Правила дифференциации

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В данной статье излагается сводка правил дифференцирования , то есть правил вычисления производной функции в исчислении .

Если не указано иное, все функции являются функциями действительных чисел ( ), которые возвращают действительные значения, хотя, в более общем смысле, приведенные ниже формулы применяются везде, где они четко определены , ^{[1] [2]} включая случай комплексных чисел ( ). ^[3]${\textstyle \mathbb {R} }$${\textstyle \mathbb {C} }$

Для любого значения , где , если — постоянная функция, заданная выражением , то . ^[4]${\textstyle c}$${\textstyle c\in \mathbb {R} }$${\textstyle f(x)}$${\textstyle f(x)=c}$${\textstyle {\frac {df}{dx}}=0}$

Пусть и . По определению производной:${\textstyle c\in \mathbb {R} }$${\textstyle f(x)=c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0.\end{aligned}}}$$

Это вычисление показывает, что производная любой постоянной функции равна 0.

Производная функции в точке — это наклон касательной к кривой в точке. Наклон постоянной функции равен 0, поскольку касательная к постоянной функции горизонтальна и ее угол равен 0.

Другими словами, значение постоянной функции не изменится при увеличении или уменьшении значения .${\textstyle y}$${\textstyle x}$

Для любых функций и и любых действительных чисел и производная функции по равна .${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$${\textstyle h(x)=af(x)+bg(x)}$${\textstyle x}$${\textstyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$

В обозначениях Лейбница эта формула записывается так:$${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

К особым случаям относятся:

• Правило постоянного множителя:

$${\displaystyle (af)'=af',}$$

• Правило суммы:

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g',}$$

• Правило разницы:

$${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

Для функций и производная функции по равна :${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle h(x)=f(x)g(x)}$${\textstyle x}$$${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$

В обозначениях Лейбница эта формула записывается так:$${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

Производная функции равна:${\textstyle h(x)=f(g(x))}$$${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

В обозначениях Лейбница эта формула записывается так: часто сокращается до:$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$$${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

Сосредоточившись на понятии карт и на том, что дифференциал является картой , эта формула записывается более кратко как:${\textstyle {\text{D}}}$$${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}.}$$

Если функция имеет обратную функцию , то есть и , то:${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$${\textstyle g(f(x))=x}$${\textstyle f(g(y))=y}$$${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

В обозначениях Лейбница эта формула записывается так:$${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

Если , для любого действительного числа , то:${\textstyle f(x)=x^{r}}$${\textstyle r\neq 0}$$${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$$

При , эта формула становится частным случаем, что если , то .${\textstyle r=1}$${\textstyle f(x)=x}$${\textstyle f'(x)=1}$

Объединение правила степенной функции с правилами суммы и постоянного множителя позволяет вычислить производную любого многочлена.

Производная для любой (неисчезающей) функции равна: везде, где ненулевое значение.${\textstyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$${\textstyle f}$$${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}},}$$${\textstyle f}$

В обозначениях Лейбница эта формула записывается так:$${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {1}{f}}\right)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$$

Правило взаимности может быть выведено либо из правила частного, либо из комбинации правила мощности и правила цепочки.

Если и являются функциями, то: везде, где ненулевое значение.${\textstyle f}$${\textstyle g}$$${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}},}$$${\textstyle g}$

Это можно вывести из правила произведения и правила взаимности.

Элементарное правило мощности значительно обобщает. Наиболее общее правило мощности — это функциональное правило мощности : для любых функций и , где обе стороны хорошо определены.${\textstyle f}$${\textstyle g}$$${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$$

Особые случаи:

• Если , то когда — любое ненулевое действительное число и является положительным.${\textstyle f(x)=x^{a}}$${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$${\textstyle a}$${\textstyle x}$
• Взаимное правило может быть выведено как частный случай, когда .${\textstyle g(x)=-1\!}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0.}$$Уравнение выше справедливо для всех , но производная для дает комплексное число.${\displaystyle c}$${\displaystyle c<0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1.}$$Уравнение выше также верно для всех , но дает комплексное число, если .${\textstyle c}$${\textstyle c<0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e},}$$где — функция Ламберта W.${\textstyle W(x)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0{\text{ and }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},\qquad {\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}{\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists.}}}$$

Логарифмическая производная — это еще один способ сформулировать правило дифференцирования логарифма функции (с использованием цепного правила): где положительно.$${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}$$${\textstyle f}$

Логарифмическое дифференцирование — это метод, который использует логарифмы и их правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. ^{[ необходима ссылка ]}

Логарифмы можно использовать для устранения показателей, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание — каждый из этих способов может привести к упрощенному выражению для вычисления производных.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

Производные в таблице выше приведены для случая, когда диапазон арксеканса равен , а диапазон арккосеканса равен .${\textstyle [0,\pi ]}$${\textstyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

Обычно дополнительно определяют функцию арктангенса с двумя аргументами , . Ее значение лежит в диапазоне и отражает квадрант точки . Для первого и четвертого квадранта (т.е. ), имеем . Ее частные производные:${\textstyle \arctan(y,x)}$${\textstyle [-\pi ,\pi ]}$${\textstyle (x,y)}$${\displaystyle x>0}$${\textstyle \arctan(y,x>0)=\arctan({\frac {y}{x}})}$$${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x),\end{aligned}}}$$где — дигамма-функция , выраженная выражением в скобках справа от в строке выше.${\textstyle \psi (x)}$${\textstyle \Gamma (x)}$

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$$

Предположим, что требуется выполнить дифференцирование по функции:${\textstyle x}$$${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$$

где функции и обе непрерывны в и в некоторой области плоскости , включая , где , а функции и обе непрерывны и обе имеют непрерывные производные для . Тогда для :${\textstyle f(x,t)}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$${\textstyle t}$${\textstyle x}$${\textstyle (t,x)}$${\textstyle a(x)\leq t\leq b(x)}$${\textstyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\textstyle a(x)}$${\textstyle b(x)}$${\textstyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\textstyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$$${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$$

Эта формула представляет собой общую форму интегрального правила Лейбница и может быть выведена с использованием основной теоремы исчисления .

Существуют некоторые правила вычисления производной -й функции, где - положительное целое число, в том числе:${\textstyle n}$${\textstyle n}$

Если и дифференцируемы в -раз, то: где и множество состоит из всех неотрицательных целочисленных решений диофантова уравнения .${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle n}$$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}},}$$${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$${\textstyle \{k_{m}\}}$ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

Если и дифференцируемы в -раз, то:${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle n}$$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}$$

• Дифференцируемая функция  – Математическая функция, производная которой существует.
• Дифференциал функции  – Понятие в исчислении
• Дифференцирование интегралов  – Задача по математике
• Дифференцирование под знаком интеграла  – Формула дифференцирования под знаком интегралаPages displaying short descriptions of redirect targets
• Гиперболические функции  – общее название 6 математических функций.
• Обратные гиперболические функции  – Математические функции
• Обратные тригонометрические функции  – обратные функции sin, cos, tan и т. д.
• Списки интегралов
• Список математических функций
• Матричное исчисление  – Специализированная нотация для многомерного исчисления
• Тригонометрические функции  – Функции угла
• Тождества векторного исчисления  – Математические тождества

Эти правила приведены во многих книгах, как по элементарному, так и по продвинутому исчислению, по чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (в дополнение к указанным выше ссылкам) можно найти в:

• Математический справочник формул и таблиц (3-е издание) , С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Серия обзоров Шаума, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 . 
• Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Математические методы для физики и техники , К.Ф. Райли, М.П. Хобсон, С.Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
• Справочник NIST по математическим функциям , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . 

• Калькулятор производных с упрощением формулы