Закон Морри

Закон Морри — это особое тригонометрическое тождество . Свое название он получил от физика Ричарда Фейнмана , который называл это тождество этим именем. Фейнман выбрал это название, потому что узнал его в детстве от мальчика по имени Морри Джейкобс и впоследствии запомнил его на всю жизнь. ^[1]

${\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}$

Это частный случай более общей идентичности

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

при n = 3 и α = 20° и тот факт, что

${\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}} = {\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,}$

с

${\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).}$

Аналогичное тождество справедливо и для синусоидальной функции:

${\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}$

Более того, разделив второе тождество на первое, получаем следующее тождество:

${\displaystyle \tan(20^{\circ})\cdot \tan(40^{\circ})\cdot \tan(80^{\circ})={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}$

Рассмотрим правильный девятиугольник со стороной длиной и пусть будет серединой , серединой и серединой . Внутренние углы девятиугольника равны и, кроме того , и (см. рисунок). Применяем определение косинуса в прямоугольных треугольниках , и затем получаем доказательство закона Морри: ^[2]${\displaystyle ABCDEFGHI}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle М}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle L}$${\displaystyle БФ}$${\displaystyle J}$${\displaystyle БД}$${\displaystyle 140^{\circ}}$${\displaystyle \gamma =\angle FBM=80^{\circ }}$${\displaystyle \beta =\angle DBF=40^{\circ }}$${\displaystyle \альфа =\угол CBD=20^{\circ }}$ ${\displaystyle \треугольник БФМ}$${\displaystyle \треугольник BDL}$${\displaystyle \треугольник BCJ}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{выровнено}}}$

Вспомним формулу двойного угла для синусоидальной функции.

${\ displaystyle \ грех (2 \ альфа) = 2 \ грех (\ альфа) \ соз (\ альфа).}$

Решить для${\displaystyle \cos(\альфа)}$

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}$

Из этого следует, что:

${\displaystyle {\begin{align}\cos(2\alpha)&={\frac {\sin(4\alpha)}{2\sin(2\alpha)}}\\[6pt]\cos(4\alpha)&={\frac {\sin(8\alpha)}{2\sin(4\alpha)}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n-1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.\end{align}}}$

Перемножение всех этих выражений дает:

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.}$

Промежуточные числители и знаменатели сокращаются, оставляя только первый знаменатель, степень 2 и последний числитель. Обратите внимание, что в обеих частях выражения n членов. Таким образом,

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},}$

что эквивалентно обобщению закона Морри.

• Формула Виета , та же самая идентичность, взятая по закону Морри${\displaystyle \alpha =2^{-n}x}$
• Список тригонометрических тождеств

• Глен Ван Бруммелен: Тригонометрия: Очень краткое введение . Oxford University Press, 2020, ISBN  9780192545466 , стр. 79–83
• Эрнест К. Андерсон: Закон Морри и экспериментальная математика . В: Журнал развлекательной математики , 1998

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон Морри». MathWorld .