Алгебраическая независимость

Набор без нетривиальных полиномиальных равенств

В абстрактной алгебре подмножество поля алгебраически независимо над подполем , если элементы не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами в . S {\displaystyle S} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} S {\displaystyle S} K {\displaystyle K}

В частности, множество с одним элементом алгебраически независимо над тогда и только тогда, когда оно трансцендентно над . В общем случае все элементы алгебраически независимого множества над по необходимости трансцендентны над , и над всеми расширениями полей над , порожденными оставшимися элементами . { α } {\displaystyle \{\alpha \}} K {\displaystyle K} α {\displaystyle \alpha } K {\displaystyle K} S {\displaystyle S} K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} S {\displaystyle S}

Пример

Два действительных числа и являются трансцендентными числами : они не являются корнями какого-либо нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств и алгебраически независимо над полем рациональных чисел. π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} 2 π + 1 {\displaystyle 2\pi +1} { π } {\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}} { 2 π + 1 } {\displaystyle \{2\pi +1\}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Однако множество не является алгебраически независимым относительно рациональных чисел, поскольку нетривиальный многочлен { π , 2 π + 1 } {\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}

P ( x , y ) = 2 x 2 y + 1 {\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}

равен нулю, когда и . x = π {\displaystyle x={\sqrt {\pi }}} y = 2 π + 1 {\displaystyle y=2\pi +1}

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя известно, что и π , и e являются трансцендентными, неизвестно, является ли множество их обоих алгебраически независимым над . [1] Фактически, неизвестно даже, является ли иррациональным. [2] Нестеренко доказал в 1996 году, что: Q {\displaystyle \mathbb {Q} } π + e {\displaystyle \pi +e}

  • числа , , и , где — гамма-функция , алгебраически независимы над . [3] π {\displaystyle \pi } e π {\displaystyle e^{\pi }} Γ ( 1 / 4 ) {\displaystyle \Gamma (1/4)} Γ {\displaystyle \Gamma } Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
  • числа и алгебраически независимы над . e π 3 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}} Γ ( 1 / 3 ) {\displaystyle \Gamma (1/3)} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
  • для всех положительных целых чисел число алгебраически независимо над . [4] n {\displaystyle n} e π n {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Результаты и открытые проблемы

Теорема Линдемана –Вейерштрасса часто может быть использована для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над . Она утверждает, что всякий раз, когда являются алгебраическими числами , которые линейно независимы над , то они также алгебраически независимы над . Q {\displaystyle \mathbb {Q} } α 1 , , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e α 1 , , e α n {\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Более сильным инструментом является пока недоказанная гипотеза Шануэля , которая, если будет доказана, установила бы алгебраическую независимость многих чисел, включая π и e . Она задается формулой:

Пусть — любой набор комплексных чисел , линейно независимых над . Расширение поля имеет степень трансцендентности по крайней мере над . { z 1 , . . . , z n } {\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}} n {\displaystyle n} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q ( z 1 , . . . , z n , e z 1 , . . . , e z n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})} n {\displaystyle n} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Алгебраические матроиды

Для заданного расширения поля , которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать для того, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество над . Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения. L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K}

Для каждого набора элементов , алгебраически независимые подмножества удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые множества матроида . В этом матроиде ранг набора элементов является его степенью трансцендентности, а плоскость, порожденная набором элементов, является пересечением с полем . Матроид, который может быть сгенерирован таким образом, называется алгебраическим матроидом . Хорошая характеристика алгебраических матроидов неизвестна, но известно, что некоторые матроиды являются неалгебраическими; наименьшим является матроид Вамоша . [5] S {\displaystyle S} L {\displaystyle L} S {\displaystyle S} T {\displaystyle T} L {\displaystyle L} K [ T ] {\displaystyle K[T]}

Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем , в которой элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов независим, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа может быть также представлен как алгебраический матроид, выбрав неопределенность для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты внутри каждого столбца, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентов. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление. [6] K {\displaystyle K}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Патрик Моранди (1996). Теория поля и Галуа. Springer. стр. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Получено 11 апреля 2008 г. .
  2. ^ Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрс, Тимоти (ред.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 222
  3. ^ Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). С. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
  4. ^ Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.
  5. ^ Инглтон, AW; Мэйн, RA (1975), «Неалгебраические матроиды существуют», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144–146, doi :10.1112/blms/7.2.144, MR  0369110.
  6. ^ Джоши, КД (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 909, ISBN 9788122408263.
  • Чен, Джонни. «Алгебраически независимый». MathWorld .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraic_independence&oldid=1253611761"