Соотношение между длинами сторон и углами сферического треугольника
Сферический треугольник В сферической тригонометрии формула половины стороны связывает углы и длины сторон сферических треугольников , которые представляют собой треугольники, нарисованные на поверхности сферы , и поэтому имеют изогнутые стороны и не подчиняются формулам для плоских треугольников . [1]
Для треугольника на сфере формула половины стороны имеет вид [2] △ А Б С {\displaystyle \треугольник ABC} загар 1 2 а = − потому что ( С ) потому что ( С − А ) потому что ( С − Б ) потому что ( С − С ) {\displaystyle {\begin{align}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(SA)}{\cos(SB)\,\cos(SC)}}}\end{align}}}
где a, b, c — угловые длины (мера центрального угла , длины дуг, нормированные к сфере единичного радиуса ) сторон, противолежащих углам A, B, C соответственно, и — половина суммы углов. Еще две формулы можно получить для и , переставив метки С = 1 2 ( А + Б + С ) {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(A+B+C)} б {\displaystyle б} с {\displaystyle с} А , Б , С . {\displaystyle А,Б,В.}
Полярное двойственное соотношение для сферического треугольника — это формула половинного угла ,
загар 1 2 А = грех ( с − б ) грех ( с − с ) грех ( с ) грех ( с − а ) {\displaystyle {\begin{align}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(sb)\,\sin(sc)}{\sin(s)\,\sin(sa)}}}\end{align}}}
где полупериметр равен половине суммы сторон. Опять же, еще две формулы можно получить, переставив метки с = 1 2 ( а + б + с ) {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} А , Б , С . {\displaystyle А,Б,В.}
Вариант полукасательной Те же соотношения можно записать в виде рациональных уравнений полукасательных (тангенсов половинных углов). Если и тогда формула полустороны эквивалентна: т а = загар 1 2 а , {\displaystyle t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,} т б = загар 1 2 б , {\displaystyle t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,} т с = загар 1 2 с , {\displaystyle t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,} т А = загар 1 2 А , {\displaystyle t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,} т Б = загар 1 2 Б , {\displaystyle t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,} т С = загар 1 2 С , {\displaystyle t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,}
т а 2 = ( т Б т С + т С т А + т А т Б − 1 ) ( − т Б т С + т С т А + т А т Б + 1 ) ( т Б т С − т С т А + т А т Б + 1 ) ( т Б т С + т С т А − т А т Б + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}}.\end{aligned}}}
а формула половинного угла эквивалентна:
т А 2 = ( т а − т б + т с + т а т б т с ) ( т а + т б − т с + т а т б т с ) ( т а + т б + т с − т а т б т с ) ( − т а + т б + т с + т а т б т с ) . {\displaystyle {\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}}
Смотрите также
Ссылки ^ Бронштейн, И.Н.; Семендяев К.А.; Мусиоль, Герхард; Мюлиг, Хайнер (2007), Справочник по математике ИСБН 9783540721222 ^ Нельсон, Дэвид (2008), Математический словарь Penguin (4-е изд.), Penguin UK, стр. 529, ISBN 9780141920870 
