103
Селби, Сэмюэл М., ред. (1970), Стандартные математические таблицы (18-е изд.), The Chemical Rubber Co.

Внешние ссылки

Значения sin и cos, выраженные в иррациональных дробях, для целых кратных 3° и ⁠5+5/8⁠°, а также для тех же углов csc и sec и tan

[AS4345-1] Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4, уравнение 4.3.45". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

[2] Селби 1970, стр. 188

[3] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.13–15

[4] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.7–9

[5] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.16

[mathworld_addition-6] Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения». MathWorld .

[7] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.17

[8] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.18

[:0-9] "Тождества суммы и разности углов". www.milefoot.com . Получено 12 октября 2019 г.

[10] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.19

[11] Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.32

[12] Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.33

[13] Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.34

[14] Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение действительных элементарных функций». В Gonnet, GH (ред.). Труды Международного симпозиума ACM- SIGSAM 1989 по символическим и алгебраическим вычислениям . ISSAC '89 (Портленд, США, штат Орегон, 1989-07). Нью-Йорк: ACM . С. 207–211 . doi :10.1145/74540.74566. ISBN 0-89791-325-6.

[15] Майкл Харди. (2016). «О касательных и секущих бесконечных сумм». The American Mathematical Monthly , том 123, номер 7, 701–703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701

[16] Харди, Майкл (2016). «О касательных и секущих бесконечных сумм». American Mathematical Monthly . 123 (7): 701– 703. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.7.701.

[cut-the-knot.org-17] «Синус, косинус и теорема Птолемея».

[mathworld_multiple_angle-18] аб Вайсштейн, Эрик В. «Формулы нескольких углов». Математический мир .

[19] Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.48

[STM1-20] Selby 1970, стр. 190

[21] Weisstein, Eric W. "Multiple-Angle Formulas". mathworld.wolfram.com . Получено 2022-02-06 .

[22] Уорд, Кен. "Рекурсивная формула для нескольких углов". Страницы математики Кена Уорда .

[ReferenceA-23] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4, уравнение 4.3.20-22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 72. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

[mathworld_half_angle-24] аб Вайсштейн, Эрик В. «Формулы половинного угла». Математический мир .

[25] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.24–26

[mathworld_double_angle-26] Вайсштейн, Эрик В. «Формулы двойного угла». MathWorld .

[Stegun_p._72,_4-27] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.27–28

[28] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.31–33

[29] Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Филадельфия: Saunders College Pub. стр. 309. ISBN 0-03-029558-0. OCLC 20842510.

[30] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.34–39

[31] Джонсон, Уоррен П. (апрель 2010 г.). «Тригонометрические тождества в духе Эрмита». American Mathematical Monthly . 117 (4): 311– 327. doi :10.4169/000298910x480784. S2CID 29690311.

[32] «Идентификация продукта под разными углами».

[33] Апостол, ТМ (1967) Исчисление. 2-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Wiley. С. 334-335.

[ReferenceB-34] Weisstein, Eric W. «Теорема о гармоническом сложении». MathWorld .

[Muniz-35] Ортис Муньис, Эдди (февраль 1953 г.). «Метод вывода различных формул в электростатике и электромагнетизме с использованием тригонометрических тождеств Лагранжа». American Journal of Physics . 21 (2): 140. Bibcode : 1953AmJPh..21..140M. doi : 10.1119/1.1933371.

[36] Агарвал, Рави П.; О'Реган, Донал (2008). Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения: со специальными функциями, рядами Фурье и граничными задачами (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 185. ISBN 978-0-387-79146-3.Выдержка из страницы 185

[37] Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-хуэй (2008). "Раздел 2.4.1.6". Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Academic Press. ISBN 978-0-12-374288-9.

[38] Фэй, Темпл Х.; Клопперс, П. Хендрик (2001). «Феномен Гиббса». Международный журнал математического образования в науке и технике . 32 (1): 73– 89. doi :10.1080/00207390117151.

[39] Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.47

[40] Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.2

[41] Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.1

[42] Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.26–31

[43] Хокинс, Фейт Мэри; Хокинс, Дж. К. (1 марта 1969 г.). Комплексные числа и элементарные комплексные функции. Лондон: MacDonald Technical & Scientific London (опубликовано в 1968 г.). стр. 122. ISBN 978-0356025056.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

[44] Маркушевич, А.И. (1966). Замечательная функция синуса. Нью-Йорк: American Elsevier Publishing Company, Inc. стр. 35–37 , 81. ISBN 978-1483256313.

[45] Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.65–66

[46] Абрамовиц и Стегун, с. 75, 4.3.89–90

[47] Абрамовиц и Стегун, с. 85, 4.5.68–69

[48] Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 73, 4.3.45

[Wu-49] Wu, Rex H. «Доказательство без слов: тождество арктангенса Эйлера», Mathematics Magazine 77(3), июнь 2004 г., стр. 189.

[50] SM Abrarov, RK Jagpal, R. Siddiqui и BM Quine (2021), «Алгоритмическое определение большого целого числа в двухчленной формуле типа Мачина для π», Mathematics , 9 (17), 2162, arXiv : 2107.01027 , doi : 10.3390/math9172162{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[51] Хамбл, Стив (ноябрь 2004 г.). «Идентичность бабушки». Mathematical Gazette . 88 : 524– 525. doi :10.1017/s0025557200176223. S2CID 125105552.

[52] Вайсштейн, Эрик В. «Синус». MathWorld .

[Harris-53] Харрис, Эдвард М. «Суммы арктангенсов», в книге Роджера Б. Нельсона « Доказательства без слов» (1993, Математическая ассоциация Америки), стр. 39.

[54] Милтон Абрамовиц и Ирен Стиган, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Dover Publications , Нью-Йорк, 1972, формулы 9.1.42–9.1.45

[55] Эр. К.С. Джоши, ИИТ Кришны МАТЕМАТИКА . Кришна Пракашан Медиа. Меерут, Индия. страница 636.

[56] Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.23

Список тригонометрических тождеств

Пифагорейские тождества

Отражения, сдвиги и периодичность

Размышления

Смены и периодичность

Знаки

Тождества суммы и разности углов

Синусы и косинусы сумм бесконечного числа углов

Тангенсы и котангенсы сумм

Секансы и косекансы сумм

Теорема Птолемея

Формулы кратного угла и половинного угла

Формулы множественных углов

Формулы двойного угла

Формулы тройного угла

Формулы множественных углов

метод Чебышева

Формулы половинного угла

Стол

Формулы снижения мощности

Тождества «произведение-сумма» и «сумма-произведение»

Идентификации произведения в сумму

Идентификации суммы и произведения

Котангенс тождество Эрмита

Конечные произведения тригонометрических функций

Линейные комбинации

Синус и косинус

Произвольный сдвиг фаз

Более двух синусоид

Тригонометрические тождества Лагранжа

Некоторые дробно-линейные преобразования

Связь с комплексной показательной функцией

Отношение к сложным гиперболическим функциям

Расширение серии

Формулы бесконечного произведения

Обратные тригонометрические функции

Идентичности без переменных

Вычислительная техникаπ

Тождество Евклида

Состав тригонометрических функций

Дальнейшие «условные» тождества для делаα+β+γ= 180°

Исторические стенографии

Разнообразный

ядро Дирихле

Замена половинного угла тангенса

Бесконечное произведение Виета

Смотрите также

Ссылки

Библиография

Внешние ссылки

Вычислительная техника $π$