Неравенство Аристарха

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources. Find sources: "Aristarchus's inequality" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2024)

Неравенство Аристарха (в честь греческого астронома и математика Аристарха Самосского ; ок. 310 – ок. 230 до н. э.) – это закон тригонометрии , который гласит, что если α и β – острые углы (т. е. между 0 и прямым углом) и β  <  α , то

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

Птолемей использовал первое из этих неравенств при построении своей таблицы хорд . ^[1]

Доказательство является следствием более широко известных неравенств

${\displaystyle 0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )}$,

${\displaystyle 0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1}$и

${\displaystyle 1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0}$.

Используя эти неравенства, мы можем сначала доказать, что

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.}$

Сначала заметим, что неравенство эквивалентно

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$

что само по себе может быть переписано как

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

Теперь мы хотим показать, что

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

Второе неравенство просто . Первое верно, потому что${\displaystyle \beta <\tan \beta }$

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).}$

Теперь мы хотим показать второе неравенство, т.е. что:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

Сначала отметим, что в силу исходных неравенств имеем:

${\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$

Следовательно, используя это в предыдущем уравнении (заменив на ), получаем:${\displaystyle 0<\alpha -\beta <\alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha -\beta <\alpha }$

${\displaystyle {\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).}$

Мы приходим к выводу, что

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

• Аристарх Самосский
• Эратосфен
• Посидоний

• Лейбовиц, Джеральд М. "Эллинистические астрономы и истоки тригонометрии" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-09-27 . Получено 2019-06-24 .
• Доказательство первого неравенства
• Доказательство второго неравенства

Эта статья по элементарной геометрии — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e